Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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106 CHAPITRE 5. IDENTIFICATION NON-LINÉAIREDans le cas particulier où la condensation s'effectue à l'aide d'une sous-base de dimensionp = 2 on aura:et pour p = 3k = Ci 2 +k2 I C 2 +k3Re(ci2), (5.31)k = k1 cl 12 +k2 I c 12 +k3 I 3 12 +k4Re(ci2) + k5R(ci3) + k6Re(c2c3). (5.32)L'identification porte sur les coefficients des matrices m0, b0, k0, k. Les coefficients desmatrices de la partie linéaire sont réels et au nombre de 3p(p + 1)/2. Les matrices k sont aunombre de p(p + 1)/2. Le total des paramètres réels à identifier est donc de N = p(p + 1)(3 +p(p + 1))/2, soit N = 27 pour p = 2 et N = 90 si p = 3. Le problème d'identification est linéairecompte tenu de l'expression de k (équation (5.28)) et du problème condensé (5.20).Cependant, le nombre de paramètres augmentant rapidement avec le nombre de modes, ilne semble pas possible, d'après les auteurs, d'identifier plus de trois modes couplés avec cetteméthode.Différentes techniques (conditionnement par normalisation et décalage fréquentiel, pondération,régularisation de Tickhonov) appliquées au problème linéaire à résoudre pour trouver ces paramètressont exposées et mises en oeuvre dans [26].Les modes complexes ou conservatifs sont in fine obtenus par résolution de problèmes auxvaleurs propres sur la partie linéaire du système condensé et les modes sont ensuite restitués àla taille des vecteurs de mesure via l'équation (5.19).5.4 Méthode de continuation en fréquence5.4.1 IntroductionNous présentons ici une méthode d'identification des modes non-linéaires, dans le domainefréquentiel, qui a été proposée par Sétio [68],[69], [70], [67] et que nous appellerons ici méthodede continuation en fréquence.La méthode est basée sur la notion de mode non-linéaire approché par la méthode de Ritzqui a été exposée dans la section 2.2, ainsi que sur l'approximation des réponses fréquentielles aumoyen d'une superposition linéaire des réponses fréquentielles modales. Elle utilise les réponsesexpérimentales obtenues en sinus balayé avec un niveau de force constant et nécessite la connaissanced'une base de vecteurs propres "linéaires" ainsi que des facteurs d'amortissement associéset qui peuvent être obtenus à partir d'essais à faible niveau à l'aide de méthodes d'identificationmodales classiques [24], [85].La méthode procède progressivement dans la bande de fréquence, et pour chaque amplitudede réponse mesurée correspondant à une pulsation de l'excitation, les paramètres modaux dumodèle (la pulsation et les coefficients /3jk) sont extraits par une procédure numérique, minimisantl'écart entre la souplesse théorique (fonction de 'j et ßjk) et la souplesse mesurée.On utilise pour cela plusieurs points de mesure sur la structure dont les réponses sont traitéessimultanément. Les paramètres sont in fine reliés à l'amplitude modale non-linéaire Q et lisséspar des fonctions continues. La synthèse des réponses se ramène à la résolution d'un problème
5.4. MÉTHODE DE CONTINUATION EN FRÉQ UENCE 107non-linéaire à une variable.5.4.2 Expression de la souplesse dynamiqueLa "souplesse dynamique" im (, Q) du système non-linéaire est approchée par une superpositionlinéaire des différentes contributions de n modes non-linéaires. Ainsi, la réponse aupoint i due à une excitation de niveau F au point m seraU = Sjm(l, Q)Fm, (5.33)où U représente l'amplitude complexe du déplacement au point i de la structure. La souplessedynamique non-linéaire m(f2, Q) est une fonction de la pulsation d'excitation et du vecteur Qdes amplitudes modales non-linéairesç 'Q) -12) +jä(5.34)En introduisant les expressions des masses modales j(Q), de l'amortissement modal j(Q),et des modes non-linéaires exprimés dans la base des modes linéaires 4k, (5.34) devient=i =i ßj1(Qj)ßjk(Qj)i1'mkj=1 ((Qi) - c2) > ß.i + /3.;21C1.(5.35)Cependant, plutôt que de résoudre le problème en l'état à partir de (5.35), par déterminationdes paramètres modaux non-linéaires correspondant à chaque mode, on considérera un modenon-linéaire résonant particulier : Si les résonances sont suffisement distantes dans le domainefréquentiel, les participations des modes éloignés (non résonants) au voisinage d'une résonance12 = D(Q) peuvent être approchés par des participations linéaires évaluées à partir des paramètresmodaux linéaires identifiés à faible niveau.Ainsi pour 12 voisin de cZ'j(Qj), la réponse stationnaire du système à l'excitation est approchéepar:oùTr. rJ (12 Q) + Sim (12)]Fm, (5.36)'-'i V'im1ji1ml(5.37)est la partie linéaire de la réponse fréquentielle provenant des modes non résbnants. (On pourraégalement introduire les termes résiduels de masse et de raideur dans l'expression ci-dessus).
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J.C. Slater. A numerical method for
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RESUME:L'introduction de l'analyse
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