Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

104 CHAPITRE 5. IDENTIFICATION NON-LINÉAIREoù Be et K sont des matrices d'amortissement et de raideur équivalentes (au sens de lalinéarisation équivalente décrite dans la partie 4.3), fonctions de w et de y(w) et M, B, K sontles matrices de la partie linéaire du système.La méthode procède en plusieurs étapes. Tout d'abord, les modes extérieurs à la bande desmodes couplés sont filtrés en formant les suites de différences des réponses pour des fréquencesvoisines rangées dans la matrice LY= [y(w1)...y(cI..N_o)} (5.17)où Ly(Wk) = y(wk+) - y(wk) avec 8 choisi tel que (wk+o - wk) soit de l'ordre de la largeurde bande de fréquence à 3dB. Les contributions des modes extérieurs ont en effet une variationlente dans la bande d'analyse et sont donc quasiment éliminés de la réponse par ce procédé.Une base minimale de représentation de LY est ensuite construite par une technique dedécomposition en valeurs singulières[Re(Y) Im(Y)] = UEtV, (5.18)où U et V sont deux matrices réelles orthonormales. La base minimale est obtenue en tronquantla base orthonormale constituée par les colonnes de U. On forme pour cela la suite des ratiosrj=0k+1où les 0k sont les valeurs singulières ordonnées (a > ak+1) prises sur la diagonale de E. Uneforte augmentation dans la suite rk se produisant au rang k = p indique que p modes sontprésents dans la bande. Nous obtenons alors une sous base réelle Z, en prenant les p premiersvecteurs colonne de U.Les données sont donc exprimées de façon approximative sur cette basezYZC, (5.19)et grâce à la propriété d'orthogonalité de Z, les mesures condensées C sont obtenues parLe système (5.16) condensé sera notéCZY.[w2m0 + iwb0 + k0 + icJc(w) ZF(w) (5.20)où m0 = ZMZ, b0 ZBZ, k0 ZKZ sont les matrices condensées de la partie linéairedu système, et où k = Z(K + jwBe)Z est une matrice complexe qui regroupe les termesnon-linéaires. c(w) sera la colonne de C correspondant à la fréquence w.Les non-linéarités sont introduites dans le modèle par des formes polynomiales des déplacementset/ou vitesses des points de mesure. Dans le cas d'une non-linéarité cubique en raideur entre lescoordonnées i et j, les forces introduites aux points i et j seront (dans le domaine temporel)f(y(t)) = f(y(t)) = i3(y(t) - y(t))3 (5.21)où y(t) désigne la réponse temporelle au point de mesure et f3j le coefficient de la non-linéaritécubique de la liaison entre les points i et j.