CHAPITRE 1 : GENERALITES

CHAPITRE 1 :THEORIE DES LIGNES DE TRANSMISSIONI. LIGNES DE TRANSMISSION Une ligne de transmission est un ensemble de deux ou plusieurs conducteurs acheminant de concertun signal électrique, d'une source (ou émetteur) vers une charge (ou récepteur). On s’intéresse aux phénomènes de propagation prenant naissance dans les câbles ou des structures depropagation en mode TEM, lors de leur utilisation pour le transport des signaux sur une distance grandedevant la longueur d’onde. Les lignes de transmission les plus courantes sont :o La ligne coaxiale : elle est constituée d’un conducteur intérieur et d’un conducteur extérieurCâble coaxial flexible type RG-59.A: Gaine extérieure en plastiqueB: Blindage en cuivreC: DiélectriqueD: Conducteur central (âme) en cuivreoLa ligne bifilaire : elle est constituée de 2 fils conducteurs cylindriques identiques parallèlesentre eux.1

o La ligne micro-ruban : elle est constituée d’un substrat en diélectrique (epoxy, teflon,..)entièrement métallisé sur une de ses faces (plan de masse), comportant une piste conductrice surl’autre face.En pratique, on utilise une ligne de transmission par exemple pour transporter le signal issu d'unémetteur, vers une antenne. Ou réciproquement pour transporter le signal issu d'une antenne, vers unrécepteur. Dans ces deux cas, l'impédance caractéristique du câble coaxial est généralement de 50Ohms. On utilise aussi une ligne de transmission, sous forme de paire torsadée d'impédancecaractéristique 600 Ohms, pour transporter des signaux téléphoniques, numériques ou analogiques.II. MODELISATION DES LIGNESQuelles sont les équations qui gèrent v(x,t) et i(x,t) ?On considère une section Δx de la ligne, Δx très petit et sa représentation par deséléments ponctuels est :2

R,L,C,G sont les paramètres primaires de la ligne de transmission.L : énergie magnétique emmagasinée (H/m)G : perte diélectrique dans l’isolant qui n’est pas parfait (S/m) (Siemens/m), c’est laconductance entre les 2 conducteurs.C : énergie électrique emmagasinée (F/m)R : pertes ohmiques (conducteur) (Ω/m)III. EQUATION DES TELEGRAPHISTESI( x,t)V ( x,t) RdxI ( x,t) Ldx V( x dx,t)tV( x,t)I( x,t)Donc, RI ( x,t) LxtV( x,t)On a aussi : I( x,t) Cdx GdxV ( x,t) I(x dx,t)tI( x,t)V( x,t)Donc, c GV(x,t)xtEquations des télégraphistes3

IV. CAS PARTICULIER : SOLUTION EN REGIME SINUSOIDALPERMANENTj V( x,t)RéV( x)e t V(x)cos(t) .j t I( x,t) RéI( x)e I(x)cos(t)Remarque : Il ne faudra pas oublier que le termej te existe toujours.Donc,dV( x) jLI(x) RI ( x)dxdI(x) jCV( x) GV(x) dx. Donc,dV( x) (R jL)I(x)dxdI(x) (G jC)V ( x) dx2d V ( x)2dxdI(x)dxDonc, (R jL) (R jL)( G jC)V ( x)2d V ( x)Donc, ( R jL)(G jC)V ( x) 02dx2d V ( x)22Donc, V ( x) 0 : équation d’onde, avec : ( R jL)(G jC)2dxRAPPEL :Soit une ligne de Transmission s’étendant de Sousse à Nabeul.SousseNabeul Une impulsion envoyée de Sousse est-elle reçue immédiatement à Nabeul ?Non, donc f(t). A un temps donné, le signal est-il le même à Sousse qu’à Nabeul ?Non, donc f(z).Donc, on vient d’établir que le signal sur la ligne est :1) Fonction du temps2) Fonction de la distance3) Qu’il se propageDonc, la solution est n’importe quelle fonction de la forme : V=f(t- z/v)4

Exemple : cos(t-z/v) ou Ln(t- z/v) ou (t - z/v) n : cette fonction représente une onde qui sepropage en direction +z à une vitesse v qu’on appellera vitesse de propagation.SUITE DU COURS : Une solution de cette équation différentielle serait :V(x)xx x Ae Be V0e V0exDe même, on obtiendra :I(x) x x I0e I0eOn met ainsi en évidence que la solution générale de l’équation de propagation (destélégraphistes) est la superposition d’une onde progressive se propageant dans le sens desx 0 et d’une onde se propageant dans le sens des x 0 (rétrograde).Où, est appelée constante de propagation,Avec : 0 : constante d’affaiblissement linéique, souvent exprimée en dB/m. On rappelle ladéfinition du décibel : dB=20 log 10 R, où R : rapport de tensions. : constante de phase, et représente le déphasage linéique (rad/m).Inutile à mentionner : Il est démontré que pour une ligne à faibles pertes :1 C L R Get LC2 L C x Considérons le terme V0 e . On peut écrire : Vj x x jx0e V 0e e . En réinsérant la variation sinusoïdale, on a :V xjt x jxjt xj(tx) x e e RéVe e e RéVe e V e cos( t )( x,t) Ré V0000x x Donc, V ( x,t) V0 e cos( t x)(*)2/ 1x Or, cos( t x) cos (t x) cos (t x) cos (t x) cos (t x)2ffvOù, v est la vitesse de propagation en m/s. ( v f).x Donc, cos( t x) cos (t x)v La fonction (*) est représentée ci-dessous pour différentes valeurs de t :5

β est appelée constante de phase. Donc, ( z z1)2 ( z2 z1). Donc,22 ou 2Exercice d’application N°1 :Trouvez la longueur (en longueur d’onde) de la ligne suivante (on supposera v=3x10 8m/sec) : une ligne de 8 cm à 3 000 MHz.Réponse :L=0,8 λ6

V. IMPEDANCE CARACTERISTIQUEV ( x)Où, Z(x): impédance et Zc: impédance caractéristiqueI(x)On met ainsi en évidence cette grandeur lorsque l’on veut annuler l’une des 2 ondes.Si l’onde réfléchie est nulle, nous avons alors :V x( x) V 0e etI(x) I 0exL’équation V ( x,t)I( x,t RI( x,t) L)xtpermet alors de déduire que :V ( x)I(x)R jL. Cettequantité est indépendante de x et est appelée « impédance caractéristique de la ligne » etnotée Z c . Elle représente l’impédance vue en tout point de la ligne.Z cR jL .On vérifie facilement que l’on a :2Z cR G jL, soit pour une ligne sans pertes :jCLZ c .CRemarque :Pour annuler l’onde réfléchie, il suffit de connecter l’impédance caractéristique en bout deligne. Câble de laboratoire :propagation de phaseR 50 c , C 100pF/ m , L 250nH/ m , v 2.108 m/s1v )LC Câble d’antenne de télévision : Câble téléphonique :R 300 cR 75 cRécapitulatif : Pour une ligne de transmission(vitesse deCas généralLigne sans pertesγ α+jβ = ( R jL)(G jC)jβ avec LCZ cRGjLjCLC7

Exercice d’application N°2 : Vérifier que V 0Z cI0et queI0V 0Z cV( x,t)Réponse : On sait que : (R jL)I(x,t)et que :xV(x) x x V0e V0eV( x) x x x x On applique la dérivée : Ve Ve V e Ve x x x Donc, V e Ve (R jL)I(x,) Donc,0 0t0000 x x x xV0e V0e V0e V0e xI( x,t). . ( R jL)(G jC) V0e V0eR jLR jLx.( GRjC)jL On a posé :Z cRGjLj C10.Z . Donc, x xI x,t)V e Ve .(0c Donc,V 0 xV0xI( x,t) e e . ZcZc Or, on a déjà écrit que :I(x) x x I0e I0e Donc,VI0et 0Z cI0V 0Z c Donc,Z cVI00V I00Exercice d’application N°3 :jtSi et V(t,x) Re( V(x)e ), trouvez :1. V(t,0) ; v(t,5) ; v(t,10)2. L’affaiblissement en db à x=5 ; à x=10 (référence à x=0).3. L’affaiblissement par unité de longueur4. i(t,10) si Z C =50|-30°Réponse :100112jt2 21. V ( t,0) ReV(0) e 100cos t 50sin t 100 50 cos t sin t 112cos( t 26,6)V( t,5) 67,9cos( t 26,6)V( t,10) 41,2cos( t 26,6)2. L’affaiblissement en db à x=5 ; à x=10 (référence à x=0).50112A x=5, 67,9 aff 20log 4, 35dB 112 8

41,2 A x=10, aff 20log 8, 7dB 112 3. L’affaiblissement par unité de longueur : att=0,87 dB/m4. i(t,10) si Z C =50|-30°I( t,10) 0,82cos( t 56,6)9