TD-Ensemble de nombres - IUFM

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Corrigés des exercices sur les ensembles de nombresExercice 112 13 9a. ; ; 3,14 ;5 52 125; 0 sont des nombres rationnels décimaux.Un nombre décimal a plusieurs écritures dont une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie.22 2 12 ; et sont des rationnels non décimaux.7 3 11Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière estinfinie et périodique.π et 5 sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Ils ontune écriture à virgule infinie et non périodique.b. La valeur arrondie de22 au centième près d’un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie7décimale composée de 2 chiffres maximum. En utilisant une calculatrice,centième près est donc 3,14.22 ≈ 3,142857. Sa valeur arrondie au7La valeur approchée par excès au dixième près dechiffre après la virgule. C’est 3,2.22 est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant un722La valeur approchée par défaut au millième près de est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant trois7chiffres après la virgule. C’est 3,142.La valeur arrondie de 2 3au centième près est 0,67.La valeur approchée au dixième près de 2 3par excès est 0,7.La valeur approchée au millième près de 2 3par défaut est 0,666.12En utilisant une calculatrice, ≈ 1,090909….1112La valeur arrondie de au centième près est 1,09.1112La valeur approchée au dixième près par excès de est 1,1. 1112La valeur approchée au millième près par défaut de est 1,09.11En utilisant une calculatrice π ≈ 3,1415927.La valeur arrondie de π au centième près est 3,14.La valeur approchée de π par excès au dixième près est 3,2.La valeur approchée de π par défaut au millième près est 3,141.En utilisant une calculatrice 5 ≈ 2,2360679.La valeur arrondie de 5 au centième près est 2,24.La valeur approchée par excès de 5 au dixième près est 2,3.La valeur approchée par défaut de 5 au millième près est 2,236.Ensembles de nombres 1

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3c. Encadrement de 722 à 10 -2 près : 3,14 < 722 < 3,15Encadrement de 32 à 10 -2 près : 0,66 < 32 < 0,6712Encadrement de à 10 -2 12près : 1,09 < < 1,11111Encadrement de π à 10 -2 près : 3,14 < π < 3,15Encadrement de 5 à 10 -2 près : 2,23 < 5 < 2,24Exercice 2a. 17 2 = 289 < 300 < 324 = 18 2b. De l’inégalité précédente, on déduit que 17 < 300 < 18300 = 3x100 = 3x 100 = 3x10D’où 17 < 10 x 3 < 18c. 17 < 10 3 < 1810soit 1,7 < 3 < 1,8d. 30 000 = 300 x 100. Comme 17 2 = 289 < 300 < 324 = 18 2 , on en déduit que ;17² x 100 < 30 000 < 18² x 100, soit 17² x 10² < 30 000 < 18² x 10² soit 170² < 30 000 < 180²En utilisant une calculette, il est possible d’affiner cet encadrement :173² = 29929 et 174² = 30276D’où 173² < 30 000 < 174²e. De l’inégalité précédente, on déduit que 173 < 30000 < 17430000 = 3x10000 = 3x100² = 3 x 100² = 3x100 d’où 173 < 100 x 3 < 174f. 0n en déduit que 173 < 3 < 174100 100soit 1,73 < 3 < 1,74Exercice 31 1 1a. A = 1+ + + =32 52 72=11025 + 1225 + 441+225 12916=11025 110251 1 1 25x49 9x49 9x251+ + + = 1+ + + =9 25 49 9x25x49 9x25x49 9x25x4911025 + 1225 + 441+225 12916=11025 11025Cette fraction est irréductible car le numérateur 12 916 n'est ni multiple de 3 (la somme de ses chiffres est 1) nimultiple de 5 ni multiple de 7 donc le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun.b. B =13 +17 + 15=c. C = 8A = 8x 12916110251 15 3333 + = 3 + =106 106 10615En utilisant une calculatrice C ≈ 3,0613974…On en déduit l’encadrement suivant : 3,0613 < C < 3,0614Ensembles de nombres 2

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Connaissant un encadrement de deux nombres, il faut encadrer leur différence afin de savoir quelles sont leursdistances minimales et maximales ce qui permet de répondre aux questions :Encadrement de C 3,0613 < C < 3,0614Encadrement de l'opposé de C - 3,0614 < -C < - 3,0613Encadrement de π : 3,1415 < π < 3,1416Par addition membre à membre 0,0801 < π-C < 0,0803En élargissant l'intervalle : 0 < 0,0801 < π-C < 0,0803 < 0,1La distance entre π et C étant inférieure à un dixième, on peut dire que le nombre C est une valeur approchée de πà un dixième près.d. B = 333106En utilisant une calculatrice 333106 ≈ 3,1415094…On en déduit l’encadrement suivant : 3,1415 < B < 3,1416Encadrement de π : 3,1415 < π < 3,1416Ces deux nombres sont situés dans le même intervalle. La distance entre les deux bornes de l’intervalle est de0,0001. On en déduit que B est une valeur rationnelle de π approchée au dix-millième près.Exercice 4a. F5 = 1 +2 +2 +112 +1112 +21b. F1 = 1+ = 3 F1 est un nombre décimal puisque 3 2 22la forme d’un produit de puissance de 2 et de 5 : 2 = 2 1 x 5 0est irréductible et que son dénominateur s’écrit sousOn aurait aussi pu dire que 3 2finie.= 1,5 et donc que c’est un nombre décimal parce que son écriture à virgule est1 1 2F2 = 1+= 1+ = 1+ = 7 1 5 5 52 +2 2Pour les mêmes raisons, 7 5= 1,4 est un nombre décimal.F3 =11+12 +12 +2=1+122 +5=11+ = 12551+ = 1712 121712est une fraction irréductible et 12 = 3x2². F3 n’est donc pas un nombre décimal.F4 =1+2 +2 +11112 +2=1+2 +1112 +52=11+12 +22 +5=1+112 +125=1+152 +121= 1+ =2912121+ = 4129 2941est une fraction irréductible et 29 n’est pas un produit de puissance de 2 et de puissance de 5. F4 n’est donc29pas un nombre décimalEnsembles de nombres 3

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3c. F1 = 3 2 = 1,5 F2= 7 1741=1,4 F3 = ≈ 1,4167 F4 =5 12 ≈ 1,413829d. 2 ≈ 1,4142En l’utilisant pour calculer les différences avec les valeurs trouvées précédemment, on remarque que la suite desfractions ci-dessus se rapproche de plus en plus de √2 soit par excès, soit par défaut :F1 - 2 ≈ 1,5 - 1,4142 = 0,0858F2 - 2 ≈ 1,4 – 1,4142 = - 0,0142F3 - 2 ≈ 1,4167 - 1,4142 = 0,0025F4 - 2 ≈ 1,4138 – 1,4142 = - 0,0004RemarqueSi on continuait avec les fractions F5, F6, F7, F8,… en utilisant des valeurs arrondies plus précises, on aurait lesrésultats suivants :F5 - 2 ≈ 0,0000721F6 - 2 ≈ - 0,0000124F7 - 2 ≈ 0,0000021F8 - 2 ≈ - 0,0000007.On a le résultat suivant F2

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Exercice 6a. 0,04 = 0,02Affirmation fausse car 0,2 x 0,2 = 0,04 donc 0,04 = 0,2b.1610 = 10 4Affirmation fausse car 10 16 = (10 8 ) 2c. La moitié de 200 est égale à 50donc1610 = 10 8Affirmation vraie car 200 =10 2 , donc sa moitié est 5 2 et 50 = 5 2d. ( 3 - 2 )² est égal à 3-2Affirmation fausse car ( 3 - 2 )² = 3 + 2 - 2 6 = 5 - 2 6e. ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) est égal à 1Affirmation vraie en utilisant l’identité remarquable : (a + b)(a – b)= a² - b²f. 180 - 80 est égal à 10Affirmation fausse car 180 − 80 = 6 5 − 4 5 = 2 5300g. est égal à 103300 10 3Affirmation vraie car = = 103 3Ensembles de nombres 5

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3L’ensemble des nombres entiers naturels :SynthèseN = {0, 1, 2, 3,......}C’est un ensemble infini : après un nombre quelconque, on peut toujours en trouver au moins un autre : toutnombre entier naturel a un successeur.C’est un ensemble discret : les nombres entiers naturels ne permettent que de graduer une demi-droite et entredeux graduations successives, il n’en existe pas d’autre qui puisse représenter un nombre entier.Dans cet ensemble, il existe des équations qui n’ont pas de solution : par exemple 4 + ? = 2 n’a pas de solutiondans N. Plus généralement, l’équation a + ? = b avec a > b n’a pas de solution.L’ensemble Z des entiers relatifsZ complète l’ensemble des entiers naturels : il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés :Z = {...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.....} N ⊂ ZCes nombres ne sont étudiés qu’au collège. Ils sont utilisés dans différents contextes.Ils permettent de graduer la droite de manière plus complète que les nombres entiers naturels, mais l’ensemble Zest un ensemble discret : entre deux graduations successives représentant deux nombres relatifs, il n’en existe pasd’autre qui puisse représenter un nombre entier relatif.Dans cet ensemble, l’équation a + ? = b a toujours une solution même si a > b, mais certaines équations comme2 x ? = 5 n’a pas de solution dans Z.L’ensemble Q des nombres rationnelsCet ensemble est composé des nombres solutions d’équations du type a x ? = b avec a et b entiers relatifs et b ≠0 . C’est donc l’ensemble des nombres écrits sous forme de fractions a (b ≠ 0). Ce sont des nombres qui sontbquotients de deux entiers relatifs.N ⊂ Z ⊂ QEntre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre ; autrement dit, l’intervalle [q 1 , q 2 ] où q 1 et q 2sont deux nombres rationnels comporte une infinité de nombres.Par exemple, entre les nombres 3 7 et 4 7 , on peut placer le nombre 7 14 : l’amplitude de l’intervalle [3 7 ,4 7] est égaleà 4 7 - 3 7 = 1 7. Le milieu de l’intervalle est situé à114 de 3 7 , c’est le nombre 3 7 + 1 14 soit 7 14 .Parmi les nombres rationnels, il en existe des particuliers : les nombres décimaux que l’on désigne par la lettre D.On peut approcher un nombre rationnel par un nombre décimal avec une précision aussi grande que l’on veut.Les nombres décimaux permettent de graduer la droite numérique de manière plus fine que les nombres entiersrelatifs mais moins fine que les nombres rationnels.N ⊂ Z ⊂ D ⊂ QLes nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissentpas. Il existe encore de nombreux trous : π et 5 ne sont pas des nombres rationnels mais ils désignent unegraduation de la droite numérique. Ce sont des nombres irrationnelsL’ensemble R des nombres réels:L’ensemble R des nombres réels est la réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de celui des nombresirrationnelsN ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ RL’ensemble des nombres réels remplit la droite : il est continu.Tout nombre réel peut être approché d’aussi près que l’on veut par un nombre décimal.Un ordinateur aussi puissant qu’il soit ne gère des calculs que sur des valeurs approchées de nombres réels.L’ensemble des nombres décimaux est dense dans l’ensemble des nombres réels : entre deux nombres réels, onpeut trouver une infinité de nombres décimaux.Ensembles de nombres 6

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Les différentes écritures des nombres :Un nombre rationnel a deux écritures : -une écriture fractionnaire, -une écriture décimale ou à virgule.Un nombre rationnel décimal a une écriture décimale ou à virgule finie.Un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale ou à virgule infinie et périodique.Un nombre décimal est un nombre rationnel particulier.Il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est unepuissance de dix, par exemple 25100 .Il peut aussi s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible dont le dénominateur s’écrit sous la forme d’un produitde puissances de 2 et/ou de 5.Par exemple, 7722n’est pas une fraction irréductible mais si on divise le numérateur et le dénominateur par 11, ontrouve une fraction irréductible 7 2qui lui est égale et qui est un nombre décimal.3320 = 33est un nombre décimal.2²x5.Attention : Il faut être prudent : en effet, une calculatrice ou un ordinateur aussi puissants soient ils ne donnentqu’une approximation d’un nombre rationnel non décimal, si bien que la plupart du temps, il est impossible decaractériser un nombre à l’aide de son écriture à virgule. Il est alors préférable d’utiliser les écritures fractionnairespour déterminer si un nombre est rationnel décimal ou non.Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodiqueValeur arrondieLa valeur arrondie à 10 − n 1( ) d’un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimalen10composée de n chiffres maximum.Cas particulier où la décimale à supprimer est un 5 : la valeur arrondie au dixième de 17,25 est 17,3.Valeur approchée par défaut, par excèsLa valeur approchée à 10 −npar défaut d’un nombre réel est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant unepartie décimale composée de n chiffres maximum.La valeur approchée à 10 −npar excès d’un nombre réel est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant unepartie décimale composée de n chiffres maximum.EncadrementEncadrer à 10 −nun nombre réel r consiste à déterminer deux nombres décimaux, l’un inférieur à r et l’autresupérieur à r tels que leur différence soit égale à 10 −nExemple : Un encadrement à 10 -3 de 5 est 2,236< 5

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Les nombres entiers ne permettent pas de graduer la droite numérique : entre deux graduations successives, iln’en existe pas d’autres qui puissent représenter un nombre entier. Les nombres décimaux et plus généralement,les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissentpas. L’ensemble des nombres réels remplit la droite : à tout point de la droite on peut associer un nombre réel etun seul et réciproquement.Règles de calcul dans les nombres rationnels représentés sous forme de fractionMultiplicationSimplificationEgalité defractionsAddition –SoustractionOn multiplie les numérateurs entre eux et lesa c a.c acdénominateurs entre eux : . = =b d b.d bdUne fraction est simplifiable si le numérateuret le dénominateur ont un diviseur encommun.Soit a et b ayant un diviseur commun n alorsa n.c c= = .b n.d dUne fraction est dite irréductible si lenumérateur et le dénominateur sont premiersentre eux.Deux fractions correspondent au mêmenombre rationnel lorsqu’elles sont égales àune même fraction irréductible.On ne change pas la valeur d’une fraction enmultipliant ou en divisant le numérateur et ledénominateur par un même nombre non nul.Les fractions doivent avoir le mêmedénominateur. Lorsqu’elles ont mêmedénominateur, on additionne (soustrait) lesnumérateurs et on garde le dénominateur :a c a+c+ =b b ba c a.d b.c a.d + b.c+ = + =b d b.d b.d b.dEx : 2 5 2 ×× = 5 =103 4 3 × 4 12Ex :10 2×5 5= =12 2×6 61012 n’est pas irréductible mais 5 6est irréductibleEx : 1012 = 15 10car18 12 = 5 6 et15 3 × 5 5= =18 3 × 6 6Ex : 2 + 5 =73 3 32 5 2×4 3×5 8 15 23+ = + = + =3 4 3×4 3×4 12 12 12DivisionDiviser par une fraction consiste à multiplieraa d a.dpar l’inverse de cette fraction : b = . =c b c b.cdEx :23 2 4 2x4 8= x = =5 3 5 3x5 154Synthèse concernant les règles de calcul sur les racines carréesLa racine carrée d’un nombre réel positif a, notée a , est égale au nombre réel positif qui, au carré, est égal à a.a = b signifie que a = b².Remarque : ( ) 2a= aProduit et quotient de deux racines carrées : a × b = a × b ;a a b a axbx x bb = b b= b= ba ab = b;Ensembles de nombres 8

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Synthèse concernant les règles de calcul sur les puissances des nombres entiers naturelsPour n entier naturel supérieur à 1, la puissance n de a est a n = axaxa ……xa etan1= .naExemple : 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 etPar convention, a 0 =1 ; a 1 = a et3 1 12 = =2x2x2 8-1 1a = (a ≠ 0) an foisProduit de deux puissances d’un même nombre :3 5 8Exemple : 2 × 2 = 2 .Quotient de deux puissances d’un même nombre :Exemple :5625 = 5 6-2 = 5 4nPuissance d’une puissance : ( a ) m= anxmExemple : ( )53 152 =2n m n+ma ×a = aanma = a n-m . Si m = n alors a n-m = a 0 = 1.Produit (quotient) de deux facteurs ayant la même puissance :Exemple :3 3 3 32 × 5 = (2 × 5) = 10 ;332 ⎛ 2 ⎞=35 ⎜5 ⎟⎝⎠n n na ×b = (a×b) ;abnn⎛ a ⎞= ( ⎜ )b⎟⎝ ⎠n;Ensembles de nombres 9