Ensemble de Cantor

ouDans le cas dex 1 n n2N , on a : x =que l’on peut écrire sous la formeAinsi, la suiteDans le cas dex 2 n n2N = (x 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 1; 2; 2; : : : ; 2; : : :)x =nX0 1n=1x 1 n peut également s’écriren2Nx 2 n n2N , on a : x =nX0 1n=1x n3 n + 13 , n0x n3 n + 03 + X+1n023 nn=n 0+1x 1 n n2N = (x 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 0; 2; 2; : : : ; 2; : : :)Ainsi, la suite=nX0 1n=1nX0 1n=1x n3 n + 13 n0 + +1Xx n3 n + 23 n023 nn=n 0+1x 2 n s’écrit aussi sous la formen2Nx 2 n = (x n2N 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 2; 0; 0; : : : ; 0; : : :)On a donc bien montré que (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1;1; x n0+1; : : :) pouvait être représenté par la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1;0; 2; 2; : : : ; 2; : : :) ou par la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1; 2; 0; 0; : : : ; 0; : : :).Ainsi, tout élément de C s’écrit sous la forme (5). De plus, cette décomposition est unique.En e¤et, supposons que x puisse être représenté par deux suites di¤érentes x 1 n etn2N x2 n . Soit m =n2Nmin n 2 N x 1 n 6= x 2 n . On a alors x 1 m; xm 2 = (2; 0) ou x1m ; xm 2 = (0; 2). On peut supposer que x1m ; xm 2 =(2; 0). On obtient :d’où :x =mX1n=1x 1 n3 n + 23 m + +1Xn=m+1+123 m = XOr, s’il existe n m + 1 tel que x 2 n x 1 n 6= 2, on a :+1Xn=m+1x 2 nx 1 nx 1 m 1n3 n = X x 2 n3 n + 0+13 m + Xn=m+13 n