SURFACES DE CHARGE D'UN MONOCRISTAL CFC, D'UN ... - mms2

SURFACES DE CHARGE D’UN MONOCRISTAL CFC, D’UN MATÉRIAU DS ET D’UN POLYCRISTAL1MÉCANISMES DE PLASTICITÉ D’UN MONOCRISTAL CFCUn système de glissement s est caractérisé par son plan (vecteur n) et sadirection de glissement (vecteur m). La cission résolue τ s se calcule donc comme :τ s = σ i j n i m j = 1 2 σ i j(n i m j + m i n j ) = σ i j m i jEn définissant le tenseur d’orientation par m ∼=2 1 (n ⊗ m + m ⊗ n)(001)Les 4 plans octaédriques d’un cristal cubique représentés ci-dessus comportentchacun 3 systèmes. On fait le choix suivant pour les 12 vecteurs n et m :num syst 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12√3n1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1√3n2 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1√3n3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1√2m1 -1 0 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 1 0√2m2 0 -1 1 0 1 1 -1 1 0 1 0 1√2m3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1Les tenseurs d’orientation correspondant sont donc :(010)num syst 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12√6m11 -1 0 -1 -1 0 1 0 -1 -1 -1 1 0√6m22 0 -1 1 0 -1 -1 -1 1 0 1 0 1√6m33 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 -1 -1(100)Les 4 plans octaédriques d’un cristal cubiqueLa loi de Schmid postule que le glissement se produit sur un système lorsque lacission résolue atteint un seuil, ou cission résolue critique, notée ici τ c . Vis-à-visd’un modèle de plasticité, on est donc conduit à introduire une collection decritères, linéaires en contrainte, tels que :|τ s | − τ c = 0 ou encore σ ∼: m ∼ s − τ c = 02 √ 3m 12 -1 -1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 12 √ 3m 23 1 0 1 -1 0 1 0 1 1 -1 1 02 √ 3m 31 0 1 -1 0 1 1 -1 1 0 1 0 1• Si les seuls termes non nuls du tenseur de contrainte sont σ 11 , σ 12 et σ 21 , lecritère s’écrit :|σ 11 m 11 + 2σ 12 m 12 | − τ c = 0• Si les seuls termes non nuls du tenseur de contrainte sont σ 11 , et σ 33 , lecritère s’écrit :|σ 11 m 11 + σ 33 m 33 | − τ c = 0

DOMAINE D’ÉLASTICITÉ DANS LE PLAN σ 11 –σ 12Pour les contraintes σ 11 et σ 12 , les valeurs de τ s sont respectivement :σ 12σ 1100DOMAINE D’ÉLASTICITÉ DANS LE PLAN σ 11 –σ 33Pour les contraintes σ 11 et σ 33 , les valeurs de τ s sont respectivement :num syst 1 2 3 4 5 6τ s −σ 11 + σ 33 σ 33 −σ 11 −σ 11 + σ 33 σ 33 σ 11num syst 7 8 9 10 11 12τ s σ 33 −σ 11 −σ 11 + σ 33 −σ 11 σ 11 − σ 33 −σ 33En traction biaxiale, tous les systèmes sont en jeuEn traction-cisaillement, le domaine d’élasticité initial est donc défini par 4 • systèmes 1, 4, 9 et 11 :systèmes• les systèmes 1 et 11 donnent :√|σ 11 + σ 12 | = τ c 6• les systèmes 4 et 9 donnent :√|σ 11 − σ 12 | = τ c 6• systèmes 3, 6, 8, 10 :• systèmes 2, 5, 7, 13 :√|σ 11 − σ 33 | = τ c 6√|σ 11 | = τ c 6√|σ 33 | = τ c 6La figure ci–dessous est construite pour une valeur de τ c de 100 MPaLa figure ci–dessous est construite pour une valeur de τ c de 100 MPa200200100100num syst 1 2 3 4 5 6τ s −σ 11 − σ 12 −σ 12 −σ 11 −σ 11 + σ 12 σ 12 σ 11num syst 7 8 9 10 11 12τ s σ 12 −σ 11 −σ 11 + σ 12 −σ 11 σ 11 + σ 12 σ 12-100-200-200 -100 0 100 200σ 33-100-200-200 -100 0 100 200σ 112

DOMAINE D’ÉLASTICITÉ INITIAL D’UN MATÉRIAU À SOLIDIFICATIONDIRIGÉE• On construit ici un matériau à solidification dirigée en considérant unagrégat de plusieurs cristaux, dont l’axe (001) reste parallèle à l’axe x 3 durepère laboratoire. L’orientation de chaque grain est donc définie par unseul angle, qui, en raison de la symétrie cubique, varie entre 0 et 90 ◦ . Lesorientations sont régulièrement espacées, ainsi dans le cas de deux grains,la direction (100) de chacun d’eux fera un angle de 0 ◦ et 45 ◦ avec l’axe x 1 ,pour trois grains un angle de 0 ◦ , 30 ◦ et 60 ◦ , etc. . .• On suppose que l’élasticité est homogène dans l’agrégat (c’est-à-dire qu’onne prend pas en compte le caractère cubique de l’élasticité), si bien que lescontraintes sont homogènes dans l’agrégat tant que la limite élastique n’estpas atteinte.• Dans le plan σ 11 –σ 12 , la multiplication des systèmes fait rapidement tendrela forme du critère vers Tresca ou von Mises ; ce n’est pas le cas dans leplan σ 33 –σ 13 , car on rajoute relativement peu de nouvelles possibilités deglissement dans cette directionx 3001x 1x 2Calculer de nouvelles configurations250001200DS150⊕Tresca⊕100⊕von Mises⊕⊕⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕50⊕⊕σ⊕12 0⊕σ 11-50-100-150-200⊕⊕⊕-250-250-200-150-100 -50 0 50 100 150 200 250250-150-200⊕⊕⊕ ⊕Surface dans σ 11 –σ 12 d’un matériau DS à 3 orientationsσ 33σ 31 0⊕-50⊕⊕-100⊕001200⊕ ⊕ ⊕DS⊕⊕150⊕⊕Tresca100 ⊕⊕von Mises50⊕-250-250-200-150-100 -50 0 50 100 150 200 250⊕Surface dans σ 33 –σ 13 d’un matériau DS à 3 orientations⊕⊕3

DOMAINE D’ÉLASTICITÉ INITIAL D’UN AGRÉGAT POLYCRISTALLIN• On construit ici un un agrégat de plusieurs cristaux, dont l’orientation estdéfinie par 3 angles d’Euler par rapport au repère du laboratoire (φ 1 , Φ,φ 2 , définissant successivement une rotation autour de l’axe x 3 , puis autourdu nouvel axe x 1 ′ , et enfin autour du nouvel axe x′′ 3 ). Les orientations sontdéfinies aléatoirement.• On suppose que l’élasticité est homogène dans l’agrégat (c’est-à-dire qu’onne prend pas en compte le caractère cubique de l’élasticité), si bien que lescontraintes sont homogènes dans l’agrégat tant que la limite élastique n’estpas atteinte.• Contrairement au cas du matériau à solidification dirigée, les nouvellespossibilités de glissement sont maintenant réparties dans tout l’espace, sibien que l’évolution vers le critère de Tresca s’effectue aussi bien dansle plan σ 33 –σ 13 que dans le plan σ 11 –σ 12 . Dans l’exemple à 100 grainsci-dessous, le résultat est pratiquement confondu avec celui que donnele critère de Tresca (quelle que soit la direction, il existe maintenant unedirection "favorablement" orientée)x 3x 1x 2Calculer de nouvelles configurations250001200poly150Trescavon Mises100⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕50 ⊕⊕σ⊕12 0 ⊕⊕-50 ⊕⊕-100⊕ ⊕ ⊕ ⊕σ 11-150-200-250-250-200-150-100 -50 0 50 100 150 200 250250-100-150-200Surface dans σ 11 –σ 12 d’un polycristal à 100 orientations001200poly150Trescavon Mises100⊕ ⊕ ⊕⊕⊕50 ⊕⊕⊕σ 31 0 ⊕ ⊕⊕⊕⊕⊕⊕-50⊕⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕σ 33-250-250-200-150-100 -50 0 50 100 150 200 250Surface dans σ 33 –σ 13 d’un polycristal à 100 orientations⊕⊕4