AST1 2010 - mathematiques sujet corrigé rapport - EDHEC Grande ...

P XX( = 1)(n+ 1=n0)=41 .pour qu’il y en ait une au coup suivant, il faut piocher cette boule (une chance sur deux) etl’échanger contre une boule blanche de V (une chance sur deux) ou bien piocher la boule noire de U(une chance sur deux)et l’échanger contre une boule noire de V (une chance sur deux) et on a :1 1 1P XX 0) = + = .( = 1)(n+ 1=n4 4 2pour qu’il y en ait deux au coup suivant, il faut piocher la boule noire de U (une chance sur deux) etl’échanger contre une boule blanche de V (une chance sur deux) et on a :P XX( = 1)(n+ 1=n0)=41 .En regroupant, comme l’indique l’énoncé, sous forme de tableau matriciel, on a bien :⎛ 0 1/ 4 0⎞⎜ ⎟M = ⎜11/ 2 1⎟.⎜⎟⎝ 0 1/ 4 0⎠b) En écrivant la formule des probabilités totales associée au système complet d’événements{ (X n = 0), (X n = 1), (X n = 2) }, on obtient : P(X n+1 =0) = ∑ P( X n= i)( Xn+1= 0) P(Xn= i).En remplaçant par les valeurs trouvées à la question 1a) ,ceci s’écrit :P(X n+1 =0) = 0 P(X n = 0) +41 P(Xn = 1) + 0 P(X n = 2).De la même façon, on a aussi :P(X n+1 =0) = 1 P(X n = 0) +21 P(Xn = 1) + 1 P(X n = 2).P(X n+1 =0) = 0 P(X n = 0) +41 P(Xn = 1) + 0 P(X n = 2).En écrivant matriciellement les trois égalités précédentes, on a bien : ∀n∈IN, C n+1 = M C n .Par récurrence.• M 0 C 0 = I C 0 = C 0 .• Si l’on suppose pour un entier naturel n que C n = M n C 0 , alors C n+1 = M C n = M M n C 0 = M n+1 C 0 .• On a bien montré que : ∀n∈IN, C n = M n C 0 .2. a) Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient une réduite de la matrice M – λI qui est :⎛ 1⎞⎜1− λ 1 ⎟⎜ 2⎟⎜ 2 λ 1⎟⎜0 − λ + + λ⎟⎜2 4⎟2⎜λ 10 0 λ(λ − − )⎟⎝2 2 ⎠Les valeurs propres de M sont les réels λ qui rendent cette matrice non inversible et ce sont :λ 1 = –21 , λ2 = 0 et λ 3 = 1.2i=05