Le probl`eme des sous-groupes de congruence

Nous allons maintenant définir pour tout d > 0, deux sous-ensembles de H 3 , B d etD d , qui vérifient les propriétés suivantes :⋃H 3 = γ · B dγ∈SL 2 (O d )B d = ⋃ ( ) 1 s· D0 1 d .s∈O dCela se fait en posant B d = {(z, r) ∈ H 3 :| uz − v | 2 + | u | 2 1 pour tout u, v ∈ O dqui engendrent l’idéal O d tout entier } et D d = B d ∩ F où F est un domaine fondamentalpour la translation par les éléments de O d , par exemple F = {(x + iy, r) |− 1 2 x 1 2 , −d 2 Im(w) x 1 2 Im(w)}. De plus D d possède la propriété intéressantesuivante qui fait de lui presque un domaine fondamental (voir [Su]) :Propriété 3.2. Tout point de H 3 possède un voisinage qui n’intersecte qu’un nombre finide γ(D d ) avec γ ∈ SL 2 (O d ).3.2 le théorème de Grunewald SchwermerUn point crucial de la démonstration du fait que SL 2 (O d ) ne possède pas la propriétédes sous-groupes de congruence consiste en le théorème suivant que l’on doit à Grunewaldet Schwermer (voir [GS]) :Théorème 3.3. Le groupe SL 2 (O) a un sous-groupe d’indice fini ayant un quotient librenon-abélien.L’idée de la preuve est la suivante. On choisit d un entier positif qui vérifiera les bonnespropriétés. SL 2 (O d ) est alors un sous-groupe d’indice fini de SL 2 (O). Par ailleurs, on aune application continue naturelle φ : SL 2 (O d ) → π 1 (H 3 /SL 2 (O d ), h) qui à tout élémentγ ∈ SL 2 (O d ) associe l’image dans H 3 /SL 2 (O d ) d’un chemin reliant h et (γ.h) dans H 3 .Ensuite, nous construirons une application continue θ : (H 3 /SL 2 (O d ), h) → (S, p), induisantune application θ ∗ entre leurs groupes fondamentaux, cet espace S ayant un groupefondamental libre non-abélien. C’est à ce stade, que nous aurons besoin de choisir unélément d de sorte que S soit un bouquet de W (d) cercles avec W (d) 2. Enfin, θ ∗ ◦ φsera d’image un groupe libre non abélien. Nous aurons alors démontré le théorème.Il s’agit maintenant de construire ce morphisme θ. La construction est assez calculatoire,c’est pourquoi nous omettrons ici quelques calculs et nous citerons quelquesrésultats sans démonstration. Une partie des calculs se trouvent dans [Su]Tout d’abord, pour tout entier d > 0, on pose W (d) l’ensemble des entiers m vérifiant lestrois propriétés suivantes :(i) (m, d) = 1, m ≠ 2(ii) 4m 2 d 2 D − 3,(iii) (m, |a + w | 2 ) = 1 pour tout entier a.Alors nous admettons le lemme 3.4 :8