Le probl`eme des sous-groupes de congruence
Le probl`eme des sous-groupes de congruence Le probl`eme des sous-groupes de congruence
normal Γ, de niveau général m, que Γ ⊃ ˆΓ(m). Réciproquement, si ˆΓ(m) ⊂ Γ, alors leniveau général de Γ divise m.Par ailleurs, on appelle niveau de Klein d’un sous-groupe de congruence Γ le pluspetit entier m tel que Γ(m) ∈ Γ. On déduit donc des propriétés du niveau général qu’unsous-groupe de congruence Γ de niveau de Klein l vérifie ˆΓ(l) ⊂ Γ(l) ⊂ Γ. Le niveaugénéral d’un sous-groupe de congruence divise donc son niveau de Klein. Le théorème deFricke nous donne la réciproque :Théorème 2.4 (Fricke). Soit Γ un sous-groupe de congruence de niveau général m.Alors Γ(m) ⊂ Γ.Démonstration. Désignons par l le niveau de Klein de Γ. On sait que m | l. PrenonsM ≡ Id mod m et montrons que M ∈ Γ. En fait, il suffit de montrer pour R, S ∈ Γ∩Γ(m),que RMS ∈ Γ. Nous allons donc nous ramener successivement aux cas d ∧ l = 1, puisb ≡ 0 mod l et c ≡ 0 mod l.Montrons que l’on peut supposer d ∧ l = 1. Si ce n’est pas le cas, on a d ≠ ±1, c ≠ 0 etd∧mc = 1. Donc, par le théorème de Dirichlet, il existe un entier g tel que (d+gmc, l) = 1.Donc, si on remplace M par MU gm , nous avons la propriété voulu. Comme U gm ∈Γ ∩ Γ(m), nous pouvons remplacer M par MU gm .Montrons maintenant que nous pouvons supposer b ≡ modl. Comme b ≡ 0 mod m etm | l, l’équation b + hmd ≡ 0 mod l a une solution h. En remplaçant donc M par U hm M,nous avons la condition désirée.Comme M a pour déterminant 1, on a ad ≡ 1 mod l et est congrue modulo l à la matrice(M 0 =a ad − 11 − ad d(2 − ad)En posant donc L = M −1 M 0 ∈ Γ(l), on a L ∈ Γ ∩ Γ(m) et M peut être remplacé parM 0 = ML. Enfin M 0 peut s’écrire( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( )1 0 1 0 1 a − 1 1 0 1 d − 1M 0 =.1 − d 1 −1 1 0 1 1 1 0 1Ces trois matrices sont paraboliques, d’amplitude un multiple de m, donc appartiennentà Γ. On a finalement montré que M 0 ∈ Γ ce qui termine la preuve.Corollaire 2.5 (Critère de Wohlfahrt). Soit G SL 2 (Z) un sous-groupe d’indice fini〈( )〉 N1 met soit m tel que G ⊇, la cloture normale de U m dans SL0 12 (Z). Alors, Gest un sous-groupe de congruence si et seulement si G Γ(m).2.3 Contre-exemples plus systématiquesAppliquons ceci à un exemple de sous-groupe d’indice 〈( fini ) non( de congruence )〉 dans1 2 1 0SL 2 (Z). Pour tout mot g appartenant au groupe libre;= 〈A; B〉,0 1 2 1on définit E A (g) comme la somme des exposants de A apparaissant dans g, et on définitde même E B (g) en remplaçant A par B. E A définit un morphisme de 〈A; B〉 dans Z. Pour6).
tout entier strictement positif l, on pose Γ l = {g ∈ 〈A; B〉 | E A (g) ≡ E B (g) ≡ 0 mod l}.Comme c’est le noyau du morphisme 〈A; B〉 → Z 2 → (Z/lZ) 2 composé du morphismeabélianisant et de la restriction modulo l, il est normal d’indice l 2 . Nous allons montrerque si l a un diviseur premier impair p, alors Γ l n’est pas un sous-groupe de congruence.( ) 1 2pDémonstration. En effet, si Γ l était de congruence, Γ p Γ l le serait. Or A p =∈0 1Γ p , donc, par le critère de Wohlfahrt, on aurait Γ p Γ(2p). Or ceci n’est pas possiblecompte tenu de leurs indices respectifs dans SL 2 (Z) :[SL 2 (Z) : Γ p ] = p 2 [SL 2 (Z) : 〈A; B〉] = 12p 2 ∤ 3p(p 2 − 1) = [SL 2 (Z) : Γ(2p)].3 Réseaux de l’espace hyperbolique à quotients libresnon abéliensDans la présente section, nous allons remplacer Q par Q( √ −D), où D désigne lediscriminant de l’extension Q( √ −D) sur Q ; et nous allons remplacer Z par O l’anneaudes entiers de Q( √ −D). Nous savons que c’est un Z-module de base (1, w) où w = i√ D2ou 1 + i√ Dsuivant que D ≡ 0 ou −1 mod 4. Enfin, pour d entier strictement positif,2désignons par O d le sous-anneau d’indice d dans O définit par O d = Z ⊕ Zdw. L’objectifde cette section est de prouver que SL 2 (O) n’a pas la propriété des sous-groupes decongruence. Autrement dit, tout sous-groupe de SL 2 (O) ne contient pas un noyau de laforme Ker(SL 2 (O) → SL 2 (O/I)) où I est un idéal de O.Pour cela, il serait très utile de faire apparaître un groupe libre non-abélien ( ) comme sousgrouped’indice fini de SL 2 (O). Malheureusement, comme U =∼ = Z 2 est un1 O0 1sous-groupe de SL 2 (O), tout sous-groupe libre de SL 2 (O) est d’indice infini. Cependant,Grunewald et Schwermer ont démontré qu’il existait un sous-groupe d’indice fini dansSL 2 (O) qui a un quotient libre non abélien ; ce qui suffira à démontrer le fait que SL 2 (O)ne possède pas la propriété des sous-groupes de congruence. Cette démonstration s’appuiesur l’action de SL 2 (C) sur H 3 , l’espace hyperbolique de dimension 3, vu comme C × R >0 .3.1 le demi-espace hyperbolique et son groupe d’isométriesEn effet, on a la propriété suivante (voir [Su]) :Propriété 3.1. SL 2 (C) agit sur H 3 de la façon suivante :( ) (a b(d − cz)(az − b) − r 2¯ca)r· (z, r) =,.c d|cz − d| +r 2 |c| 2 |cz − d| +r 2 |c| 27
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normal Γ, <strong>de</strong> niveau général m, que Γ ⊃ ˆΓ(m). Réciproquement, si ˆΓ(m) ⊂ Γ, alors leniveau général <strong>de</strong> Γ divise m.Par ailleurs, on appelle niveau <strong>de</strong> Klein d’un <strong>sous</strong>-groupe <strong>de</strong> <strong>congruence</strong> Γ le pluspetit entier m tel que Γ(m) ∈ Γ. On déduit donc <strong><strong>de</strong>s</strong> propriétés du niveau général qu’un<strong>sous</strong>-groupe <strong>de</strong> <strong>congruence</strong> Γ <strong>de</strong> niveau <strong>de</strong> Klein l vérifie ˆΓ(l) ⊂ Γ(l) ⊂ Γ. <strong>Le</strong> niveaugénéral d’un <strong>sous</strong>-groupe <strong>de</strong> <strong>congruence</strong> divise donc son niveau <strong>de</strong> Klein. <strong>Le</strong> théorème <strong>de</strong>Fricke nous donne la réciproque :Théorème 2.4 (Fricke). Soit Γ un <strong>sous</strong>-groupe <strong>de</strong> <strong>congruence</strong> <strong>de</strong> niveau général m.Alors Γ(m) ⊂ Γ.Démonstration. Désignons par l le niveau <strong>de</strong> Klein <strong>de</strong> Γ. On sait que m | l. PrenonsM ≡ Id mod m et montrons que M ∈ Γ. En fait, il suffit <strong>de</strong> montrer pour R, S ∈ Γ∩Γ(m),que RMS ∈ Γ. Nous allons donc nous ramener successivement aux cas d ∧ l = 1, puisb ≡ 0 mod l et c ≡ 0 mod l.Montrons que l’on peut supposer d ∧ l = 1. Si ce n’est pas le cas, on a d ≠ ±1, c ≠ 0 etd∧mc = 1. Donc, par le théorème <strong>de</strong> Dirichlet, il existe un entier g tel que (d+gmc, l) = 1.Donc, si on remplace M par MU gm , nous avons la propriété voulu. Comme U gm ∈Γ ∩ Γ(m), nous pouvons remplacer M par MU gm .Montrons maintenant que nous pouvons supposer b ≡ modl. Comme b ≡ 0 mod m etm | l, l’équation b + hmd ≡ 0 mod l a une solution h. En remplaçant donc M par U hm M,nous avons la condition désirée.Comme M a pour déterminant 1, on a ad ≡ 1 mod l et est congrue modulo l à la matrice(M 0 =a ad − 11 − ad d(2 − ad)En posant donc L = M −1 M 0 ∈ Γ(l), on a L ∈ Γ ∩ Γ(m) et M peut être remplacé parM 0 = ML. Enfin M 0 peut s’écrire( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( )1 0 1 0 1 a − 1 1 0 1 d − 1M 0 =.1 − d 1 −1 1 0 1 1 1 0 1Ces trois matrices sont paraboliques, d’amplitu<strong>de</strong> un multiple <strong>de</strong> m, donc appartiennentà Γ. On a finalement montré que M 0 ∈ Γ ce qui termine la preuve.Corollaire 2.5 (Critère <strong>de</strong> Wohlfahrt). Soit G SL 2 (Z) un <strong>sous</strong>-groupe d’indice fini〈( )〉 N1 met soit m tel que G ⊇, la cloture normale <strong>de</strong> U m dans SL0 12 (Z). Alors, Gest un <strong>sous</strong>-groupe <strong>de</strong> <strong>congruence</strong> si et seulement si G Γ(m).2.3 Contre-exemples plus systématiquesAppliquons ceci à un exemple <strong>de</strong> <strong>sous</strong>-groupe d’indice 〈( fini ) non( <strong>de</strong> <strong>congruence</strong> )〉 dans1 2 1 0SL 2 (Z). Pour tout mot g appartenant au groupe libre;= 〈A; B〉,0 1 2 1on définit E A (g) comme la somme <strong><strong>de</strong>s</strong> exposants <strong>de</strong> A apparaissant dans g, et on définit<strong>de</strong> même E B (g) en remplaçant A par B. E A définit un morphisme <strong>de</strong> 〈A; B〉 dans Z. Pour6).
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