Le probl`eme des sous-groupes de congruence

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A ∩ K = B ∩ K etϕ i (A)/ϕ i (B) ∼ =Conclusion, G est impliqué dans P SL 2 (Z/p r ii Z).A/(A ∩ K)B/(B ∩ K) ∼ = A/B ∼ = G.Lemme 2.2. Soit G un groupe fini simple impliqué dans P SL 2 (Z/p r Z) pour un nombrepremier p. Alors G est impliqué dans P SL 2 (Z/pZ).Démonstration. Soit K le noyau du morphisme canonique π : P SL 2 (Z/p r Z) → P SL 2 (Z/pZ).Montrons que K est un p-groupe. Tout élément x de K s’écrit x = Id + pM avecp∑r−1M ∈ M 2 (Z/p r p r−1+i lZ). Donc x pr−1 = Id +M i . Or la valuation en p de i! esti!i=1plus petite que i − 1 donc x pr−1 = 1 et tout élément de K est d’ordre une puissance de p.K est donc bien un p-groupe, il est en particulier nilpotent.Par ailleurs, on a :P SL 2 (Z/p i Z)∨Aavec A ∩ K ⊳ A, et comme ϕ est surjectif, ϕ(A ∩ K) ⊳ A. Or ϕ(A ∩ K) est nilpotent etn’est pas égal à G, donc ϕ(A ∩ K) = {1} ; ϕ passe au quotient et :ϕGP SL 2 (Z/pZ)∼= P SL 2 (Z/p i Z)/K∨A/(A ∩ K)Donc G est impliqué dans P SL 2 (Z/pZ).¯ϕG.Lemme 2.3. Les q sous-groupes de Sylow de P SL 2 (F p r) sont abéliens pour q ≠ 2 ; p,qpremiers.Démonstration. Cette démonstration est un cas particulier d’un article de A.J. Weir [W2].Notons l = p r . Montrons que les q-Sylows de GL 2 (F l ) sont abéliens pour ( q ≠)2. Tout1d’abord, |GL 2 (F l )|= l(l − 1)(l 2 Fl− 1). Si q = p, un p-Sylow est donné parqui est0 1abélien. Nous supposerons donc dans la suite q ≠ p. Trois cas se présentent : soit q | l − 1,soit q | l 2 − 1 et q ∤ l − 1, soit les q-Sylows sont trivaux.Intéressons nous au premier cas : on écrit l = kq r + 1 avec k ∧ q = 1, r 1. Alorsl 2 − 1 = q r (2k + q r k 2 ) où (2k + q r k 2 ) ∧ q = 1 (car q ≠ 2, r 1). On en déduit que lesq-Sylows de(GL 2 (F l )sont d’ordre q 2r . Or le q-Sylow (cyclique) S q de (Z/pZ) ∗ est d’ordreq r Sq 0. Doncest un q-Sylow abélien de GL0 S 2 (F l ).qSupposons maintenant que q ∤ (l − 1) et l 2 − 1 = kq r avec k ∧ q = 1 et r 1. Alors,regardons F l 2 comme un espace vectoriel de dimension 2 sur F l ; la multiplication parun élément non nul de F l 2 définit un automorphisme de F l 2. Ceci induit une applicationϕ : (F l 2) ∗ → GL 2 (F l ). ϕ est injective donc |Im(F ∗ l 2)|= kqr et un q-Sylow de GL 2 (Z/pZ)est isomorphe à un sous-groupe de (F l 2) ∗ et est donc cyclique.4

On sait que tout groupe libre de rang fini se plonge comme sous-groupe d’indice finidans P SL 2 (Z). En conséquence, tout groupe fini G est impliqué dans P SL 2 (Z) et on a :P SL 2 (Z) ⊃ F ⊃ N où N est d’indice fini dans P SL 2 (Z) avec F/N ∼ = G. Supposons queSL 2 (Z) ait la CSP. Alors, comme N est d’indice fini dans P SL 2 (Z), il existe m ∈ N telque N ⊇ Γ(m) et on a P SL 2 (Z)/Γ(m) ∼ = P SL 2 (Z/mZ) ⊃ F/Γ(m) ⊃ N/Γ(m). DoncG ∼ = (F/Γ(m))/(N/Γ(m)) est impliqué dans P SL 2 (Z/mZ). En prenant G simple, onsait par les lemmes 2.1 et 2.2 que G est impliqué dans P SL 2 (Z/pZ) pour un nombrepremier p. Or, si on pose G := P SL 3 (Z/qZ) et P SL 2 (Z/pZ) ⊃ A ⊃ B avec G ∼ = A/B,les q-Sylows de P SL 2 (Z/pZ) sont abéliens d’après le lemme 2.3. Les q-Sylows de A sontdonc abéliens et leur image dans G également. Or l’application : A → G est surjectivedonc les q-Sylows de G (qui sont image des q-Sylows de A) sont abéliens. Ceci constitueune contradiction car un q-Sylow de G ([W1]) est donné par⎛{M ∈ P SL 3 (Z/qZ) | M = ⎝1 ∗ ∗0 1 ∗0 0 1qui est clairement non abélien. En conclusion SL 2 (Z) n’a pas la CSP.⎞⎠}2.2 Théorème de Fricke et critère de WohlfahrtPour exhiber un sous-groupe non de congruence par le raisonnement ci-dessus, il nousfaudrait écrire P SL 3 (Z/3Z) comme quotient d’un groupe libre et regarder l’image dugroupe diviseur dans F 2 puis dans SL 2 (Z), ce qui est relativement laborieux. Nous allonsdonc énoncer ici le critère de Wohlfahrt [WF], basé sur un théorème de Fricke, qui permetde trouver des exemples plus systématiques de sous-groupes non de congruence.Tout d’abord, introduisons quelques notions. Nous savons que SL 2 (R) agit sur H 2 ,l’espace hyperbolique de dimension 2, vu comme le demi-plan des nombres complexes àpartie imaginaire strictement positive. Cette action s’effectue de la façon suivante :( ) a bc d· z = az + bcz + d .Cette action peut s’étendre en une action sur H 2 = H 2 ∪ R ∪ {∞}. Nous dirons d’unematrice P ∈ SL 2 (Z) qu’elle est parabolique si elle fixe un seul point ζ de H 2 .( Alors ζ)∈1 1Q ∪ {∞} et il existe A ∈ SL 2 (Z) tel que P = A −1 U m A avec A(ζ) = ∞ et U = .0 1L’entier m ci-dessus est défini de façon unique par P et on appelle | m | l’amplitude deP . Si un sous-groupe Γ de SL 2 (Z) contient des matrices paraboliques P , on appelle leurspoints fixes les sommets de Γ. Etant donné un groupe Γ ⊂ SL 2 (Z) et un sommet ζ deΓ, le stabilisateur de ζ dans Γ est engendré par un élément P dont l’amplitude définitl’amplitude de ζ ; cette amplitude ne dépend pas de P .Tout ceci nous permet de définir niveau général d’un groupe Γ ⊂ SL 2 (Z) comme étantle plus petit commun multiple des amplitudes de ses sommets (s’il existe). On appellealors ˆΓ(m) la cloture normale de U m et on peut facilement vérifier pour un sous groupe5

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