Le probl`eme des sous-groupes de congruence

A ∩ K = B ∩ K etϕ i (A)/ϕ i (B) ∼ =Conclusion, G est impliqué dans P SL 2 (Z/p r ii Z).A/(A ∩ K)B/(B ∩ K) ∼ = A/B ∼ = G.Lemme 2.2. Soit G un groupe fini simple impliqué dans P SL 2 (Z/p r Z) pour un nombrepremier p. Alors G est impliqué dans P SL 2 (Z/pZ).Démonstration. Soit K le noyau du morphisme canonique π : P SL 2 (Z/p r Z) → P SL 2 (Z/pZ).Montrons que K est un p-groupe. Tout élément x de K s’écrit x = Id + pM avecp∑r−1M ∈ M 2 (Z/p r p r−1+i lZ). Donc x pr−1 = Id +M i . Or la valuation en p de i! esti!i=1plus petite que i − 1 donc x pr−1 = 1 et tout élément de K est d’ordre une puissance de p.K est donc bien un p-groupe, il est en particulier nilpotent.Par ailleurs, on a :P SL 2 (Z/p i Z)∨Aavec A ∩ K ⊳ A, et comme ϕ est surjectif, ϕ(A ∩ K) ⊳ A. Or ϕ(A ∩ K) est nilpotent etn’est pas égal à G, donc ϕ(A ∩ K) = {1} ; ϕ passe au quotient et :ϕGP SL 2 (Z/pZ)∼= P SL 2 (Z/p i Z)/K∨A/(A ∩ K)Donc G est impliqué dans P SL 2 (Z/pZ).¯ϕG.Lemme 2.3. Les q sous-groupes de Sylow de P SL 2 (F p r) sont abéliens pour q ≠ 2 ; p,qpremiers.Démonstration. Cette démonstration est un cas particulier d’un article de A.J. Weir [W2].Notons l = p r . Montrons que les q-Sylows de GL 2 (F l ) sont abéliens pour ( q ≠)2. Tout1d’abord, |GL 2 (F l )|= l(l − 1)(l 2 Fl− 1). Si q = p, un p-Sylow est donné parqui est0 1abélien. Nous supposerons donc dans la suite q ≠ p. Trois cas se présentent : soit q | l − 1,soit q | l 2 − 1 et q ∤ l − 1, soit les q-Sylows sont trivaux.Intéressons nous au premier cas : on écrit l = kq r + 1 avec k ∧ q = 1, r 1. Alorsl 2 − 1 = q r (2k + q r k 2 ) où (2k + q r k 2 ) ∧ q = 1 (car q ≠ 2, r 1). On en déduit que lesq-Sylows de(GL 2 (F l )sont d’ordre q 2r . Or le q-Sylow (cyclique) S q de (Z/pZ) ∗ est d’ordreq r Sq 0. Doncest un q-Sylow abélien de GL0 S 2 (F l ).qSupposons maintenant que q ∤ (l − 1) et l 2 − 1 = kq r avec k ∧ q = 1 et r 1. Alors,regardons F l 2 comme un espace vectoriel de dimension 2 sur F l ; la multiplication parun élément non nul de F l 2 définit un automorphisme de F l 2. Ceci induit une applicationϕ : (F l 2) ∗ → GL 2 (F l ). ϕ est injective donc |Im(F ∗ l 2)|= kqr et un q-Sylow de GL 2 (Z/pZ)est isomorphe à un sous-groupe de (F l 2) ∗ et est donc cyclique.4

On sait que tout groupe libre de rang fini se plonge comme sous-groupe d’indice finidans P SL 2 (Z). En conséquence, tout groupe fini G est impliqué dans P SL 2 (Z) et on a :P SL 2 (Z) ⊃ F ⊃ N où N est d’indice fini dans P SL 2 (Z) avec F/N ∼ = G. Supposons queSL 2 (Z) ait la CSP. Alors, comme N est d’indice fini dans P SL 2 (Z), il existe m ∈ N telque N ⊇ Γ(m) et on a P SL 2 (Z)/Γ(m) ∼ = P SL 2 (Z/mZ) ⊃ F/Γ(m) ⊃ N/Γ(m). DoncG ∼ = (F/Γ(m))/(N/Γ(m)) est impliqué dans P SL 2 (Z/mZ). En prenant G simple, onsait par les lemmes 2.1 et 2.2 que G est impliqué dans P SL 2 (Z/pZ) pour un nombrepremier p. Or, si on pose G := P SL 3 (Z/qZ) et P SL 2 (Z/pZ) ⊃ A ⊃ B avec G ∼ = A/B,les q-Sylows de P SL 2 (Z/pZ) sont abéliens d’après le lemme 2.3. Les q-Sylows de A sontdonc abéliens et leur image dans G également. Or l’application : A → G est surjectivedonc les q-Sylows de G (qui sont image des q-Sylows de A) sont abéliens. Ceci constitueune contradiction car un q-Sylow de G ([W1]) est donné par⎛{M ∈ P SL 3 (Z/qZ) | M = ⎝1 ∗ ∗0 1 ∗0 0 1qui est clairement non abélien. En conclusion SL 2 (Z) n’a pas la CSP.⎞⎠}2.2 Théorème de Fricke et critère de WohlfahrtPour exhiber un sous-groupe non de congruence par le raisonnement ci-dessus, il nousfaudrait écrire P SL 3 (Z/3Z) comme quotient d’un groupe libre et regarder l’image dugroupe diviseur dans F 2 puis dans SL 2 (Z), ce qui est relativement laborieux. Nous allonsdonc énoncer ici le critère de Wohlfahrt [WF], basé sur un théorème de Fricke, qui permetde trouver des exemples plus systématiques de sous-groupes non de congruence.Tout d’abord, introduisons quelques notions. Nous savons que SL 2 (R) agit sur H 2 ,l’espace hyperbolique de dimension 2, vu comme le demi-plan des nombres complexes àpartie imaginaire strictement positive. Cette action s’effectue de la façon suivante :( ) a bc d· z = az + bcz + d .Cette action peut s’étendre en une action sur H 2 = H 2 ∪ R ∪ {∞}. Nous dirons d’unematrice P ∈ SL 2 (Z) qu’elle est parabolique si elle fixe un seul point ζ de H 2 .( Alors ζ)∈1 1Q ∪ {∞} et il existe A ∈ SL 2 (Z) tel que P = A −1 U m A avec A(ζ) = ∞ et U = .0 1L’entier m ci-dessus est défini de façon unique par P et on appelle | m | l’amplitude deP . Si un sous-groupe Γ de SL 2 (Z) contient des matrices paraboliques P , on appelle leurspoints fixes les sommets de Γ. Etant donné un groupe Γ ⊂ SL 2 (Z) et un sommet ζ deΓ, le stabilisateur de ζ dans Γ est engendré par un élément P dont l’amplitude définitl’amplitude de ζ ; cette amplitude ne dépend pas de P .Tout ceci nous permet de définir niveau général d’un groupe Γ ⊂ SL 2 (Z) comme étantle plus petit commun multiple des amplitudes de ses sommets (s’il existe). On appellealors ˆΓ(m) la cloture normale de U m et on peut facilement vérifier pour un sous groupe5

normal Γ, de niveau général m, que Γ ⊃ ˆΓ(m). Réciproquement, si ˆΓ(m) ⊂ Γ, alors leniveau général de Γ divise m.Par ailleurs, on appelle niveau de Klein d’un sous-groupe de congruence Γ le pluspetit entier m tel que Γ(m) ∈ Γ. On déduit donc des propriétés du niveau général qu’unsous-groupe de congruence Γ de niveau de Klein l vérifie ˆΓ(l) ⊂ Γ(l) ⊂ Γ. Le niveaugénéral d’un sous-groupe de congruence divise donc son niveau de Klein. Le théorème deFricke nous donne la réciproque :Théorème 2.4 (Fricke). Soit Γ un sous-groupe de congruence de niveau général m.Alors Γ(m) ⊂ Γ.Démonstration. Désignons par l le niveau de Klein de Γ. On sait que m | l. PrenonsM ≡ Id mod m et montrons que M ∈ Γ. En fait, il suffit de montrer pour R, S ∈ Γ∩Γ(m),que RMS ∈ Γ. Nous allons donc nous ramener successivement aux cas d ∧ l = 1, puisb ≡ 0 mod l et c ≡ 0 mod l.Montrons que l’on peut supposer d ∧ l = 1. Si ce n’est pas le cas, on a d ≠ ±1, c ≠ 0 etd∧mc = 1. Donc, par le théorème de Dirichlet, il existe un entier g tel que (d+gmc, l) = 1.Donc, si on remplace M par MU gm , nous avons la propriété voulu. Comme U gm ∈Γ ∩ Γ(m), nous pouvons remplacer M par MU gm .Montrons maintenant que nous pouvons supposer b ≡ modl. Comme b ≡ 0 mod m etm | l, l’équation b + hmd ≡ 0 mod l a une solution h. En remplaçant donc M par U hm M,nous avons la condition désirée.Comme M a pour déterminant 1, on a ad ≡ 1 mod l et est congrue modulo l à la matrice(M 0 =a ad − 11 − ad d(2 − ad)En posant donc L = M −1 M 0 ∈ Γ(l), on a L ∈ Γ ∩ Γ(m) et M peut être remplacé parM 0 = ML. Enfin M 0 peut s’écrire( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( )1 0 1 0 1 a − 1 1 0 1 d − 1M 0 =.1 − d 1 −1 1 0 1 1 1 0 1Ces trois matrices sont paraboliques, d’amplitude un multiple de m, donc appartiennentà Γ. On a finalement montré que M 0 ∈ Γ ce qui termine la preuve.Corollaire 2.5 (Critère de Wohlfahrt). Soit G SL 2 (Z) un sous-groupe d’indice fini〈( )〉 N1 met soit m tel que G ⊇, la cloture normale de U m dans SL0 12 (Z). Alors, Gest un sous-groupe de congruence si et seulement si G Γ(m).2.3 Contre-exemples plus systématiquesAppliquons ceci à un exemple de sous-groupe d’indice 〈( fini ) non( de congruence )〉 dans1 2 1 0SL 2 (Z). Pour tout mot g appartenant au groupe libre;= 〈A; B〉,0 1 2 1on définit E A (g) comme la somme des exposants de A apparaissant dans g, et on définitde même E B (g) en remplaçant A par B. E A définit un morphisme de 〈A; B〉 dans Z. Pour6).

tout entier strictement positif l, on pose Γ l = {g ∈ 〈A; B〉 | E A (g) ≡ E B (g) ≡ 0 mod l}.Comme c’est le noyau du morphisme 〈A; B〉 → Z 2 → (Z/lZ) 2 composé du morphismeabélianisant et de la restriction modulo l, il est normal d’indice l 2 . Nous allons montrerque si l a un diviseur premier impair p, alors Γ l n’est pas un sous-groupe de congruence.( ) 1 2pDémonstration. En effet, si Γ l était de congruence, Γ p Γ l le serait. Or A p =∈0 1Γ p , donc, par le critère de Wohlfahrt, on aurait Γ p Γ(2p). Or ceci n’est pas possiblecompte tenu de leurs indices respectifs dans SL 2 (Z) :[SL 2 (Z) : Γ p ] = p 2 [SL 2 (Z) : 〈A; B〉] = 12p 2 ∤ 3p(p 2 − 1) = [SL 2 (Z) : Γ(2p)].3 Réseaux de l’espace hyperbolique à quotients libresnon abéliensDans la présente section, nous allons remplacer Q par Q( √ −D), où D désigne lediscriminant de l’extension Q( √ −D) sur Q ; et nous allons remplacer Z par O l’anneaudes entiers de Q( √ −D). Nous savons que c’est un Z-module de base (1, w) où w = i√ D2ou 1 + i√ Dsuivant que D ≡ 0 ou −1 mod 4. Enfin, pour d entier strictement positif,2désignons par O d le sous-anneau d’indice d dans O définit par O d = Z ⊕ Zdw. L’objectifde cette section est de prouver que SL 2 (O) n’a pas la propriété des sous-groupes decongruence. Autrement dit, tout sous-groupe de SL 2 (O) ne contient pas un noyau de laforme Ker(SL 2 (O) → SL 2 (O/I)) où I est un idéal de O.Pour cela, il serait très utile de faire apparaître un groupe libre non-abélien ( ) comme sousgrouped’indice fini de SL 2 (O). Malheureusement, comme U =∼ = Z 2 est un1 O0 1sous-groupe de SL 2 (O), tout sous-groupe libre de SL 2 (O) est d’indice infini. Cependant,Grunewald et Schwermer ont démontré qu’il existait un sous-groupe d’indice fini dansSL 2 (O) qui a un quotient libre non abélien ; ce qui suffira à démontrer le fait que SL 2 (O)ne possède pas la propriété des sous-groupes de congruence. Cette démonstration s’appuiesur l’action de SL 2 (C) sur H 3 , l’espace hyperbolique de dimension 3, vu comme C × R >0 .3.1 le demi-espace hyperbolique et son groupe d’isométriesEn effet, on a la propriété suivante (voir [Su]) :Propriété 3.1. SL 2 (C) agit sur H 3 de la façon suivante :( ) (a b(d − cz)(az − b) − r 2¯ca)r· (z, r) =,.c d|cz − d| +r 2 |c| 2 |cz − d| +r 2 |c| 27

Nous allons maintenant définir pour tout d > 0, deux sous-ensembles de H 3 , B d etD d , qui vérifient les propriétés suivantes :⋃H 3 = γ · B dγ∈SL 2 (O d )B d = ⋃ ( ) 1 s· D0 1 d .s∈O dCela se fait en posant B d = {(z, r) ∈ H 3 :| uz − v | 2 + | u | 2 1 pour tout u, v ∈ O dqui engendrent l’idéal O d tout entier } et D d = B d ∩ F où F est un domaine fondamentalpour la translation par les éléments de O d , par exemple F = {(x + iy, r) |− 1 2 x 1 2 , −d 2 Im(w) x 1 2 Im(w)}. De plus D d possède la propriété intéressantesuivante qui fait de lui presque un domaine fondamental (voir [Su]) :Propriété 3.2. Tout point de H 3 possède un voisinage qui n’intersecte qu’un nombre finide γ(D d ) avec γ ∈ SL 2 (O d ).3.2 le théorème de Grunewald SchwermerUn point crucial de la démonstration du fait que SL 2 (O d ) ne possède pas la propriétédes sous-groupes de congruence consiste en le théorème suivant que l’on doit à Grunewaldet Schwermer (voir [GS]) :Théorème 3.3. Le groupe SL 2 (O) a un sous-groupe d’indice fini ayant un quotient librenon-abélien.L’idée de la preuve est la suivante. On choisit d un entier positif qui vérifiera les bonnespropriétés. SL 2 (O d ) est alors un sous-groupe d’indice fini de SL 2 (O). Par ailleurs, on aune application continue naturelle φ : SL 2 (O d ) → π 1 (H 3 /SL 2 (O d ), h) qui à tout élémentγ ∈ SL 2 (O d ) associe l’image dans H 3 /SL 2 (O d ) d’un chemin reliant h et (γ.h) dans H 3 .Ensuite, nous construirons une application continue θ : (H 3 /SL 2 (O d ), h) → (S, p), induisantune application θ ∗ entre leurs groupes fondamentaux, cet espace S ayant un groupefondamental libre non-abélien. C’est à ce stade, que nous aurons besoin de choisir unélément d de sorte que S soit un bouquet de W (d) cercles avec W (d) 2. Enfin, θ ∗ ◦ φsera d’image un groupe libre non abélien. Nous aurons alors démontré le théorème.Il s’agit maintenant de construire ce morphisme θ. La construction est assez calculatoire,c’est pourquoi nous omettrons ici quelques calculs et nous citerons quelquesrésultats sans démonstration. Une partie des calculs se trouvent dans [Su]Tout d’abord, pour tout entier d > 0, on pose W (d) l’ensemble des entiers m vérifiant lestrois propriétés suivantes :(i) (m, d) = 1, m ≠ 2(ii) 4m 2 d 2 D − 3,(iii) (m, |a + w | 2 ) = 1 pour tout entier a.Alors nous admettons le lemme 3.4 :8

Lemme 3.4. Il existe un entier d > 0 tel que W (d) ait au moins deux éléments.Maintenant, choisissons un tel d et pour tout m ∈ W (d) et tout n premier avec m,on pose F m,n = B d ∩ {(z, r) ∈ H 3 || Im(z − ndwm ) | 1d 4 D }. Comme 2 4m2 d 2 D, ona F m,n ∩ F m ′ ,n ′ = ∅ si (m, n) ≠ (m′ , n ′ ). Ces ensembles F m,n vont servir de support auxfonctions θ m et on pose pour (z, r) ∈ B d :{−exp{πidθ(z, r) =4 D 2 Im(z − ndwm )} si (z, r) ∈ F m,n1 sinon.Comme H 3 =⋂γ∈SL 2 (O d )γ.B d , nous voudrions induire une fonction θ ′ m : H 3 /SL 2 (O d ) → S 1 .Ceci est rendu possible par le lemme suivant :Lemme 3.5. Soit γ ∈ SL 2 (O d ), m ∈ W (d), n premier avec m et (z, r) ∈ F m,n . Siγ(z, r) = (z ′ , r ′ ) ∈ B d , alors il existe n ′ premier avec m tel que Im(z − ndwm ) = Im(z′ −n ′ dwm ).La démonstration de ce lemme résulte de nombreux calculs qui ne peuvent être exposésici.Corollaire 3.6. La fonction θ ′ m : H 3 /SL 2 (O d ) → S 1 définie par θ ′ m((z, r)) = θ m (γ(z, r))pour un γ tel que γ(z, r) ∈ B d , est bien définie et ne dépend ni du représentant (z, r)choisi, ni du choix de γ.On construit donc le graphe suivant :Φ=(Φ m) m∈W (d)SL 2 (O d )φπ 1 (H 3 /SL 2 (O d ), h) ((θ′ m )∗) m∈W (d)π 1 (S, 1)H 1 (S, Z)‖‖F s F s /[F s , F s ]Il nous suffit donc de montrer que Φ est surjective pour montrer que l’image de θ ∗ ◦ φ estun groupe libre non abélien.Propriété 3.7. L’application Φ est surjectiveDémonstration. Soit γ ∈ SL 2 (O d ), alors s’il existe (z, r) ∈ B d tel que γ(z, r) = (z ′ , r ′ ) ∈B d , on a :Φ m (γ) = ± ♯{(k, m) = 1 | Im(z) Im( kdwm ) < Im(z′ )}suivant que Im(z) Im(z ′ ) ou non.Pour montrer la surjectivité de Φ, nous allons construire pour tout m ∈ W (d) un élémentγ m ∈ SL 2 (O d ) tel que Φ r (γ s ) = δ r,s . Tout d’abord, ordonons les éléments m 1 , ..., m s de9

W (d) de telle façon que 1 > r 1> ... > r soù r i désigne le plus grand entier plus petitm 1 m sque m i /2, premier avec m i (ceci est rendu possible par l’assertion m i 3). Il existe alorsun entier q i > m i − r i tel que r i q i ≡ 1 mod m. Il est également possible de montrer que lacongruence |a i + dw | 2 ≡ − |bi + dw | 2 modm i possède des solutions a i et b i . On considèreles matrices( )qi (aσ i = i + dw) ∗m i r i (a i + dw)( )(mi − rτ i =i )(b i + dw) ∗q i (b i + dw)m i. Ensuite, on considère les éléments z i = r i(a i + dw)m i, z i ′ = − q i(a i + dw), w i = q i(b i + dw),m im iw ′ i = − (m i − r i )(a i + dw)m i, t i = 1 m i, qui sont tels que σ i (z i , t i ) = (z ′ i, t i ) et τ(w i , t i ) =(w ′ i, t i ). Or, il est possible de démontrer que tout ces éléments de la forme (appartiennent à B d . On en conclue donc queΦ mj (σ i ) = ♯{(k, m j ) = 1 |r i< k q i},m i m j m in(a + dw), 1 m m )Φ mj (τ i ) = − ♯{(k, m j ) = 1 | m i − r im i< k m j q im i},Φ mj (γ i ) = ♯{(k, m j ) = 1 |r im i< k m j m i − r i} = δ i,jm ioù γ i = σ i τ i . Ce qui finit de démontrer la surjectivité de Φ et le théorème de Grunewald-Schwermer.Terminons cette section en citant le résultat qui permet de conclure la démonstrationdu fait que SL 2 (O) n’a pas la CSP.Théorème 3.8. Soit K une extension quadratique de Q, S un ensemble fini de places deK contenant toutes les places archimédiennes, O S l’anneau des S-entiers de K et n 2un entier . Si un sous-groupe Γ SL n (O S ) a la CSP, alors il n’existe pas de sous-grouped’indice fini de Γ ayant un groupe libre non abélien comme quotient.Références[Su] B. Sury, The congruence subgroup problem (an elementary approach aimed at applications),Texts and readings in mathematics 24, Hindustan Book Agency (distribuépar l’AMS), (2003).[W1] A.J. Weir, Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristicp, Proceedings of American Mathematical Society 6, 454-464 (1955).[W2] A.J. Weir, Sylow p-subgroups of the classical group over finite fields with characteristicprime to p, Proceedings of American Mathematical Society 6, 529-533 (1955).10

[GS] F.J. Grunewald and J. Schwermer, Free non-abelian quotients of SL 2 over ordersof imaginary quadratic numberfields, Journal of algebra 69, 298-304 (1981).[La] S. Lang, Algebra-Second edition, Addison Wesley Publishing company (1984)[WF] K. Wohlfahrt, An extension of F.Klein’s level concept, Illinois Journal of Mathematics,529-535 (1964).[Go] C. Godbillon, Eléments de topologie algébrique, Hermann Paris, (1971)[RZ] L. Ribes and P. Zalesskii, Profinite groups, Springer, (2000)[Sa] P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann Paris, (1967)11