Exercice 2 : les cylindres en papier

On conjecture facilement que les points An et Cn ont sont tels que :l A n=2n – 1 2 et l C n=2n 2Démontrons-le :l ( An) = OA + A B + B C + C D + D A + ... + B C + C D + D A1 1 1 1 1 1 1 1 2 n − 1 n − 1 n − 1 n − 1 n − 1= 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + ( 2n − 2) + ( 2n − 2) + ( 2n− 1)= 2. ( 1 + 2 + 3 + ... + ( 2n− 2)) + ( 2n− 1) )( 2n− 2) ( 2n− 1)= 2. +2( 2n − 1) ) = ( 2n − 2) ( 2n − 1) + ( 2n− 1)= ( 2n − 1) ( 2n − 2)+ 1 = 2n− 1( ) ( ) 22 22et l ( C ) = l ( A ) + A B + B C = ( 2n − 1) + ( 2n − 1) + 2n = 4n = ( 2n)n n n n n n1. Il existe deux points A de l’axe des abscisses tels que OA = 5 , l’un d’abscisse 5 ,l’autre d’abscisse − 5 .1 ier cas : A ( 5, 0)Ce point est sur le segment ⎡⎣ B C ⎤5 5 ⎦ ;en effet on a B ( 5, − 5)5 et C ( 5,5 )5 avec AC = 55 .2Ainsi l ( A) = l ( C 5) − 5 = 10 − 5 =95.2 ième cas : A′ ( − 5,0 )Ce point est sur le segment ⎡⎣ D A ⎤5 6 ⎦ ( D ( − 5,5 )5 , A ( − 5, − 6)6 ;) avec A′ A = 66 .2Ainsi l ( A′ ) = l ( A 6) − 6 = 11 − 6 = 115 .2. B ( 2005,2006 ) est sur le segment ⎡⎣ C D ⎤2006 2006 ⎦ ;en effet on a C ( 2006,2006 )2006 et D ( − 2006,2006 )5 avec C B = 12006 .2Ainsi l ( B ) = l ( C 2006) + 1 = 4012 + 1 = 16 096 145 .3. On cherche ici le point C tel que l ( C ) = 2006 .Or, la suite des nombresl( O) = 0, l ( A1) = 1 , l ( C1) = 4 , l ( A2) = 9 , l ( C2) = 16 ,…,… l ( A ) = ( 2n− 1) 2, l ( C ) = ( 2n) 2est la suite des carrés des entiers naturels (ou « carrés parfaits »).Il suffit donc d’abord d’encadrer 2006 par deux carrés parfaits successifs :l C = 44 2 = 1936 < 2006 < 2025 = 452 = l A .( ) ( )De plus C D = 4422 22 donc22 23( ) = 1936 + 44 = 1980 < 2006 < 2025 = 452 = l ( A )l DC ∈ ⎡ ⎣ D A ⎤ ⎦ .donc22 23n22 23Enfin : 2006 − 1980 = 26 doncDonc C a pour coordonnées ( − 22, − 4 ) .⎧⎪x = − 22 = x = xC D22 A23⎨yc= x − 26 = 22 − 26 = − 4⎪⎩D22nn