Exercice 2 : les cylindres en papier

Exercice 3 : les cylindres en papierCommençons par des considérations générales qui serviront tout au long de l’exercice.Pour un cylindre dont la hauteur est h, le rayon de base R et la surface de base B, la formule2donnant le volume est : V = B × h = π R h .Pour un cercle de rayon R, la formule donnant le périmètre est p = 2πR .Si le cylindre est formé à partir d’un rectangle ou d’un parallélogramme de base a qu’onenroulera et de hauteur b qui sera aussi la hauteur du cylindre, on aura :2aa = 2πR d’où R =apuis V = π⎛ ⎞b2π⎜ ⎟ soit V = 1⎝ 2π⎠4 a2 b .1. Prenons une feuille de papier de 21 cm de large ( l = 21) et 29,7 cm de long ( L = 29,7 )Notons a = 21 = l et b = 29,7 = L .Selon la façon dont on roule la feuille pour obtenir un cylindre, le volume sera :V 1= 14 L2 l ou V 2= 14 l2 LV1LAinsi = et comme L ≠ l , il en découle que VV l1≠V 2 .2Remarquons qu’il n’est pas nécessaire d’effectuer des calculs pour conclure.2. Dans une feuille de papier de format A4, on enlève deux triangles de mêmes dimensionsselon la figure donnée dans l’énoncé. Selon la façon dont on roule la feuille on obtientdeux cylindres de tailles différentes.Pour le cylindre n°1, on a avec les notations précédentes :a = 29.7 − x = L − x et b = 21 = l d’où V 1= 14 L−x2 l .Pour le cylindre n°2, on doit déjà calculer les valeurs de a et b.ADEBCOr (cf figure) :a = AC s’obtient en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC.2 2 2 2 22 2Il vient AC = AB + BC = l + x d’où a = AC = l + x .Pour calculer b = DE = h , remarquons que les triangles ABC et DEA sont semblables.

Il vient : DE ABADACb ll ( L − x )=d’où b =L − x l 2 + x22 2l + xOn a alors :122 2 l ( L − x )V =1 ( l + x )2 24πl + xsoit V 2= 14 l L – xl2 x 2 .Par suite :1V = V1 2⇔ ( ) 2 12 2L − x l = ( )4π4 l L −πx l + x⇔ ( L − x ) =2l2+ x1en simplifiant par4π( L − x ) l⇔ ( L − x ) 2 =2l +2x⇔2L +2x − 2Lx =2l +2x⇔2 2L − 2Lx = l⇔ x= L2 – l 22 LNumériquement on obtient L = 29,7 et l = 21 : x≈7,426 .soit x≈ 29,74 ≈7,425 .Autrement dit il suffit de choisir pour x à peu près le quart de la longueur de la feuille.Le résultat peut sembler étonnant. Ce 1 4est-il un hasard ?Démystifions…En fait, le format 21 × 29,7 a été choisi de manière à ce qu’on puisse réduire deuxfeuilles de papier A4 en une seule.Ceci est possible si 2l = L soit L = l 2 .L lmais 29 n’est qu’une valeur approchée (certes très bonne) de 21 2 .Si le format A4 était non 21 × 29.7 mais 21 × 21 2 (peut-être l’est-il, il faudraitdemander aux papetiers…) , l’exercice donnerait pur résultat :22 L2 2 L −2L − l 2 L soit x= L sic….x = = =42L 2L 4L

Exercice 2 : La « spirale »Commençons par des considérations générales.y= - xy=xD nnC n-n-n+1nA n+1A n-n B n-n-1y=x-1Notons que la spirale est une réunion de segments dont les sommets sont situés sur troisdroites D1 , D2 et D3 dont les équations sont simples à trouver, à savoir dans l’ordre oùelles ont à intervenir : y x 1 D , y x D et y x D .= − ( )1= − ( )2= ( )Notons An le point de D1 d’ordonnée − n : il a pour coordonnées : ( − n + 1, − n ) .Bn le point de D2 d’ordonnée − n : il a pour coordonnées : ( n,− n ) .Cn le point de D3 d’ordonnée n : il a pour coordonnées : ( n,n ) .Dn le point de D2 d’ordonnée n : il a pour coordonnées : ( − n,n ) .∗La spirale n’est alors rien d’autre que la réunion pour n ∈ N des segments⎡ D A ⎤C D⎣ n − 1 n ⎦ , [ n n ]A B , [ B C ] et [ ]de longueurs respectives 2n − 1 , 2n − 1 , 2n et 2n .Le point O peut être considéré comme le point D0 .nnnn3

On conjecture facilement que les points An et Cn ont sont tels que :l A n=2n – 1 2 et l C n=2n 2Démontrons-le :l ( An) = OA + A B + B C + C D + D A + ... + B C + C D + D A1 1 1 1 1 1 1 1 2 n − 1 n − 1 n − 1 n − 1 n − 1= 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + ( 2n − 2) + ( 2n − 2) + ( 2n− 1)= 2. ( 1 + 2 + 3 + ... + ( 2n− 2)) + ( 2n− 1) )( 2n− 2) ( 2n− 1)= 2. +2( 2n − 1) ) = ( 2n − 2) ( 2n − 1) + ( 2n− 1)= ( 2n − 1) ( 2n − 2)+ 1 = 2n− 1( ) ( ) 22 22et l ( C ) = l ( A ) + A B + B C = ( 2n − 1) + ( 2n − 1) + 2n = 4n = ( 2n)n n n n n n1. Il existe deux points A de l’axe des abscisses tels que OA = 5 , l’un d’abscisse 5 ,l’autre d’abscisse − 5 .1 ier cas : A ( 5, 0)Ce point est sur le segment ⎡⎣ B C ⎤5 5 ⎦ ;en effet on a B ( 5, − 5)5 et C ( 5,5 )5 avec AC = 55 .2Ainsi l ( A) = l ( C 5) − 5 = 10 − 5 =95.2 ième cas : A′ ( − 5,0 )Ce point est sur le segment ⎡⎣ D A ⎤5 6 ⎦ ( D ( − 5,5 )5 , A ( − 5, − 6)6 ;) avec A′ A = 66 .2Ainsi l ( A′ ) = l ( A 6) − 6 = 11 − 6 = 115 .2. B ( 2005,2006 ) est sur le segment ⎡⎣ C D ⎤2006 2006 ⎦ ;en effet on a C ( 2006,2006 )2006 et D ( − 2006,2006 )5 avec C B = 12006 .2Ainsi l ( B ) = l ( C 2006) + 1 = 4012 + 1 = 16 096 145 .3. On cherche ici le point C tel que l ( C ) = 2006 .Or, la suite des nombresl( O) = 0, l ( A1) = 1 , l ( C1) = 4 , l ( A2) = 9 , l ( C2) = 16 ,…,… l ( A ) = ( 2n− 1) 2, l ( C ) = ( 2n) 2est la suite des carrés des entiers naturels (ou « carrés parfaits »).Il suffit donc d’abord d’encadrer 2006 par deux carrés parfaits successifs :l C = 44 2 = 1936 < 2006 < 2025 = 452 = l A .( ) ( )De plus C D = 4422 22 donc22 23( ) = 1936 + 44 = 1980 < 2006 < 2025 = 452 = l ( A )l DC ∈ ⎡ ⎣ D A ⎤ ⎦ .donc22 23n22 23Enfin : 2006 − 1980 = 26 doncDonc C a pour coordonnées ( − 22, − 4 ) .⎧⎪x = − 22 = x = xC D22 A23⎨yc= x − 26 = 22 − 26 = − 4⎪⎩D22nn

jour moutons loups serpents10 1 0 09 1 0 18 2 1 27 5 3 46 12 7 95 28 16 214 65 37 493 151 86 1142 351 200 2651 816 465 616Exercice 1 Saine lectureLe nombre total de chiffres utilisés est 92×903×900 soit 2889Pour compter le nombre de 7 il faut compter par exemple le nombre de fois où il estécrit comme chiffre des unités, le nombre de fois où il est écrit comme chiffre desdizaines puis le nombre de fois où il est écrit comme chiffre des centaines.Pour les unités on va de 007 à 997 soit 100 occurrences.Pour les dizaines on va de 070 à 079 puis de 170 à 179 jusqu’à 970 à 979 soit10x10 = 100 occurrences.Pour les centaines de 700 à 799 soit 100 occurrences.Ce qui fait 300 utilisations du chiffre 7Pour l’utilisation du zéro, on peut remarquer qu’il est utilisé 99 fois en unité et 90 foisen dizaines, jamais en centaines soit 189 occurrences.On peut vérifier en remarquant que les autres chiffres jouent le même rôle que 79×300189=2889 .Ce qui ne prouve pas que les résultats sont justes mais au moins qu’ils sont cohérents.