feuille n°12

Séance N°12EXERCICE 1On considère le trapèze rectangle ABCD, de hauteur [AD] tel que AD = 8 cm et de bases[AB] et [CD] de longueurs respectives 4 cm et 10 cm.1) Calculer l’aire du trapèze ABCD.2) Donner, en justifiant, la nature du triangle BCD.3) La hauteur issue de C dans le triangle BCD coupe la droite (AD) en K. Montrer que lestriangles KBC et KDC ont la même aire.4) Soit M un point mobile sur le segment [AD]. On note x la mesure de la longueur AM,l’unité choisie étant le cm.a) Donner, en fonction de x , l’aire du triangle BCM.b) Pour quelle position de M, l’aire du triangle BCM est-elle la moitié de celle du trapèzeABCD ?Question complémentaire (4 points)Vous trouverez dans l’annexe 1, le plan d’une séquence d’enseignement prévue pour uneclasse de cycle 3. Seules les différentes étapes et les consignes ont été données.1) A propos de la séance 1Étape 1 a) Quelle est la fonction de cette étape ?Étape 2 b) Que veut faire émerger le maître en posant les questions de cette étape ?Étape 3 c) Décrire une procédure permettant aux élèves d’effectuer correctement latâche demandée. (On suppose que du matériel est disponible)2) A propos de la séance 2Étape 1 a) Quelle connaissance ou compétence du programme 2008 parmi cellesrappelées dans l’annexe 2, l’enseignant vise-t-il principalement au cours decette étape ?b) Quelle procédure le maître semble-t-il attendre des élèves ?Étape 2 c) Décrire une procédure, permettant de comparer les périmètres et nereposant ni sur le tâtonnement ni sur l’utilisation des graduations de larègle.Le choix des pièces A, B, D vous paraît-il judicieux ? Argumenter.

Annexe 1Les enfants travaillent par groupes de 2 ou 3 élèves lors des deux séances.ABCDEFGPuzzle ISéance 1Etape 1 :On donne à chaque groupe un puzzle témoin reconstitué (puzzle I) et chaque enfantreçoit les pièces nécessaires pour construire le sien.Le puzzle et les pièces sont sur papier uni.« Chacun doit vérifier qu’il a reçu toutes les pièces pour reconstruire le modèle, mêmenombre, même taille et même forme ».Etape 2 :« Chacun va fabriquer un nouveau modèle avec les pièces qu’il a reçues.- Les pièces ne doivent pas se chevaucher et vous devez les utiliser toutes.- Dans votre équipe, toutes les formes trouvées doivent être différentes et en un seulmorceau.- Chaque forme trouvée sera collée sur une feuille puis le contour sera décalqué surune feuille blanche. Vous obtenez ainsi une nouvelle figure.»Chaque équipe dispose alors d’un lot de figures différentes (puzzle témoin compris)dessinées sur papier uni.« Selon vous, les figures que vous avez occupent-elles autant de place ? Plus de place ?Moins de place ? Qu’est-ce qui change d’une figure à l’autre ? Qu’est-ce qui ne changepas ? »Etape 3 :« Rangez les pièces du puzzle, de celle qui occupe le plus de place à celle qui en occupele moins ».

Annexe 1 (suite)Séance 2NB : Pour la suite de la séquence, un puzzle dessiné sur papier quadrillé (puzzle II) estdonné aux élèves. Ils vérifient que ce puzzle est superposable, pièce par pièce, à celui déjàutilisé.ABCDEFGPuzzle IIEtape 1 :« Le puzzle a été reproduit sur papier quadrillé. Utilisez le quadrillage pour vérifier lerangement des pièces que nous avions obtenu à la fin de la séance précédente. »Etape 2 :« Intéressons-nous aux pièces A, B, D. Que savez-vous de leur aire ? Que pensez-vousde leur périmètre ?- Comparez d’abord les périmètres des pièces A et D. Que constatez-vous ?- Comparez maintenant les périmètres des pièces A et D avec celui de la pièce B. Queconstatez-vous ? »

Annexe 2Programmes de l’école 2008 : BOEN Hors série n°3 du 19 juin 2008 (extraits)Cours élémentaire deuxièmeannéeCours moyenpremière annéeCours moyendeuxième annéeGrandeursetmesure- Connaître les unités demesure suivantes et lesrelations qui les lient :Longueur : le mètre, lekilomètre, le centimètre, lemillimètre ;Masse : le kilogramme, legramme ;Capacité : le litre, le centilitre ;Monnaie : l’euro et le centime ;Temps : l’heure, la minute, laseconde, le mois, l’année.- Utiliser des instruments pourmesurer des longueurs, desmasses, des capacités, puisexprimer cette mesure par unnombre entier ou unencadrement par deuxnombres entiers.- Vérifier qu’un angle est droiten utilisant l’équerre ou ungabarit.- Calculer le périmètre d’unpolygone.- Lire l’heure sur une montre àaiguilles ou une horloge.Problèmes- Résoudre des problèmesdont la résolution implique lesgrandeurs ci-dessus.- Connaître et utiliser lesunités usuelles de mesuredes durées, ainsi que lesunités du système métriquepour les longueurs, lesmasses et les contenances,et leurs relations.- Reporter des longueurs àl’aide du compas.- Formules du périmètre ducarré et du rectangle.Aires- Mesurer ou estimer l’aired’une surface grâce à unpavage effectif à l’aide d’unesurface de référence ougrâce à l’utilisation d’unréseau quadrillé.- Classer et ranger dessurfaces selon leur aire.Angles-Comparer les angles d’unefigure en utilisant un gabarit.- Estimer et vérifier enutilisant l’équerre, qu’unangle est droit, aigu ou obtus.Problèmes- Résoudre des problèmesdont la résolution impliqueéventuellement desconversions.- Calculer une durée à partirde la donnée de l’instantinitial et de l’instant final.- Formule de la longueur d’uncercle.- Formule du volume du pavédroit (initiation à l’utilisationd’unités métriques devolume).Aires- Calculer l’aire d’un carré,d’un rectangle, d’un triangleen utilisant la formuleappropriée.- Connaître et utiliser lesunités d’aire usuelles (cm 2 ,m 2 et km 2 ).Angles- Reproduire un angle donnéen utilisant un gabarit.Problèmes- Résoudre des problèmesdont la résolution impliquedes conversions.- Résoudre des problèmesdont la résolution impliquesimultanément des unitésdifférentes de mesure.

EXERCICE 2Multiplication d'après un concours blanc d'Auxerre1. Antoine s'est aperçu que pour multiplier mentalement 43 par 47, il suffisait de faire4 x (4 + 1) = 20 et 3 x 7 = 21 et que l'on obtenait comme résultat 2 021.Vérifier cette procédure en comparant les résultats obtenus par la méthoded'Antoine et les résultats obtenus en posant les multiplications pour les produitssuivants 74 x 76 et 31 x 39.2. a) Montrer que cette procédure ne fonctionne pas pour les produits suivants 43 x 48 et52 x 78.b) En observant les 4 résultats précédents, donner 2 conditions qui semblentnécessaires pour que la procédure d'Antoine fonctionne.c) Mettre en mot la technique d'Antoine3. Démontrer la propriété correspondante.Question complémentaire:Les documents présentés en annexe 1 et 2 sont issus de « Pédagogie de l'essai CE2 }) -Manuel élève - Hachette 2004 - Page 76 (annexe 1) et « Cap Maths CE2 }) - Livre dumaître - Hatier 2002 Pages 250 et 251 (annexe 2)1. Quel est l'objectif commun à ces deux annexes?2. a) Donner deux connaissances préalables que les élèves doivent posséder pouraborder cet objectif dans l'annexe 1. 'b) Donner deux connaissances préalables que les élèves doivent posséder pouraborder cet objectif dans l'annexe 2.3. À quelle propriété mathématique sous-jacente fait-on appel dans chacune de cesannexes?4. Comparer globalement les démarches proposées dans ces deux annexes.Dans le manuel Ermel, pour calculer 16 x 14, la séquence correspondante propose, depasser par le calcul posé :16+16+16+16+16+16+16+16+16+16+16+16+16+165. a) Qu'est-ce qui justifie ce calcul?b) Proposer deux procédures que les élèves pourraient utiliser pour effectuer cecalcul?