Vitesses de dÃ©formation - mms2

Vitesses de déformation

Plan1 Le champ de gradient des vitessesDérivées temporellesEquation locale de conservation de la masseLe tenseur vitesse de déformationLe tenseur vitesse de rotationExemples : glissement, tourbillon2 Bilan : vitesses de déformation du milieu continu3 Puissance de déformationFormulation variationnelle de la dynamique des milieuxcontinusContraintes nominales, contraintes de Piola–Kirchhoff4 Le problème de fermeture de la physique des milieux continusDécompte des équationsFormulation des lois de comportementChangements de référentiel, changement de configuration deréférence

Le champ de gradient des vitesses• évolution instantanée d’un vecteur matériel transporté par lemouvementdx = F ∼.dX•{}}{dx = L ∼.dx , avec L ∼= Ḟ ∼.F ∼−1• le tenseur gradient des vitessesḞ ∼= ∂2 Φ(X , t) =∂2 Φ(X , t)∂t∂X ∂X ∂t= Grad V (X , t) = (grad v (x , t)).F ∼L ∼(x , t) = grad v (x , t) = Ḟ ∼.F ∼−1Le champ de gradient des vitesses 7/84



Tenseur vitesse de déformations• évolution instantanée du produit scalaire de deux éléments de fibresmatérielles•{ }} {dx 1 .dx 2 =Le champ de gradient des vitesses 12/84

Tenseur vitesse de déformations• évolution instantanée du produit scalaire de deux éléments de fibresmatériellesd’une part...•{ }} {dx 1 .dx 2 = dx 1 .L ∼ T .dx 2 + dx 1 .L ∼.dx 2 = 2dx 1 .D ∼.dx 2... et d’autre part••{ }} { { }} {dx 1 .dx 2 = dX 1 .C ∼.dX 2 = dX 1 .Ċ ∼.dX 2 = 2dX 1 .Ė ∼.dX 2d’où ...Ė ∼= 1 = F T .D 2Ċ∼ ∼ ∼.F ∼, D ∼:= 1 2 (L + L T )∼ ∼tenseur vitesse de déformation ou taux de déformation• taux d’allongement relatif :dx = ‖dx ‖ m , m unitaire λ = ‖dx ‖‖dX ‖Le champ de gradient des vitesses 13/84

Tenseur vitesse de déformations• évolution instantanée du produit scalaire de deux éléments de fibresmatériellesd’une part...•{ }} {dx 1 .dx 2 = dx 1 .L ∼ T .dx 2 + dx 1 .L ∼.dx 2 = 2dx 1 .D ∼.dx 2... et d’autre part••{ }} { { }} {dx 1 .dx 2 = dX 1 .C ∼.dX 2 = dX 1 .Ċ ∼.dX 2 = 2dX 1 .Ė ∼.dX 2d’où ...Ė ∼= 1 = F T .D 2Ċ∼ ∼ ∼.F ∼, D ∼:= 1 2 (L + L T )∼ ∼tenseur vitesse de déformation ou taux de déformation• taux d’allongement relatif :dx = ‖dx ‖ m ,m unitaire˙λλ =•{ }} {‖dx ‖‖dx = m .D.m‖ ∼Le champ de gradient des vitesses 14/84

Taux de glissement angulaireSi θ = π 2 à l’instant t donné, ˙γ =ΦdX 1 dX 2dx 1Xx dx 2• angle de glissement : γ = Θ − θ˙γ = − ˙θ••{ }} { { }} {dx 1 .dx 2 = ‖dx 1 ‖ ‖dx 2 ‖ cos θ = 2dx 1 .D ∼.dx 2Le champ de gradient des vitesses 15/84

Taux de glissement angulaireΦdX 1 dX 2dx 1Xx dx 2• angle de glissement : γ = Θ − θSi θ = π 2˙γ = − ˙θ••{ }} { { }} {dx 1 .dx 2 = ‖dx 1 ‖ ‖dx 2 ‖ cos θ = 2dx 1 .D ∼.dx 2à l’instant t donné,˙γ = 2m 1 .D ∼.m 2où m 1 = dx 1 /‖dx 1 ‖, m 2 = dx 2 /‖dx 2 ‖• cas particulier, m 1 = e 1 , m 2 = e 2 =⇒ ˙γ = 2D 12Le champ de gradient des vitesses 16/84

Directions orthogonales dans le mouvement• Conséquence 1 : m 1 , m 2 2 éléments de fibres matériellescoïncidant à l’instant t avec 2 directions principalesorthogonales de D ∼restent orthogonales à l’instant t• Conséquence 2 : Les trièdres de directions matérielles deux àdeux orthogonales et qui le restent à l’instant t sont lestrièdres des directions matérielles qui coïncident à l’instant tavec les directions principales du tenseur D ∼des taux dedéformation. Lorsque les valeurs propres de D ∼sont distinctes,un tel trièdre est unique.Le champ de gradient des vitesses 17/84


Le tenseur vitesse de rotation• évolution d’une direction de fibre matérielledx = ‖dx ‖ mṁ =• cas où m est parallèle à une direction principale de D ∼• Conséquence :Le champ de gradient des vitesses 19/84

Le tenseur vitesse de rotation• évolution d’une direction de fibre matérielle m = dx /‖dx ‖ṁ = L ∼.m − (m .D ∼.m )m• cas où m est parallèle à une direction principale de D ∼W ∼:= L ∼− D ∼= 1 2 (L ∼ − L ∼T )ṁ = W ∼.m = × W ∧ mtenseur vitesse ou taux de rotation• Conséquence : Le trièdre orthonormé des vecteurs unitairesportés par les directions matérielles qui coïncident à l’instant tavec les directions principales de D ∼, évolue selon unmouvement de solide rigide dont le taux de rotation à l’instantt vaut W ∼.• Attention : Le trièdre des directions principales de D ∼netournent pas à la vitesse W ∼... (voir le cas du glissementsimple)Le champ de gradient des vitesses 20/84

Décomposition du gradient des vitesses• vitesse de déformation + vitesse de rotationL ∼= D ∼+ W ∼parties symétrique et antisymétrique• décomposition polaireF ∼= R ∼.U ∼L ∼= Ḟ ∼.F ∼ −1 = Ṙ ∼.R ∼ T + R ∼. ˙U ∼.U ∼ −1 .R ∼Tattention, le dernier terme n’est pas nécessairementsymétrique... En général,W ∼≠ Ṙ ∼.R ∼T• vecteur vitesse de rotation ∀y , W ∼.y = W × ∧y⎧×⎪⎨ W 1 = −W 23 = 1 2 ( ∂v 3∂x 2− ∂v 2×W 2 = −W 31 = 1 2 ( ∂v 1∂x 3− ∂v ×3∂x 1) , W = 1 2 rot v⎪⎩×W 3 = −W 12 = 1 2 ( ∂v 2∂x 1− ∂v 1∂x 2)Le champ de gradient des vitesses 21/84∂x 3)

Décomposition du gradient des vitesses• vitesse de déformation + vitesse de rotationL ∼= D ∼+ W ∼parties symétrique et antisymétrique• décomposition polaireF ∼= R ∼.U ∼L ∼= Ḟ ∼.F ∼ −1 = Ṙ ∼.R ∼ T + R ∼. ˙U ∼.U ∼ −1 .R ∼Tattention, le dernier terme n’est pas nécessairementsymétrique... En général,W ∼≠ Ṙ ∼.R ∼T• contexte infinitésimal ‖H ∼= Grad u ‖ ≪ 1 ⇐⇒ F ∼= O(1 ∼)F ∼= 1 ∼+ Grad u =⇒ ε ∼= 1 2 (H + H T ),∼ ∼ω ∼= 1 2 (H − H T )∼ ∼D ∼≃ 1 2 (Ḣ ∼+ Ḣ ∼T) = ˙ε∼ , W ∼≃ 1 2 (Ḣ ∼− Ḣ ∼T) = ˙ω∼Le champ de gradient des vitesses 22/84


Mouvement de corps rigide⎡⎣ v 1v 2v 3⎤⎦ =x = Q ∼(t).X + c (t)v (x , t) = W ∼(t).x + v 0 (t) = × W (t) ∧ x + v 0 (t)⎡⎣ v 0 1v 0 2v 0 3TW ∼= ∼˙Q .Q⎤ ⎡∼⎦+ ⎣ 0 −r q⎤ ⎡r 0 −p ⎦ ⎣ x ⎤ ⎡1x 2⎦ = ⎣ v ⎤ ⎡10v20 ⎦+ ⎣ p q−q p 0 x 3 v30 r⎤ ⎡⎦∧⎣ x 1x 2x 3⎤⎦Le champ de gradient des vitesses 24/84

Le glissement simple⎡[L ∼] = ⎣0 ˙γ 00 0 00 0 0⎡⎤⎦ [D ∼] = ⎢⎣⎤˙γ0 02˙γ0 0⎥2⎦0 0 0⎡˙γ0 0[W] = 2⎢∼⎣ − ˙γ 0 020 0 0Remarquer que les directions principales de D ∼ne tournent pas.Pour autant, W ∼n’est pas nul...⎤⎥⎦Le champ de gradient des vitesses 25/84

Le glissement simple⎡⎤˙γ0 02[W ∼] = ⎢⎣ − ˙γ 0 0⎥2⎦ ,0 0 0⎡[R] = ⎢∼ ⎣√ 11+(γ/2) 2−γ2 √ 1+(γ/2) 2 1˙θ W = − ˙γ 2 , tan θ R = − γ 2 , ˙θR = − ˙γ 2√ ⎤γ02 1+(γ/2) 2 √ 0 ⎥1+(γ/2) 2 ⎦0 0 111 + γ 2 /4Le champ de gradient des vitesses 26/84

Le tourbillon ponctuelLe champ de gradient des vitesses 27/84












Le tourbillon ponctuel• cinématiquev (r, θ, z, t) =Γ2πr e θles lignes de courant sont des cercles de centre O• gradient des vitessesL ∼= −Γ2πr 2 (e r ⊗ e θ + e θ ⊗ e r )• la transformation est localement isochore• l’écoulement est irrotationneltrace D ∼= div v = 0W ∼= 0• circulation de v autour de O∮v .e θ rdθ = ΓLe champ de gradient des vitesses 39/84

Le vorticimètreLe champ de gradient des vitesses 40/84












Le vorticimètre (1)• directions unitaires caractérisant le croisillon m 1 et m 2ṁ 1 = L ∼.m 1 − (m 1 .D ∼.m 1 )m 1ṁ 2 = L ∼.m 2 − (m 2 .D ∼.m 2 )m 2• Evolution de l’angle entre un axe du croisillon et une directionfixe de l’espace a− sin ϕ 1 ˙ϕ 1 = ṁ 1 .a = a .L ∼.m 1 − (m 1 .D ∼.m 1 ) m 1 .aLe choix de a n’importe pas si l’on s’intéresse à ˙ϕ seulement.Prenonsϕ 1 = (a = m 2 , m 1 ) = − π 2 =⇒ ˙ϕ 1 = m 2 .L ∼.m 1ϕ 2 = (a = m 1 , m 2 ) = π 2 =⇒ ˙ϕ 2 = −m 1 .L ∼.m 2Le champ de gradient des vitesses 52/84

Le vorticimètre (2)• Lorsque l’assemblage est rigide (m 1 .m 2 = 0 à chaqueinstant), sa vitesse de rotation sera la moyenne des vitessesinstantanées précédentes :˙ϕ = ˙ϕ 1 + ˙ϕ 22= m 2 .W ∼.m 1= m 2 .( × W ∧m 1 ) = × W ∧(m 1 ∧ m 2 ) = × W .e z• La vitesse de rotation du croisillon rigide est exactementdonnée par le taux de rotation du fluide W ∼. Le vorticimètrepermet de mesurer ce taux de rotation.• Dans le cas du tourbillon simple, W ∼= 0. Le vorticimètre netourne pas!Le champ de gradient des vitesses 53/84


Analogie D ∼←→ ε ∼vitesse de déformation D ∼déformations infinitésimales ∼ε(cas général)(contexte infinitésimal)opérateurgradientsymétriséD ∼= 1 2 (grad v + (grad v )T )D ij = 1 2 (v i,j + v j,i )∼ε = 1 2 (Grad u + (Grad u )T )ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i )variationde volume•{}}{dvdv= div v = trace D ∼dv − dVdV≃ Div u = trace ε ∼allongementrelatif˙λλ = m .D ∼ .mλ − 1 ≃ M .ε λ−1.M ≃∼ λBilan : vitesses de déformation du milieu continu 55/84

Analogie D ∼←→ ε ∼vitesse de déformation D ∼déformations infinitésimales ∼ε(cas général)(contexte infinitésimal)opérateurgradientsymétriséD ∼= 1 2 (grad v + (grad v )T )D ij = 1 2 (v i,j + v j,i )∼ε = 1 2(Grad u + Grad u )ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i )variationde volume•{}}{dvdv= div v = trace D ∼dv − dVdV≃ Div u = trace ε ∼allongementrelatif˙λλ = m .D ∼ .mλ − 1 ≃ M .ε λ−1.M ≃∼ λcompatibilité D ik,jl + D jl,ik ε ik,jl + ε jl,ik= =D il,jk + D jk,ilε il,jk + ε jk,ilBilan : vitesses de déformation du milieu continu 56/84

Autour des vitesses de déformation et de rotationL∼ = Ḟ ∼.F ∼ −1 = grad vtenseur gradient des vitessesD ∼:= 1 2 (L ∼ + L ∼T ) tenseur taux de déformationW ∼:= 1 2 (L ∼ − L ∼T ) tenseur taux de rotationĖ∼ = 1 2 Ċ∼ = F T .D∼ ∼.F ∼•z}|{dx = ∼L.dx élément de fibre matérielle•z }| {dx 1 .dx 2 = 2dx 1 .D ∼.dx 2 = dX 1 .Ċ ∼.dX 2•z}|{dv = (trace L ∼) dv = ˙JJ dv˙λ(m )= m .D .mλ(m )élément de volumetaux d’allongement relatifBilan : vitesses de déformation du milieu continu 57/84



Puissance de déformationSoit σ ∼(x , t) un champ de contraintes vérifiant les équations locales de ladynamique pour les efforts imposés (cas régulier)• Puissance des efforts appliqués sur un domaine matériel D ⊂ Ω t∫∫P c (v ) + P e (v ) = t .v ds + ρf .v dv∂DDPuissance de déformation 60/84

Puissance de déformationSoit σ ∼(x , t) un champ de contraintes vérifiant les équations locales de ladynamique pour les efforts imposés (cas régulier)• Puissance des efforts appliqués sur un domaine matériel D ⊂ Ω t∫∫P c (v ) + P e (v ) = t .v ds + ρf .v dv∂D• Puissance du champ d’accélération∫P a (v ) :=Dρa .v dv• Puissance des efforts intérieurs∫P i (v ) := − σ ∼: D ∼dv, σ ∼: D ∼∼ MPa.s −1 = Wm −3• on aDP c (v ) + P e (v ) + P i (v ) = P a (v )∫∫∫∫− σ ∼: D ∼dv + t .v ds + ρf .v dv =D∂DDDDρa .v dvPuissance de déformation 61/84

“Principe” des puissances virtuelles• énoncé (cas régulier) : Le champ des contraintes σ ∼etd’accélération a dans un corps matériel soumis aux effort ρfet t , vérifient les équations locales de la dynamique si etseulement si la puissance des efforts intérieurs, à distance etde contact équilibre la puissance du champ d’accélération danstout mouvement virtuel v ⋆ et sur tout sous–domaine D ⊂ Ω t :∫− σ ∼: D ⋆ ∼dv +DP i (v ⋆ ) + P c (v ⋆ ) + P e (v ⋆ ) = P a (v ⋆ )∫∫∫t .v ⋆ ds + ρf .v ⋆ dv =∂DDDρa .v ⋆ dv• Dans ce cours, il s’agit d’un théorème mais on peut aussipartir d’un tel principe pour fonder la dynamique des milieuxcontinus.• Ce théorème est à la base des méthodes énergétiques derésolution, ainsi que des méthodes numériques qui s’endéduisent (Eléments Finis)Puissance de déformation 62/84


Le tenseur des contraintes nominalesΦNtT S• Représentation lagrangienne des équations de la dynamique∫ ∫∫ρa dv = σ ∼.n ds + ρf dvD∂D∫∫∫ρ 0 A dV =D 0S ∼.N dS +∂D 0ρ 0 F dVD 0• transport d’un élément de surfacen ds = J F −T ∼.N dSDnPuissance de déformation 64/84

Le tenseur des contraintes nominalesΦNtT S• Représentation lagrangienne des équations de la dynamique∫ ∫∫ρa dv = σ ∼.n ds + ρf dvD∂D∫∫∫ρ 0 A dV =D 0S ∼.N dS +∂D 0ρ 0 F dVD 0• le tenseur des contraintes nominalest ds = T S dS = S ∼.N dS, avec−TS ∼:= Jσ ∼.F ∼tenseur des contraintes nominales, dit de Boussinesq.Puissance de déformation 65/84Dn

Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff• puissance des efforts intérieurs∫∫σ ∼: D ∼dv =DD 0Π ∼: Ė ∼dVPuissance de déformation 66/84

Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff• puissance des efforts intérieurs∫∫σ ∼: D ∼dv =DD 0Π ∼: Ė ∼dVΠ ∼= J F −1 ∼.σ ∼.F −T ∼= F −1 ∼.S ∼tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff• densité massique de puissance des efforts intérieursσ ∼: D ∼ρ= Π ∼ : Ė ∼ρ 0couples de contraintes et déformations conjuguées• transport convectif du vecteur tractionT dS := F ∼ −1 .t ds = F ∼ −1 .T S dS = Π ∼.N dSPuissance de déformation 67/84

Retour sur les transports convectifsdx = F ∼.dXespace tangentinitialFFF¡T¡1F Tespace tangentactuelds = JF ∼ −T .dST dS = F ∼ −1 .t dsT M dS = F ∼ T .t ds= C ∼.Π ∼.N dStenseur des contraintesde MandelPuissance de déformation 68/84



Position du problème• les lois universelles : lois de conservationchercher des champs (ρ, σ ∼, v ) tels que∂ρ∂t+ div (ρv ) = 0div σ ∼+ ρf = ρ˙vi.e. 1+3=4 équationsnombre d’inconnues : 1 (ρ) + 3 (v i ) + 6 (σ ij ) = 10il manque 6 équations...Le problème de fermeture de la physique des milieux continus 71/84

Position du problème• les lois universelles : lois de conservationchercher des champs (ρ, σ ∼, v ) tels que∂ρ∂t+ div (ρv ) = 0div σ ∼+ ρf = ρ˙vi.e. 1+3=4 équationsnombre d’inconnues : 1 (ρ) + 3 (v i ) + 6 (σ ij ) = 10il manque 6 équations...• relations non universelles : la loi de comportement6 relations σ ij ←→ v i , L ij , F ij ...Le problème de fermeture de la physique des milieux continus 72/84

Position du problème• les lois universelles : lois de conservationchercher des champs (ρ, σ ∼, v ) tels que∂ρ∂t+ div (ρv ) = 0div σ ∼+ ρf = ρ˙vi.e. 1+3=4 équationsnombre d’inconnues : 1 (ρ) + 3 (v i ) + 6 (σ ij ) = 10il manque 6 équations...• relations non universelles : la loi de comportement6 relations σ ij ←→ v i , L ij , F ij ...• il faut ajouter la conservation de l’énergie1 équation / 4 inconnues : le champ de température T (x , t)et le flux de chaleur q (x , t)loi de comportement : q i ←→ T , grad TLe problème de fermeture de la physique des milieux continus 73/84


Les grandes classes de comportementF∆lElasticité F = k∆l∆lFViscositéF = η∆˙l∆lFPlasticité F = F 0 signe(∆˙l) si ∆˙l ≠ 0Le problème de fermeture de la physique des milieux continus 75/84

Forme de la loi de comportement• un exemple : la viscoélasticité (modèle de Maxwell)∆˙l(t) = ∆˙l piston (t) + ∆˙l ressort (t) = F (t)ηF (t) = k∫ t−∞∆lexp(− k η (t − s)) ∆˙l dsF+ Ḟ (t)kla réponse actuelle dépend de l’histoire complète dedéformation• extension à un corps matériel 3D : la fonctionnelle–mémoireσ ∼(x , t) = F (Φ(Y , s))0≤s≤t,Y ∈Ω 0Le problème de fermeture de la physique des milieux continus 76/84

Premières simplifications• principe du déterminismethéorie non locale• principe de l’action localeσ ∼(x , t) =σ ∼(x , t) = F (Φ(Y , s))0≤s≤t,Y ∈Ω 0F0≤s≤t,n>0(Φ(X , s), ∂n Φ∂X n (X , s) )• milieu matériellement simple : théorie du premier gradient(σ ∼(x , t) = F Φ(X , s), F∼ (X , s) )0≤s≤tLe problème de fermeture de la physique des milieux continus 77/84


Changement de référentiel d’espaceLe problème de fermeture de la physique des milieux continus 79/84

Changement de référentiel d’espaceLe problème de fermeture de la physique des milieux continus 80/84

Changements de référentielréférentiel (E, E), point de l’espace x , un autre référentiel (E ′ , E ′ )• changement de référentiel galiléenx ′ = Q ∼ 0.x + v 0 t, t ′ = t − t 0• changement de référentiel euclidienx ′ = Q ∼(t).x + c (t), t ′ = t − t 0commodité : Q ∼(t 0 ) = 1 ∼(X ′ = X )Le problème de fermeture de la physique des milieux continus 81/84

Changements de référentielréférentiel (E, E), point de l’espace x , un autre référentiel (E ′ , E ′ )• changement de référentiel galiléenx ′ = Q ∼ 0.x + v 0 t, t ′ = t − t 0• changement de référentiel euclidienx ′ = Q ∼(t).x + c (t), t ′ = t − t 0commodité : Q ∼(t 0 ) = 1 ∼(X ′ = X )• Comment se transforment les grandeurs mécaniques lorsqu’onchange de référentiel?⋆ une fibre matérielle⋆ le gradient de la transformation⋆ les tenseurs de Cauchy–Green⋆ le gradient des vitessesLe problème de fermeture de la physique des milieux continus 82/84

Changements de référentielréférentiel (E, E), point de l’espace x , un autre référentiel (E ′ , E ′ )• changement de référentiel galiléenx ′ = Q ∼ 0.x + v 0 t, t ′ = t − t 0• changement de référentiel euclidienx ′ = Q ∼(t).x + c (t), t ′ = t − t 0commodité : Q ∼(t 0 ) = 1 ∼(X ′ = X )• Comment se transforment les grandeurs mécaniques lorsqu’onchange de référentiel?⋆ une fibre matérielledx ′ = Q∼.dx⋆ le gradient de la transformationF ′ ∼= Q∼.F ∼⋆ les tenseurs de Cauchy–Green⋆ le gradient des vitessesC ∼ ′ = C ∼,B ∼ ′ = Q∼.B ∼.Q∼TL ∼ ′ = Q∼.L ∼.Q∼ T + ˙Q∼.Q∼ T , D ∼ ′ = Q∼.D ∼.Q∼ T , W ∼ ′ = Q∼.W ∼.Q∼ T + ˙Q∼.Q∼TLe problème de fermeture de la physique des milieux continus 83/84

Changement de configuration de référenceˇPPΩ 0ˆΩ 0ˆFFΩ tP ∼est une applicationlinéaire quelconque(inversible mais nonnécessairement orthogonale,on peut restreindre àdet P ∼> 0)ˇFˆF ∼= F ∼.P ∼−1˘PˇΩ 0˘FĜ = Grad ˆXT (ˆX , t)=−1G .P ∼= P ∼ −T .GLe problème ˘Ω 0de fermeture de la physique des milieux continus 84/84

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