CORRIGE CONTRÔLE CONTINU - Université Paris 8

L2Math CORRIGE CONTRÔLE CONTINU Mars 2010CCBISIEXERCICE-1(4pts)1. Notons A l'événement :" les trois personnes réservent dans trois hôtels différents" ; = 5 3 = 125 ; par ailleurs, les cas favorablessont les triplets de trois hôtels différents, et Card A = A 3 5, ce qui donne : P (A) = A3 5125 = 5 4 3 = 0:48 soit 48%:1252. Card = 52 5 = 2598 960 4a. Soit B l'événement : "obtenir exactement deux dames", Card B = 4 2 483 = 103 776 et P (B) =2 483 = 216254 145 = 3:99 10 2b. Soit C l'événement : "obtenirau plus une dame", C est réalisé si et seulement si on a aucune dame ou une dame, donc P485 +4 484 51 888(C) = =54 145 = 0:958 31525c. Card = 10! ; appelons D l'événement : "les délégués français et allemands occupent les deux premières places". Il y a 2façons de placer ces deux délégués (français premier et ammmand deuxième ou le contraire) puis 8! façons de permuter les autresdans les 8 places restantes : P (D) = 2 8!10!3. (2x + 5) 4 = 16x 4 + 160x 3 + 600x 2 + 1000x + 625= 1245= 2:22 10525II EXERCICE-2(3pts)On note respectivement H et V les événements "être une femme" et "aimer faire des courses de vêtements".1. P H \ V = 36500 = 0:0722. La formule de Poincaré donne : P H [ V = P (H) + P V P H \ V = 270500 + 140500III EXERCICE-336500 = 187250 = 0:748C (q) = 0:000 35q 3 0:05q 2 + 6:3q + 520 pour q 01. C m (q) = C 0 (q) = 0:00105q 2 0:1q + 6:3, donc C m (70) = 0:00105 70 2 0:1 70 + 6:3 = 4:445 ce qui donne une estimationdu coût d'une unité supplémentaire donc de la 71 éme unité.2. Calculer le coût moyen en C M (q) = 0:000 35q3 0:05q 2 +6:3q+520qet C M (70) = 0:000 35703 0:0570 2 +6:370+52070= 11:943. E C=q = qC0C= C mC=q = C msoit E C=q (70) = 4:45C11:94 Mprévisible du coût est de 0:37%:' 0:37 ; si à partir d'une quantité de 70; q augmente de 1%; alors la variationIV EXERCICE-4Soit f (x) = 10x 3 120x + 5001. L e domaine est ] 1; +1[ et les limites à l'inni sont celle de 10x 3 ; donc +1 à +1 et 1 à 1: La dérivée est : f 0 (x) =30x 2 120 = 30 x 2 4 = 30 (x 2) (x + 2) ; la règle sur le signe du trinome du second degré (signe contraire de a entre lesx 1 2 2 +1y0 + 0 0 +racines) permet de conclure sur le sens de variations :660 +1y % & %1 3402. Convexité : f "0 (x) = 60x; ce qui montre que la dérivée seconde s'annule en 0, est négative sur ] 1; 0[ et positive sur ]0; +1[ . lafonction est concave sur ] 1; 0[ et convexe sur ]0; +1[ ; il y a un point d'inexion I(0; 500):3. La tangente en I a pour équation : y = f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) soit ici : y = f 0 (0) x + f (0) soit y = 120x + 500UFR14 page 1 AES

2 CORRIGE CONTRÔLE CONTINUy10008006004002004.-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5xV EXERCICE-51. 3y 2x 3 2x 0:5 y 0:1 + 50y + 30x 40:2. 0 x (x; y) = 6x 2 x 0:5 y 0:1 + 30 et 0 y (x; y) = 3 0:2x 0:5 y 0:9 + 50 0 y (2; 3) = 3 0:2 2 0:5 3 0:9 + 50 = 46:8953. On utilise l'approximation : f (x 0 ; y 0 + k) f (x 0 ; y 0 ) ' kfy 0 (x 0 ; y 0 ) ; on calcule (2; 3) = 3 3 2 2 3 2 2 0:5 3 0:1 +50 3 + 30 2 40 = 141:84 alors on a : (2; 3; 2) (2; 3) ' 0:2 0 y (2; 3) soit (2; 3; 2) = (2; 3) + 0:2 0 y (2; 3) = 141:84 + 0:2 46:895 = 151:22, le calcul directdonnant : (2; 3:2) = 3 3:2 2 2 3 2 2 0:5 3:2 0:1 + 50 3:2 + 30 2 40 = 151: 22VI EXERCICE-61. On sait que l'élasticité est donnée par la formule : E z=x = xz0 xz ; si z est fonction de plusieurs variables. On a donc : E D x= x= xD0 x;D xcalculons la dérivée : @D x@x = 49 52 x 2 ; ce qui donne :77E Dx=x = xD0 x x=D x 2 x 2= 49 D x 2 162' 3:77 ; le prix du bien X étant de 16 et7 58000 7 162 + 8 83celui du bien Y de 8; si on augmente x de 1%, y restant constant, on doit s'attendre à une augmentation de la demande du bien Xd'environ 3:77%:5492 x 2= 49D x2. On sait que l'élasticité croisée est donnée par la formule : E z=y = y z0 y;si z est une fonction des deux variables x et y ; on va donczcalculer la dérivée partielle : @D x@y = 40 2y 40 2 573 y 3 ;d'où : E Dx=y = 3 y 3= 40y 340 82= 01 ' 0:181 4 ,D x 3D x7 53 @8000 7 162 + 8 83Ace qui signie, que le prix du bien X étant de 16 et celui du bien Y de 8; si on augmente y de 1%, x restant constant, on doit s'attendreà une baisse de la demande du bien X d'environ 0:18%; ce qui signie que les biens sont complémentaires.UFR14 2 AES