Thèse soutenue par Islem YAHI - Esigelec

ECOLE DOCTORALE SPMIISciences Physique, Mathématique et de l’Information pour l’IngénieurPour obtenir le grade de Docteur en électroniqueTITREModélisation des sources de rayonnement au sein d'unvéhicule automobile avec prise en compte de laprésence du plan de massePar :Islem YAHIThèse dirigée par Bélahcène MAZARISoutenue le 02 avril 2009JURY :M. François COSTA Professeur à l'Université Paris 12 – ENS Cachan, SATIE RapporteurM. Lionel PICHON Directeur de Recherche CNRS – SUPELEC, LGEP RapporteurM me Edith CLAVEL Maitre de Conférences – ENSIEG, G2ELAB ExaminateurM. Xavier BUNLON Ingénieur CEM & Antennes – RENAULT ExaminateurM. Fabrice DUVAL Enseignant/ Chercheur – ESIGELEC, IRSEEM EncadrantM. Bélahcène MAZARI Professeur – ESIGELEC, IRSEEM Directeur de thèse

A tous ceux qui comptent pour moi …Et à la mémoire de ceux qui sont partis …i

CONTACTIslem YAHIislem.yahi@gmail.comLABORATOIREIRSEEM / ESIGELECSaint Etienne du Rouvray, Francewww.irseem.asso.frwww.esigelec.friii

REMERCIEMENTSv

RemerciementsREMERCIEMENTSTout d’abord, j’exprime mes sincères remerciements à M. BELAHCENE MAZARI, Directeur del’IRSEEM, de m’avoir accordé toute sa confiance en acceptant de diriger ma thèse et dem’avoir permis de l’effectuer au sein de l’IRSEEM, je le remercie également pour ses précieuxconseils et orientations. Je remercie également par la même occasion M. CLAUDE GUILLERMET,Directeur Général de l’ESIGELEC, de m’avoir accueilli au sein de son école.Je voudrais vivement remercier M. FRANÇOIS COSTA, du SATIE, d’avoir accepté de présider lejury de cette thèse, ainsi que M. LIONEL PICHON, du LGEP, pour avoir accepté de rapportermon travail et surtout pour toutes les remarques et tous les commentaires qu’ils ont apportés.Par la même occasion, je tiens à exprimer toute ma gratitude à M me EDITH CLAVEL, du G2ELAB,ainsi que M. XAVIER BUNLON, Ingénieur CEM & Antennes à RENAULT, pour avoir acceptéd’examiner mon travail et de participer au jury de thèse, ainsi que pour l’intérêt qu’ils ontmontré pour mes travaux.Mes vifs remerciements vont également à M. FABRICE DUVAL, pour avoir directement encadréet suivi ces travaux de recherche tout au long de leur durée.Aussi, je souhaite remercier tous les acteurs principaux du Pôle Electronique et Systèmes del’IRSEEM : ANNE, CHRISTIAN, CHRISTINE, CHRISTOPHE, DAVID, DIDIER, MONCEF, MOHAMED, YACINE,ZOUHEIR… Ainsi qu’à tous le personnel de l’ESIGELEC : notamment à HELENE (ma boite?), LEILAet NATHALIE, à l’équipe électronique que j’ai pu côtoyer : notamment FAYÇAL et NABIL, à l’équipeInformatique et à leur tête MOUNIR et une spéciale à mon jumeau ROMAIN du serviceinformatique…Toutefois, je tiens à remercier tous les seconds rôles de l’IRSEEM, sans qui l’ambiance seraittrop sérieuse, et la liste est longue mais je citerais : ABISHEK (hombre), ALI, AMINE (2), AUBRY (leblond), CHRISTELLE, FAYÇAL (Hadarat), HABIB, IMAD (Chahiné, aka sale), JEAN-FRANÇOIS et KHAOULA(Monsieur et Madame), KAHINA (Temina?), MAMADOU, MARCELIN (Bro), PRISCILLA (Gracias), RAMI(Michel), RYADH (porté disparu), SAMH (nèsr), VINCENT, WISSEM (peec team), YOLANDA (Viiiives),ZAKARIA, … à tous les stagiaires et à tous ceux que j’ai pu oublier, vous êtes vraimentnombreux, à vous (se) demander si vous travaillez !!Enfin, et le meilleur pour la fin, je remercie de tout cœur mes parents (maman et papa) et mesfrères MEHDI et NANOU, ma sœur BIBANE, pour leur soutien, leurs encouragements et leurprésence. Sans oublier mes deuxième parents de Toulouse et à toute leur famille !! A tous mesamis et surtout ceux qui étaient présents lors de ma soutenance : JALIL (abou aymen), KADER(fredy), RAMZI (sahbi) et YOUCEF (pepe, mon jumeau). Aussi, j’ai une pensée pour toute mafamille et tous mes amis de l’autre coté de la méditerranée.La dernière ligne des remerciements est consacrée à M. DJILALI MEHRI ainsi qu’à sa fille, denous avoir honoré de leurs présences, Ce qui m’avait fait un énorme plaisir.Islem YAHIvii

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RésuméMODELISATION DES SOURCES DE RAYONNEMENT AU SEIN D'UN VEHICULE AUTOMOBILE AVEC PRISE ENCOMPTE DE LA PRESENCE DU PLAN DE MASSERésumé :La thèse, ici présentée, traite des problématiques relatives au domaine de la CompatibilitéElectromagnétique automobile. Ce travail porte sur le développement d’un outil de simulation,basé sur la méthode PEEC (Partiel Element Equivalent Circuit), destiné à traiter lesproblématiques automobiles de câblage. Cet outil de simulation sera un support d’aide à ladécision ou à la conception pour les équipementiers ou les constructeurs automobiles.Le manuscrit est divisé en trois parties : dans la première, on justifie le choix l’utilisation de laméthode PEEC et on y étudie la caractérisation fréquentielle des câbles en présence des plansde masse pour. Dans la seconde partie du mémoire, nous détaillons toutes les contributionsapportées pour optimiser l’outil existant sur deux aspects principaux : l’élargissement de sabande de fréquence et l’optimisation de son temps d’exécution.La dernière partie est consacrée à deux applications concrètes : dans la première, on reproduitun processus lié aux mesures en champ proche, relatif à calibrage des sondes de mesure. Laseconde application traite d’un cas de câblage automobile, où nous avons pu concrètementtester notre outil de simulation. L’exemple proposé regroupe tous les développementseffectués jusque là dans le but d’en montrer la pertinence.Mots clés :Compatibilité électromagnétique, PEEC, outil de simulation, phénomènes de couplages, ...MODELING RADIATING SOURCES IN AN AUTOMOBILE TAKING INTO ACCOUNT THE PRESENCE OF THEGROUND PLANEAbstract:The thesis presented here, deals with the problems relating to the field of automotiveElectromagnetic Compatibility. The work deals specifically on the development of a simulationtool based on the PEEC (Partial Element Equivalent Circuit) method, dedicated to the cablingproblems in automobiles. This simulation tool would also support the vehicle manufacturers indecision-making or designing their products.The manuscript is divided into three parts: the first justifies the choice of using the PEECmethod among the other numerical methods. We examine also the frequency characterizationof cabling schematics in the presence of a ground plane. In the second part of the thesis, wedetail all the contributions to optimize an existing version of this tool on two main aspects: theexpansion of its frequency band and the optimization of its execution time.The last part is devoted to two applications: firstly, we show a process related to near-fieldmeasurements, on the calibration of measuring probes. The second application deals with acase study of the cabling in an automobile, in which we could exclusively test our simulationtool. The example includes all the proposed developments made so far in order to demonstrateits relevance.Key words:Electromagnetic Compatibility, PEEC, Simulation tool, coupling phenomenon, …ix

SommaireSommaireINTRODUCTION ................................................................................................................................ 1I. CONTEXTE....................................................................................................... 3II. LE CABLAGE ELECTRIQUE D'UNE VOITURE ..................................................... 4III. OBJECTIF DE LA THESE ET ORGANISATION .................................................... 4CHAPITRE I ........................................................................................................................................... 9I. L’ETAT DE L’ART : SIMULATION NUMERIQUE ................................................ 111. LA SIMULATION NUMERIQUE ........................................................................... 112. LES METHODES NUMERIQUES EN ELECTROMAGNETISME ..................................... 11A. La méthode des moments ............................................................................. 12B. La méthode des différences finies .................................................................. 12C. La méthode des éléments finis ...................................................................... 13D. La méthode des lignes de transmission ........................................................... 133. CONCLUSION ................................................................................................. 14II. LA METHODE PEEC ........................................................................................ 14III. PRISE EN MAIN DE LA METHODE PEEC ......................................................... 161. MODELISATION DU CABLAGE ........................................................................... 17A. Les modélisations circulaires ......................................................................... 182. ETUDE & ANALYSE DES SIMULATIONS DES CABLES CIRCULAIRES ........................ 20A. Etude des distributions du courant dans les branches ....................................... 20B. Etude des impédances des câbles .................................................................. 283. SYNTHESE DE L’ETUDE DES FILS CIRCULAIRES .................................................. 324. LA MODELISATION CARREE .............................................................................. 325. LES FACTEURS CORRECTEURS .......................................................................... 34A. Inductances propres et inductances mutuelles ................................................. 35xi

Sommaire6. BILAN DES CABLES CIRCULAIRES ET CARRES .................................................... 36IV. METHODE DE DISCRETISATION D’UN PLAN DE MASSE ................................. 37V. SYNTHESE DE LA METHODE PEEC EXISTANTE ............................................... 38VI. TEST APPLICATIF ......................................................................................... 39VII. SYNTHESE DE LA METHODE DE SIMULATION EXISTANTE ............................. 41CHAPITRE II ...................................................................................................................................... 43I. OPTIMISATION DE LA METHODE PEEC EXISTANTE ....................................... 45II. LA MONTEE EN FREQUENCE .......................................................................... 451. RAPPELS THEORIQUES .................................................................................... 462. CALCUL CAPACITIF DANS LA METHODE PEEC ..................................................... 473. LA METHODE CHOISIE ..................................................................................... 49A. Couplage câble / plan de masse .................................................................... 54B. Couplage des portions verticales .................................................................... 57C. Un cas particulier ......................................................................................... 58D. Couplage câble / câble ................................................................................. 614. PRESENTATION DE L’OUTIL FD2D ..................................................................... 655. SYNTHESE ...................................................................................................... 68III. ETUDE SUR GRANDS SYSTEMES .................................................................... 68IV. INTRODUCTION DES EFFETS DE PEAU ET DE PROXIMITE ............................. 75V. EXEMPLE RECAPITULATIF ............................................................................. 80A. La simulation PEEC classique ......................................................................... 82B. La simulation PEEC piTesT ............................................................................ 84C. La simulation PEEC WpiTesT .......................................................................... 87VI. SYNTHESE ..................................................................................................... 95xii

SommaireCHAPITRE III.................................................................................................................................... 97I. APPLICATION « SONDE CHAMP PROCHE » ................................................... 991. INTRODUCTION .............................................................................................. 992. PRESENTATION DE LA METHODE DE CALIBRAGE DES SONDES ............................ 1003. PRESENTATION DE LA MESURE ........................................................................ 1024. PROBLEMATIQUE ........................................................................................... 1045. LA MODELISATION ......................................................................................... 105A. Calcul des couplages capacitifs ..................................................................... 1066. CALCUL THEORIQUE DU CHAMP MAGNETIQUE .................................................. 1137. RESULTATS DES SIMULATIONS ....................................................................... 115APPLICATION DU DISPOSITIF « CABLAGE AUTOMOBILE » ................................. 1211. DESCRIPTION DU DISPOSITIF ......................................................................... 1212. CALCUL DES COUPLAGES CAPACITIFS .............................................................. 1253. LIAISONS ELECTRIQUES ET SIMULATIONS ........................................................ 1284. RESULTATS DES SIMULATIONS ....................................................................... 1305. QUELQUES CHIFFRES ..................................................................................... 1386. SYNTHESE ..................................................................................................... 139CONCLUSION ............................................................................................... 141CONCLUSION ....................................................................................................... 143BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................... 147ANNEXES ............................................................................................................................................. 154I. ANNEXE A ................................................................................................... 156II. ANNEXE B ................................................................................................... 160xiii

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INTRODUCTION1

IntroductionI. CONTEXTEL’action des perturbations électromagnétiques sur les systèmes électroniques peut provoquerleur dysfonctionnement et avoir des conséquences dangereuses mettant parfois en cause lasécurité des personnes. C’est pourquoi, il existe depuis longtemps une branche de l’ingénieriequi porte sur conception des systèmes et leur analyse. La condition est que ces systèmes sedoivent être compatibles avec leur environnement électromagnétique. La validation de lacompatibilité électromagnétique (CEM) des systèmes, qui accompagne les phases deconception et développement, est basée sur l’application de normes bien définies.La CEM est définie dans les normes européennes [1] [2] comme étant « l’aptitude d’unappareil ou d’un système à fonctionner dans son environnement électromagnétiques de façonsatisfaisantes et sans produire lui-même des perturbations électromagnétiques intolérablespour les équipements situés dans cet environnement ».Comme les automobiles sont de plus en plus équipées de systèmes électroniques, la notion decompatibilité électromagnétique est fortement ancrée chez les constructeurs ou leséquipementiers. On pourrait définir la CEM automobile par extension de la précédente normeen ajoutant des préoccupations de confort et de sécurité dans un environnement représentépar le volume du véhicule. Le non respect de la CEM en automobile peut avoir desconséquences directes sur la sécurité des utilisateurs.De manière générale, les études et analyses CEM [3] et par conséquent les techniques deconception que cela engendrent, visent à résoudre deux aspects principaux qui sont :- L’Emission : les systèmes doivent être conçus de manière à ne pas émettre desperturbations électromagnétiques gênantes pour leur environnement.- L’Immunité : les systèmes doivent être capables de fonctionner sans défaillance dansleur environnement.En automobile, les termes usuels pour désigner ces deux aspects de la CEM sontrespectivement le mutisme (pour l’émission) et la susceptibilité (pour l’immunité).Toutefois, on distingue deux types de perturbations électromagnétiques : les perturbationsrayonnées et les perturbations conduites. De ce fait, les aspects présentés précédemment sedécomposent à leur tour respectivement en :- Emission rayonnée : où la perturbation est propagée en l’air.- Emission conduite : perturbation propagée par conduction (câble ou autres moyens).- Immunité rayonnée : immunité contre les perturbations propagées en l’air.- Immunité conduite : immunité contre les perturbations propagées par conduction.D’un autre coté, les études CEM peuvent couvrir plusieurs domaines complémentaires les unsaux autres, parmi ceux-ci nous pouvons citer :- La caractérisation de l’environnement électromagnétique (sources de perturbationsou d’émissions électromagnétiques),- L’étude des mécanismes de couplage,- L’étude de l’immunité des équipements aux perturbations,- Les méthodes et moyens de protection,- L’étude des effets biologiques des ondes électromagnétiques,- La normalisation.- …3

IntroductionDans le présent travail, nous allons nous intéresser plus particulièrement à l’étude desmécanismes de couplages en mode conduit dans un véhicule. Le couplage de ces perturbationsélectromagnétiques est essentiellement dû à l’influence des câbles et la structure du véhicule(le plan de masse). Nous modéliserons ces phénomènes et les analyserons à travers dessimulations numériques.II.LE CABLAGE ELECTRIQUE D'UNE VOITUREAu début de l’industrie automobile, l'énergie électrique dans un véhicule automobile ne servaitque pour le démarrage et l'alimentation des bougies et des feux. La tension aux bornes de labatterie n’était alors que de 6 volts et le câblage ne dépassait pas quelques dizaines demètres.Depuis les années soixante, le développement des équipements électriques puis électroniquesdans l’automobile n’a cessé de croitre, du coup la tension est passée à 12 Volts afin de pallierla demande croissante de puissance engendrée par l’intégration de nouveaux systèmesélectroniques : comme la gestion électronique de sécurité (ABS, ESP...), ou de confort(climatisation, lève-vitres, rétroviseurs...) ainsi que le développement des commandesélectriques (injection, direction à assistance électrique...).En même temps, différentes normes en matière de sécurité, de consommation d’énergie ou depollution ont vu le jour obligeant les équipementiers et les constructeurs automobiles àmultiplier les capteurs dans les véhicules ce qui entraine la multiplication des câbles et desconnexions.La voiture contemporaine, dont la puissance totale dépasse les 3 kW, possède plusieurscalculateurs, et le câblage nécessaire dépasse les 2 km de câble, soit plus d’un millier de fils etquelque 2.000 connexions électriques et cela malgré l’apparition des techniques demultiplexage.Les câbles dans un véhicule sont regroupés dans des faisceaux reliant les calculateurs auxnombreux appareils électroniques qui composent le véhicule. Ils alimentent en énergie cesdifférents équipements et assurent la transmission des données entre calculateurs. Cesfaisceaux de câbles ont deux propriétés importantes qui sont :• L’inhomogénéité : les faisceaux regroupent tous types de câbles (câbles de puissanceset de données), les intensités des courants sont différentes et l’influence des uns parrapport aux autres peut se révéler nuisible.• La proximité : les faisceaux, en plus de regrouper des câbles collés les uns aux autres,sont très proches du plan de masse et autres appareils électroniques.Pour sa part, la structure du véhicule sert de moyen de retour du courant négatif et sert ausside plan de masse pour tous les appareils.III.OBJECTIF DE LA THESE ET ORGANISATIONPour pouvoir étudier et analyser les phénomènes de couplage, nous nous orientons vers unprocessus de simulation. Celle-ci est devenue de nos jours une étape inévitable dans touteprocédure de conception. L’outil de simulation souhaité doit assurer une efficacité des résultatsdans une large bande de fréquence (couvrant un domaine allant du continu jusqu’à quelquesgigahertz) et aussi ne devra pas être chronophage.4

IntroductionPour les équipementiers automobiles aussi bien que pour les constructeurs, un tel outil desimulation constitue, pour des problématiques de câblages, un support d’aide à la décision ouà la conception. Cet outil se révèle être spécialement pratique dans des cas de modification deschéma de câblage dans l’optique de respecter les considérations CEM.Les simulateurs en électromagnétisme sont basés sur des méthodes analytiques ounumériques qui résolvent les équations de MAXWELL. Ces méthodes sont appliquées sur desformulations différentes et possèdent toutes leurs avantages et leurs inconvénients.Pour différentes considérations qui nous intéressent (large bande de fréquence, type derésolution, type de maillage… etc.) nous ne trouvons pas d’outils spécialisés qui satisfait toutesnos attentes, car sur le marché, aucun logiciel ne peut se prévaloir d’avoir un traitement globalde tout type de problèmes.Dans cette optique, et dans l’intention d’obtenir un outil spécialement dédié auxproblématiques précédemment évoquées, nous entamons une démarche pour mettre au pointune démarche basée sur nos critères de choix, parmi lesquels :- une bonne cohérence et fiabilité des résultats par rapport aux mesures réelles,- une diminution du temps et du nombre de calculs,- la possibilité d’utiliser des matériaux diélectriques ou magnétiques- …Le choix s’est porté sur l’utilisation de la méthode PEEC (PARTIAL ELEMENT EQUIVALENT CIRCUIT)[4], il se conformait aux grandes lignes tracées dans notre laboratoire. En effet, la méthodePEEC fut introduite par F.DUVAL par le biais de ses travaux de thèse [5] et le présent travailen constitue une logique continuation et une judicieuse extension.L’outil résultant aura une structure de simulation majoritairement basée sur la méthode PEEC,mais qui pourra faire appel, s’il le faut, à d’autres moyens de calcul. Cette hybridation estnécessaire pour remédier à certaines limitations liées aux propriétés de la méthode PEEC quipourraient nous emmener à ne pas nous conformer à nos critères de choix. Le but d’un teloutil, à mon niveau, est de permettre une étude efficace des interactions dans un schéma decâblage véhicule.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons d’abord aux différentes méthodes numériquesopérant dans le domaine de l’électromagnétisme puis nous y justifierons le choix de laméthode PEEC.Nous présentons également, et en détails, la procédure de simulation adoptée. A titre de priseen main de la dite méthode, nous explicitons deux cas d’étude de câbles à travers différentscircuits où la modélisation de ces câbles à section circulaire se fait, conformément auxpropriétés de la méthode PEEC, par des éléments orthogonaux. Dans ces exemples là, nousétudions essentiellement les distributions du courant dans les éléments du maillage, nousmontrons les influences de l’effet de peau et de l’effet proximité et nous effectuons une étudeparamétrique des impédances des câbles en fonction de la géométrie du montage.Lors de ces simulations, le constat dressé était alors que le mode opératoire choisi est inadaptéà nos attentes, qu’il se révèle être couteux en temps de calcul et fait parfois apparaitre leslimites des simulations SPICE [6] [7].5

IntroductionPour ces raisons, nous avons songé à une méthode de substitution pour caractériser cescâbles. La nouvelle modélisation ne se base que sur un seul élément par câble où à partir delà, les simulations deviennent quasi-instantanées. En parallèle, nous traitons nos résultats pardes coefficients de corrections mathématiques que nous avons développés.A la fin de ce chapitre, nous introduisons le mode opératoire de discrétisation des grandssystèmes par la méthode PEEC, car de larges plans de masse composeront nos dispositifs detest. En terme, nous présenterons un cas test pour montrer le manque à combler pour réaliserl’outil de simulation désiré.Dans le deuxième chapitre, après un retour sur les définitions des propriétés de la méthodePEEC, spécialement celles qui concernent le calcul de la contribution capacitive, nousprésentons les différents moyens de considération des couplages capacitifs ainsi que le choixdu moyen le plus adapté à nos cas d’étude et à notre domaine d’application. Cesincorporations se font à l’instar des cas de validation correspondants, de manière évolutive.Nous validons les moyens de calcul ajoutés par des mesures, des calculs analytiques ou parconfrontation à des simulations fiables.Nous exposons des cas test pour montrer les améliorations apportées à la procédure desimulation. Ces évolutions concernent plusieurs secteurs, comme la modélisation, la diminutiondu nombre de calculs ou l’optimisation des résultats.Dans le troisième et dernier chapitre, nous passons à l’étape concrète de validation de l’outilélaboré, nous le testons sur deux cas d’étude différents.Le premier consiste en la caractérisation des phénomènes de couplage entrant en jeu lorsd’une mesure avec le banc de mesure champ proche de l’irseem. Nous modélisons lesinteractions entre la boucle de mesure et le dispositif mesuré (représenté ici par une ligne audessus du plan de masse). Le but d’une telle application est de montrer que l’utilisation denotre outil de simulation est adaptable à toute structure faisant apparaitre un câblage.L’incorporation du couplage capacitif s’est faite à l’aide d’un calcul réalisé avec le logiciel« FD2D » [8] qui nous fournit la matrice de capacités à lier entre la sonde et la ligne enprésence du plan de masse. Nous effectuons des calculs pour plusieurs positions de la sondeau dessus de la ligne et du plan de masse, nous injectons ces résultats dans une procédurebasée sur un calcul de réseaux de neurones pour obtenir les couplages pour les autrespositions. Nous avons songé à cette technique pour minimiser le nombre d’utilisations deFD2D, et nous procurer un contrôle total et une indépendance vis-à-vis de ce logiciel. Lesrésultats ont été, par la suite, plus complets.Nous avons caractérisé dans cette application la réponse de la sonde de mesure sur une largebande de fréquence, nous l’avons confronté aux calculs théoriques de champ magnétique ainsiqu’aux mesures de champs effectuées à l’aide du banc de mesure champ proche de notrelaboratoire. Nous y avons étudié et analysé les profils de champ détectés par la sonde enmesures et en simulations selon l’orientation et la position de cette sonde de mesure.La seconde application est, pour sa part, directement dérivée d’un exemple de l’industrieautomobile. Elle représente un cas d’étude courant dans l’analyse du câblage en automobile.6

IntroductionL’exemple étudié représente un schéma de câblage qui lierait deux moteurs d’essuie glacesalimentés par la batterie, en présence de plusieurs plans de masse. Le dispositif se composede 7 ports de mesure : avec une entrée pour la batterie, et trois ports pour chaque moteur.Ces derniers assurant l’alimentation, la mise en masse et la synchronisation entre eux.Dans cette étude, nous effectuons essentiellement des caractérisations fréquentiellesd’impédance de ce schéma de câblage, l’analyse se fait par la mesure et la simulation desparamètres S de ce dispositif. Nous analysons les coefficients de réflexion à chaque port ainsique les coefficients de transmission entre chaque paire de ports.Nous déterminons les principaux couplages capacitifs existants que nous calculonsdistinctement. A l’aide de la transformation PEEC du circuit, on arrive à former un circuitéquivalent de ce schéma de câblage que nous pourrons utiliser pour diverses applications.Cette application nous permet de valider la procédure de simulation adoptée, allant desprocédures de calculs capacitifs aux moyens de discrétisation et de réduction du modèle.Aussi, nous avons la possibilité d’évaluer le temps de calcul effectif dans ce genred’application.De par la complexité du dispositif multifilaire et qui fait intervenir plusieurs plans de masse,nous confrontons l’outil de simulation à la réalité des applications auxquels il se destine, nousabordons les différentes difficultés et essayons de trouver les moyens adéquats pour lestraiter, tout en respectant les objectifs principaux qui sont une exactitude et une concordancedes résultats ainsi qu’une consommation minimale en temps de calcul.7

CHAPITRE I9

Chapitre II. L’ETAT DE L’ART : SIMULATION NUMERIQUE1. LA SIMULATION NUMERIQUE [9]La simulation numérique est définie, [9], comme étant l’exécution d’un ou plusieursprogrammes sur un ou plusieurs ordinateurs. Le but de son utilisation est d’étudier lefonctionnement et les propriétés d’un système et/ou d’en prédire l’évolution.Aujourd’hui, la simulation numérique est utilisée dans de nombreux domaines de recherche etde développement, allant de l’astrophysique à la biologie, en passant par la chimie, lessciences humaines ou par d’autres domaines plus originaux comme celui des finances ou desbanques.La simulation numérique présente plusieurs atouts : elle est principalement employée dansl’optique de faire plus vite, mieux et moins cher. Ajouté à cela, de nouveaux enjeux sontapparus, on peut citer notamment certains facteurs d’ordre économique comme la réactivité,l’anticipation ou la compétitivité, mais aussi des facteurs de sûreté et de sécurité, par exemplepour une meilleure compréhension des situations accidentelles dans des domaines aussicomplexes que le nucléaire, l’automobile ou l’aéronautique… etc. mettant en risque la santédes personnes.De nos jours, la simulation numérique est devenue un passage inévitable, voire quasiobligatoire,dans tous les domaines de la recherche, du développement ou de l’innovation. Ellefait office d’appui incontournable et non négligeable.Il existe deux principales approches sur lesquelles sont basées les simulationsnumériques [9],[10] : les méthodes de calcul déterministes (méthode des volumes finis, deséléments finis …etc.) et les méthodes de calcul statistique ou méthodes dites de « Monte-Carlo ». En électromagnétisme, les méthodes de résolution numérique sont généralementdéterministes [10].2. LES METHODES NUMERIQUES EN ELECTROMAGNETISME [10]-[16]Avec l’incessante augmentation de la complexité des dispositifs électroniques, il est devenunécessaire, voire indispensable, d’intégrer à la phase de conception et/ou de développement,des outils numériques de calcul électromagnétique. Ces derniers servent à prédire lecomportement des systèmes et des structures. Ceci est encore plus vrai dans un domainecomme celui de la compatibilité électromagnétique.L’analyse comportementale, en électromagnétisme, se fait en résolvant les équations deMAXWELL de manière analytique ou numérique [10]-[16]. Les techniques analytiques simplifientla géométrie d’un problème par des hypothèses afin d’appliquer une solution approchée, tandisque les techniques numériques tentent de résoudre les équations fondamentales directementsous réserve de la limite des contraintes posées par la géométrie, nous reviendrons sur cesaspects en énumérant les différentes méthodes.Nous citons parmi les méthodes les plus répondues [10]-[16], celles sur lesquelles sont basésles logiciels commerciaux : la méthode des moments (MoM), la méthode des différences finies(FDM), la méthode des éléments finis (FEM), Méthode des lignes de transmission (TLM).11

Chapitre IDans ce qui suit, nous allons exposer un aperçu des principales méthodes. Nous présentonspour chacune d’elles ses avantages, ses inconvénients et son domaine de prédilection.Sachant que les avantages d’une méthode par rapport à une autre dépendent surtout duproblème à résoudre et du domaine d’application. Le choix de la méthode à utiliser dépendradonc beaucoup de ce critère.Notre choix sera porté essentiellement sur une méthode qui :- garantirait une résolution aussi bien dans le domaine temporel que fréquentiel,- garantirait une résolution et une analyse de type circuit,- ne nécessiterait pas d’énormes capacités mémoires du calculateur utilisé,- ...De plus, il y a un autre facteur de poids qui s’ajoute à ce choix qui est le temps. Le temps decalcul et de simulation consommé devra être minimal. L’idéal serait d’utiliser la méthodenumérique la moins coûteuse en temps de calcul et la plus fiable en matière de résultats.Nous allons présenter ci-après, dans une approche non exhaustive, les principales méthodesnumériques employées en électromagnétisme et en CEM [10]-[16]. La démarche est telle quenous présentons les méthodes et nous les évaluons par rapport à nos critères de choix, puisnous justifierons notre choix final porté sur la méthode PEEC.A. LA METHODE DES MOMENTS [10]-[16]La méthode des moments (MoM : METHOD OF MOMENTS) est très largement utilisée depuisplusieurs décennies dans diverses disciplines de la physique. En électromagnétisme, elles’applique généralement à la résolution de la formulation intégrale du champ électrique (EFIE :ELECTRIC FIELD INTEGRAL EQUATION) ou magnétique (MFIE : MAGNETIC FIELD INTEGRAL EQUATION).C’est une méthode de résolution plutôt fréquentielle même si elle peut être utilisée dans ledomaine temporel. La MoM ne fait pas partie des méthodes volumiques et ne modélise que lesstructures à simuler. L’autre avantage de cette méthode est qu’elle permet d’insérer descomposants localisés dans la structure modélisée par leurs impédances équivalentes.Cependant, la MoM reste très délicate pour la résolution de structures contenant dudiélectrique ou bien un matériau magnétique. Aussi, elle présente un traitement analytiqueassez lourd, les capacités mémoires requises et le temps de simulation consommés croissenttrès rapidement suivant à la taille du problème. Ces caractéristiques représentent sesinconvénients majeurs par rapport aux critères exposés ci-dessus.B. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES [10]-[16]Le principe des différences finies repose sur l’approximation d’opérateurs différentiels. Leséquations aux dérivées partielles sont alors exprimées sous forme de différences finies etpeuvent être formulées dans le domaine fréquentiel ou temporel.En électromagnétisme, l’approche à différences finies a donné naissance à plusieurs techniquesde modélisation, et celle qui se distingue par rapport aux autres est la FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN (la FDTD). Notons également l’existence de la FDFD (FINITE-DIFFERENCE FREQUENCY-DOMAIN) mais cette dernière est beaucoup moins utilisée.12

Chapitre IDans la FDTD, les équations de MAXWELL sont résolues dans le domaine temporel en utilisantune approximation de différences finies pour les champs électromagnétiques. Cette méthode apris beaucoup d’ampleur et de valeur auprès des concepteurs de logiciels d’électromagnétisme.Elle a l’avantage d’avoir un algorithme très simple et de s’appliquer, de par ses formulations, àdes structures géométriques quelconques. A noter aussi, que dans son utilisation la plusrépondue elle s’appuie généralement sur des éléments cubiques, et du coup les formes nonorthogonales sont maillées en escalier.La résolution dans le domaine fréquentiel s’obtient en appliquant une transformation deFourrier aux résultats de la simulation temporelle, ceci pourrait entrainer un surplus de calculs.Toutefois, une seule résolution dans le domaine temporel, lui permet de couvrir un largespectre de fréquence, ce qui représente son atout majeur.En revanche, la caractéristique principale qui met la FDTD en discorde avec nos critères dechoix est que cette méthode fait partie de la famille des méthodes de type volumique, c'est-àdirede celles qui nécessitent le maillage de l’espace libre lors des simulations, ce qui la classeparmi les méthodes les plus gourmandes en coût de calcul.C. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS [10]-[16]La méthode des éléments finis (FEM : FINITE ELEMENT METHOD) a largement prouvé son utilité etest devenue une méthode très employée dans de nombreux domaines de la physique,notamment en électromagnétisme, en thermique ou en mécanique… Elle est, de ce fait, trèssouvent prise comme référence lorsqu’il s’agit de comparer des méthodes numériques.La FEM appartient à cette classe des procédures numériques qui transforment une relationfonctionnelle en un système d’équations linéaires. En électromagnétisme, c’est une méthodefréquentielle qui a la capacité de pouvoir s’appliquer à des structures très complexes. C’est uneméthode rigoureuse, mais qui nécessite un temps de calcul important ainsi qu’une grandecapacité de mémoire du calculateur.Inversement à la méthode des moments, une matrice résultante assez creuse découle de larésolution de la FEM et cela pour n’importe quelle géométrie. Cependant, en se basant sur sonapproche volumique, elle a un coût de calcul, en temps et en mémoire, considérable. En plusdu fait qu’elle nécessite, dans sa modélisation, la définition des conditions absorbantes pourune simulation en espace libre. L’utilisation de cette méthode, comme de la précédente,devient restreinte à des problèmes de petites dimensions (vis-à-vis de la longueur d’onde).Ceci ne répond pas à nos critères de choix de la méthode de simulation.D. LA METHODE DES LIGNES DE TRANSMISSION [10]-[16]Dans la méthode des lignes de transmission (TLM – TRANSMISSION LINE METHOD), le modèleobtenu est relativement simple et consiste à déterminer un schéma électrique équivalent parunité de longueur. Cette méthode se base sur l’utilisation de formulations génériques de typemicro-ondes et leur domaine de validité dépend du rapport w/h (largeur de piste/distance duplan de masse), ceci constitue déjà une restriction d’utilisation.Les principaux avantages de cette méthode sont d’abord sa capacité à traiter des structuresquelconques : géométrie complexes, non linéaires ou même avec des matériaux inhomogènes.13

Chapitre IAussi, le fait qu’elle introduit la résolution de type circuit, ce qui n’était pas concevable avectoutes les précédentes méthodes. Une pareille approche nous serait particulièrement utile dansnos procédures de simulations.L’inconvénient majeur de la TLM réside dans l’importance des calculs qu’elle nécessite dans lecas de problèmes ouverts, où la subdivision d’un espace assez large autour du circuit estnécessaire. De plus, la bande de fréquence couverte par cette méthode est limitée par lesproblèmes de dispersion et tout comme la FDTD, cette méthode ne permet pas de calculer lechamp propagé.3. CONCLUSIONLes simulateurs électromagnétiques sont devenus des outils incontournables pour l’aide à laconception des dispositifs et des systèmes. Ils sont basés sur des méthodes numériques, quirésolvent les équations de Maxwell. Ces méthodes sont appliquées sur des formulationsdifférentes et possèdent toutes des avantages et des inconvénients. On remarque qu’aucuneméthode ne se distingue à être la plus efficace face à la multitude de problèmes envisageables.Ceci suggère que les procédures croisées qui prennent les côtés avantageux de chaqueméthode soient les voies futures pour améliorer l’efficacité du calcul. Dans ce sens, de plus enplus de méthodes dites « hybrides » voient le jour en ce moment et les résultats qu’ellesfournissent sont très encourageants.Dans le présent travail de recherche, face à nos critères de choix, chacune des différentesméthodes a présenté ses limites ou parfois ses inconvenances de part ses spécifications parrapport aux critères que nous avions fixés au départ. Notre choix s’est alors tourné versl’utilisation de la méthode PEEC (PARTIAL ELEMENT EQUIVALENT CIRCUIT) qui représente à nos yeuxla méthode numérique qui répond le mieux au cahier de charge dressé.En effet, l’objectif de notre travail est de mettre en œuvre un outil de calcul pour desapplications et des problématiques liées à l’industrie automobile. Cet outil sera donc basé surla méthode PEEC, une méthode que nous détaillerons dans le paragraphe suivant. Il permettrade résoudre des problèmes en 3D, en nous dispensant de l’utilisation des méthodesvolumiques (FEM, FDTD) pour qu’il ne soit pas coûteux en temps de calcul et en capacitémémoire.Ceci étant, nous nous servirons des autres méthodes à travers des programmes de calculspécifiques soit pour valider ou soit pour épauler la méthode PEEC dans plusieurs situations.En effet, bien que le cœur de résolution de notre outil soit basé sur la méthode PEEC, lefacteur temps nous oblige parfois à utiliser d’autres moyens de résolution pour des questionsspécifiques. Ce qui rejoint l’esprit de création des méthodes hybrides. [18]-[20]II. LA METHODE PEEC [4], [5], [13]-[15], [17], [18], [21]-[33]Nous nous sommes tournés vers l’utilisation d’une méthode globale spécialisée dans lamodélisation électromagnétique des conducteurs, cette méthode est appropriée pour letraitement électromagnétique et l’analyse des circuits. Elle se base sur la traduction duproblème décrit par les équations de MAXWELL à travers l’équation intégrale du champélectrique (EFIE). L’analyse se fait sur chaque élément partiel par les lois de KIRCHHOFF où lecomportement de chaque cellule a une influence sur l’impédance totale du dispositif simulé, cequi explique la notion d’éléments partiels.14

Chapitre ILa méthode PEEC a été proposée par Albert Emil RUEHLI dans le début des années soixantedixau centre de recherches d’IBM aux Etats Unis [4][25][26]. La première vocation de cetteméthode était de faciliter le calcul d’inductances dans les circuits intégrés de la technologieVLSI (VERY LARGE SCALE INTEGRATION). Elle s’est spécialisée ensuite dans le traitement électriqueet électromagnétique des problématiques liées aux connexions dans les circuits intégrés.Depuis, avec tout l’intérêt qu’elle a suscité et avec tous les développements qui se font autour,le domaine d’utilisation de cette méthode ne cesse de s’élargir, de nos jours cette méthodepermet d’analyser le comportement électrique et électromagnétique de tous types destructures, elle s’applique aux matériaux diélectriques et même magnétiques, elle permetentre autre aussi de calculer les paramètres par unité de longueur de n’importe quelle ligne detransmission. Son domaine d’utilisation est très vaste, le nombre de recherches et depublications autour de cette méthode le prouve.Dans cette méthode, la structure physique tridimensionnelle réelle est découpée en portionspour être ensuite convertie en un circuit équivalent passif RLC. Ce circuit peut être complétéavec les modèles électriques des composants éventuellement connectés à cette structure. Lecircuit global obtenu peut être analysé, dans le domaine temporel ou fréquentiel, à l’aide desimulateurs génériques de type SPICE [34].La méthode PEEC répond particulièrement à nos attentes et nous permet le traitement desproblématiques en mode conduit. Les avantages de cette méthode sont multiples, on citeraceux qui ont amené notre choix vers son utilisation, la méthode PEEC permet :- une résolution dans le domaine temporel et fréquentiel : l’analyse des circuits par lessimulateurs génériques SPICE peut se faire dans les domaines temporel et fréquentiel,selon le besoin du problème à résoudre,- un calcul et une exécution rapides : cette méthode, n’étant pas une méthodevolumique, s’exécute par conséquent plus rapidement et requiert moins de capacitésmémoire,- un maillage particulier pour chaque géométrie : le maillage peut être régulier ouspécifique à chaque structure, du moment qu’il est fait à base d’élémentstridimensionnels directes, les formes circulaires ou courbées sont maillées en escalier,- une résolution indépendante de la fréquence : la transformation de la structure en uncircuit passif RLC se fait indépendamment de la fréquence,- l’interprétation des résultats est orientée type circuit électrique : (avec la possibilitéd’intégrer des circuits externes avant la simulation) la transformation de la structuresous test avec cette méthode en un circuit équivalent électrique représente un de sesgros avantages. En effet, il n’est pas nécessaire de recalculer ce circuit équivalent dansle cas où on change l’environnement de simulation de la structure,- une évaluation de chaque portion du circuit : on peut connaître la valeur de l’impédancede chaque portion du circuit ainsi que sa contribution réelle à l’échelle de la structure,- le calcul du couplage de deux éléments quelconques de la structure : grâce à cetteméthode, nous pouvons percevoir le couplage (capacitif ou inductif) entre chaque paired’éléments constituant le circuit équivalent.Pour la résolution, la méthode PEEC s’opère suivant trois étapes essentielles, nous lesexposons ci-après et nous présenterons ensuite la procédure appliquée dans notre travail :15

Chapitre ITout d’abord, la première phase consiste à subdiviser les conducteurs et les régionsdiélectriques en cellules de surface et de volume, à travers un maillage de points quireprésentent les nœuds du circuit électrique équivalent à construire. Cette étape est ceque l'on peut appeler la définition géométrique de la structure à simuler.L’étape suivante consiste à déterminer les éléments RLC qui traduisent le comportementde chaque cellule, qu’elle soit métallique ou diélectrique, et à calculer les facteurs quitiennent compte du couplage entre les différentes cellules. Là on définit le circuitéquivalent correspondant à chaque élément de la structure définie dans la première phase.Finalement, et avant de simuler le système avec un simulateur de type SPICE, nousdevons assembler les circuits équivalents partiels, définir l’environnement de simulation(charge, source, … etc.) et rajouter les composants discrets éventuellement connectés à lastructure.L’extrême souplesse de cette méthode permet de changer les composants externes à lastructure et d’analyser de nouveau le système sans avoir à recalculer ses éléments partiels,car les valeurs de ces derniers sont uniquement dépendantes de la géométrie de la structureet ne dépendent ni du contexte électromagnétique ni de l’environnement électrique ni encoredes conditions de simulation.L’emploi de la méthode PEEC, nécessite de l’utilisateur une bonne connaissance de la structured’un point de vue électrique et géométrique, cette maitrise assure une description et unmaillage convenables afin de diminuer les erreurs. Aussi, il y a les considérations de type lignede transmissions qui peuvent entrer en jeu, surtout les phénomènes de propagation, d’effet depeau ou de proximité, que l’utilisateur devra prudemment prendre en compte et intégrer dansla phase de modélisation.Il faut ajouter aussi que le choix de cette méthode numérique, rentre dans le cadre d’unethématique de recherche déjà entamée dans le laboratoire, [5]. Cette dernière constitueraavec le présent travail une base pour l’élaboration de cet outil de simulation, cette base seracomplétée au fur et à mesure pour élargir le domaine d’utilisation ou tout simplement dans unbut d’optimisation du moyen de simulation mis en place.III.PRISE EN MAIN DE LA METHODE PEECTout au long de notre travail, nous nous reposerons sur une méthode de résolution basée surune version de la méthode PEEC, dont les calculs de base ont été définis dans le cadre d’uneprécédente thèse [5]. L’application de cette méthode se fait suivant les troisétapes précédemment citées. Nous les retraçons ici, par rapport à notre environnement detravail qui n’est autre que le logiciel de calcul mathématique Matlab ® [35]. L’exécution de laméthode se fait alors comme suit :oLa description géométrique de la structure à simuler : cette étape peut se fairemanuellement ou automatiquement (avec des fonctions dédiées) et son objectif est dedécrire le maillage géométrique de la structure et sa décomposition en élémentspartiels tout en introduisant la définition des nœuds électriques. Résultera de cetteétape un fichier descriptif d’extension « *.peec », où les choix des extensions relèventdes travaux [5]. Le fichier descriptif contient les coordonnées et les dimensions de tousles éléments partiels ainsi que leur branchement électrique. En d’autres termes, danscette étape on réalise le travail de maillage de la structure à simuler ainsi que sadécomposition électrique.16

Chapitre IooLa transformation du maillage en un circuit électrique équivalent (R,L) grâce à desfonctions spécialement dédiées : celles-ci transforment le fichier géométrique précédenten un nouveau fichier d’extension « *.cir » qui contient la définition du circuit électriqueéquivalent. Ce type de fichier est compatible avec les simulateurs électriques de typeSPICE. Nous reviendrons dans le CHAPITRE II sur l’incorporation des élémentscapacitifs ainsi que leurs méthodes de calcul.L’implémentation de la structure (du circuit équivalent) dans son environnementélectrique : ceci passe d’abord par ajouter tous les éléments raccordés à notre structure(les sources, les charges, les éléments actifs, … etc.) et la définition des paramètres desimulation. Ces éléments sont ajoutés au fichier circuit « *.cir » qui sera simulé avec leslogiciels de simulations électriques de type SPICE. A la sortie, nous aurons un fichier derésultats d’extension « *.out » qui comporte toutes les informations nécessaires àl’analyse : on récupère les tensions en chaque nœud électrique et le courant circulantdans chaque branche électrique (une branche étant définie entre deux nœuds) et ceci àchaque point de fréquence (ou de temps) prédéfini lors de la simulation.Dans un premier temps, les applications et utilisations qui sont mises en œuvre consistent àfaire la caractérisation fréquentielle d’un câblage électrique. Nous devons y étudier lesvariations des caractéristiques résistives et inductives de deux circuits composés de deuxcâbles parallèles différemment liés. L’étude nous permettra d’analyser leurs comportements enfréquence en fonction des dimensions du circuit.Pour cela, il nous faut tout d’abord modéliser géométriquement les câbles de section circulaireà base d’éléments rectangulaires, car une des caractéristiques propres de la méthode PEEC estque la modélisation se base uniquement sur des éléments orthogonaux. Nous avons réalisésces sections circulaires par plusieurs éléments rectangulaires judicieusement organisées pourformer la section circulaire.Dans la littérature, certains travaux [36][37] se sont penchés sur la question de la nonorthogonalitédes éléments partiels. Ces derniers effectuent des approximations sur lesdifférentes formulations de calculs. Cependant, nous n’avions pas eu besoin d’intégrer ces dansle présent travail. Ceci fera partie des perspectives et des futurs élargissements des capacitésde notre outil de simulation.L’objectif de l’étude des câbles circulaires est de faire sortir, à travers plusieurs modélisations,celle qui sera la plus fidèle au comportement réel dans une large gamme de fréquence.1. MODELISATION DU CABLAGEDans ce qui suit, nous allons présenter quatre décompositions de câble à section circulaire àbase d’éléments orthogonaux. Le but de cette étude est d’analyser le comportement descaractéristiques électriques (la distribution de courants dans les différentes branches, lavariation des impédances… etc.) en fonction des dimensions, et ceci dans une large bande defréquence (entre quelques hertz jusqu’au gigahertz).Par la suite, nous passerons de cette modélisation, composée alors de plusieurs éléments, àune analyse analogue, où chaque câble ne sera représenté que par un seul élémentorthogonal. Ce choix est dicté, d’une part par les propriétés intrinsèques de la méthode PEECet d’autre part par l’intérêt de minimiser le temps de calcul consommé par les analyses descâbles de forme circulaire. Notre seconde préoccupation est de rester dans la même gamme deprécision.17

Chapitre IPour finir, nous présenterons les procédés qui nous ont permis de pouvoir retrouver lesrésultats d’une méthode d’analyse à partir de l’autre. Ce passage nous assuré par des facteursmathématiques de corrections que nous avons mis en œuvre. Ils nous assurent un gain detemps considérable et une précision équivalente entre les deux méthodes comme cela estprouvé par la suite.A. LES MODELISATIONS CIRCULAIRESNous modélisons ici des câbles de section circulaire à base d’éléments orthogonaux. Chaquemodélisation circulaire se distingue par les caractéristiques de son maillage : le nombred’éléments du maillage entraînera un temps de calcul proportionnel.Nous présenterons d’abord l’aspect géométrique de chaque modélisation, pour ensuite faireune analyse sur les résultats que cela engendre. 1 ERE MODELISATION CIRCULAIREDans cette première modélisation, la surface du câble obtenue couvre près de 95 % de lasurface de son équivalent réel de section circulaire. Ce maillage est composé de trois typesd’éléments de tailles différentes, on y distingue respectivement : a, b= 0.75*a et c= 0.5*a,comme indiqué dans la FIGURE I-1. La taille a est directement liée au rayon du câble circulairepar la relation : rayon=3*a.Cette modélisation comporte 36 éléments et le cœur de la section du câble est uniformémentdécoupé. Ce maillage devrait garantir des résultats corrects au vu de la surface couverte et del’homogénéité de son maillage.cRbaFigure I-1 - Modélisation circulaire 1 2 EME MODELISATION CIRCULAIRECette deuxième modélisation (FIGURE I-2) est directement dérivée du modèle précédent. Eneffet, dans celle-ci nous avons divisé les carrés de taille a en quatre carrés de taille c.Du coup, cette modélisation ne comporte que deux dimensions différentes, le câble garde lamême section mais le nombre d’éléments passe de 36 à 96 éléments. Nous verrons parailleurs que les résultats deviennent plus précis.18

Chapitre IcRbFigure I-2 - Modélisation circulaire 2 3 EME MODELISATION CIRCULAIRECette décomposition (FIGURE I-3) comporte 72 éléments au premier niveau, ce dernier estréglable automatiquement (chaque carré peut donc être décomposé à son tour, nouspasserons de 72 à 288 éléments en augmentant le niveau de maillage au 2 nd niveau).RFigure I-3 - Modélisation circulaire 3La particularité de ce modèle est qu’il n’e se compose que d’éléments unidimensionnels. Cecirenforce l’homogénéité de ses éléments partiels et assurent des résultats très fiables. MODELISATION CIRCULAIRE « OPTIMISEE »L’innovation dans cette modélisation que nous avons appelée « optimisée » est que ladiscrétisation est de plus en plus fine dans les lieux où l’interaction est sensée être la plusimportante, comme le montre la FIGURE I-4. On privilégie volontairement un coté sur l’autresuivant l’effet de proximité. C’est une modélisation intelligente qui dépend du positionnement.RFigure I-4 - Modélisation circulaire optimisée19

Chapitre ILa face maillée finement nous assure une prise en compte plus rigoureuse des effets de peauet de proximité dans nos simulations. Ces effets là, étant deux des principaux acteurs desphénomènes d’interaction électromagnétiques en hautes fréquences.La FIGURE I-5 montre le cas de figure où deux câbles sont mis en parallèle. Nous y montrons leplacement des parties finement discrétisées qui sont alors mises en face l’une de l’autre, dansle but de favoriser la prise en compte du couplage et des plus importantes interactions.Figure I-5 - Exemple d’une modélisation circulaire optimisée2. ETUDE & ANALYSE DES SIMULATIONS DES CABLES CIRCULAIRESLe but de cette étude étant de faire une caractérisation fréquentielle de câbles, ceci passe parmodéliser et simuler, dans une large bande de fréquence, le circuit de la FIGURE I-6 à traversles modélisations précédemment présentées. L’objectif est de faire sortir la modélisation laplus adéquate pour les utilisations futures, le choix se fera sur la modélisation qui présente unbon compromis entre les résultats fournis et le temps de calcul et de simulation consommé.L’analyse comportementale du circuit présenté se fera en fonction des dimensions suivantes :• la longueur L,• le rayon R,• la hauteur H.LRAHFigure I-6 - Circuit de test des câbles à section circulairesAprès modélisation et simulation par la méthode PEEC, nous avons visualisé les distributionsdes courants dans le câble circulaire dans la bande de fréquence (100Hz - 1GHz). Nousprésentons un exemple simulé avec chacune des quatre modélisations définies précédemment,on y montrera les influences des variations des dimensions.A. ETUDE DES DISTRIBUTIONS DU COURANT DANS LES BRANCHESNous présentons ci-dessous un exemple de simulation, avec les caractéristiques suivantes :20

Chapitre I- un rayon des câbles de 1mm,- une longueur de 50cm,- une distance entre les fils de 3mm.Dans ce circuit, on injecte pour la simulation un courant de 1A, ceci pour nous faciliter lescalculs d’impédances.Dans un premier temps, nous comparons les distributions du courant dans les différentesbranches issues des différentes discrétisations. Les figures suivantes (FIGURE I-7, FIGURE I-10,FIGURE I-12 & FIGURE I-14) présentent les distributions des courants dans les différentesbranches de chaque discrétisation en fonction de la fréquence.Nous avons, dans chaque courbe, essayé de distinguer les courants dans les branches par unjeu de couleurs, ceci aidera à séparer les courants à fortes valeurs des courants très faibles,afin de dégager les portions du maillage qui sont influentes dans la modélisation. CIRCULAIRE 1Dans la FIGURE I-7, nous présentons les distributions des courants dans les différentesbranches de la décomposition du câble circulaire, et dans la FIGURE I-8, nous avons essayé deschématiser les résultats obtenus pour trois fréquences différentes, respectivement pour100Hz (fréquence considérée comme de la basse fréquence), pour 100kHz (fréquenceintermédiaire) et pour 1 GHz (que l’on prend comme la haute fréquence).0.140.120.1Courant (A)0.080.060.040.02010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-7 - Distribution des courants dans les branches pour la modélisation circulaire 1Notons que dans cette FIGURE I-8, les courants s’accroissent sur le coté qui se retrouve àproximité du second câble.21

Chapitre ITout d’abord, en basses fréquences (BF), la densité de courant a une distribution homogènesur la section du câble, et donc la valeur des courants est uniquement proportionnelle à lasection de chaque branche. On voit, dans la FIGURE I-7 que le courant en BF a trois valeursdifférentes, ce qui est relatif au nombre de dimensions différentes constituant le maillage. Cequi se vérifie dans la FIGURE I-8 à 100 Hz, le courant est majoritaire sur les branches de sectionimportantes sans faire de distinguo entre elles.100 Hz100 kHz100 MHzFigure I-8 – La distribution des courants dans les branches pour trois fréquences différentesAvec l’accroissement de la fréquence, le comportement du courant diffère du cas précédent(on n’est plus dans un cas dit de courant continu) et alors la distribution de celui-ci obéit auxlois de l’électromagnétisme et plus précisément aux règles d’effet de peau et de proximité [27][38] [39]. Pour la première, la densité de courant augmente de façon exponentielle quand onse rapproche de la surface du conducteur. Ceci est vérifiable par nos simulations, on voit dansla FIGURE I-7 qu’à partir d’une certaine fréquence (nous avons choisi 100 kHz pour leschématiser dans la FIGURE I-8) les courants qui augmentent sont les courants circulants dansles branches constituant la surface extérieure de la section du câble avec une pénétrationmoyenne. Ceci se vérifie sur la FIGURE I-8.De la même façon, on justifie le comportement à 100 MHz, la distribution surfaciques’intensifie, les courants se stabilisent avec une préférence d’un coté sur un autre, cetavantage n’est autre que la conséquence de l’effet de proximité.22

Chapitre IFigure I-9 – Schématisation de la distribution des courants sur la section des deux câbles en HFLa FIGURE I-9 nous montre que les courants à fortes valeurs HF (ici à 1 GHz) sont les courantscirculant dans les branches se trouvant à proximité du second câble, tout en respectant le faitque les branches extérieures sont les plus importantes.La description précédente des distributions des courants reste aussi valable pour les autresdiscrétisations avec plus ou moins des améliorations des résultats, nous verrons cela dans lescourbes suivantes. Les changements qui surviennent essentiellement dans les points dedéparts des courants BF : la 2 ème modélisation en possède deux types d’éléments, la 3 ème estmonodimensionnelle et la modélisation circulaire optimisée en possède quatre taillesdifférentes. CIRCULAIRE 2Dans ce cas de figure, vu que cette discrétisation est directement issue de la précédente, lesrésultats obtenus sont de la même gamme que précédemment. En effet, dans ladiscrétisation, les éléments de taille (a) ont été décomposés en quatre éléments de taille (c),(FIGURE I-2) ceci engendre donc seulement deux points de départ des courants correspondantaux deux dimensions constituant le maillage.0.080.070.060.05Courant (A)0.040.030.020.01010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-10 - Distribution des courants dans les branches pour la modélisation circulaire 223

Chapitre ILe comportement en fonction de la fréquence reste toujours régi par les principesélectromagnétiques d’effet de peau et de proximité, nous voyons cela dans la FIGURE I-10. Lesvariations subites par les différents courants sont principalement causées par la taille deséléments partiels dans lesquels ils circulent, mais surtout par rapport à leurs positionnementsvis-à-vis du câble opposé. Dans la FIGURE I-11 nous voyons la distribution du courant sur lasection des deux câbles à une haute fréquence (≈ 100MHz), les éléments à fortes valeurs decourant se résument être les éléments formant le contour extérieur des câbles avec unavantage particulier aux éléments se trouvant à proximité du câble opposé.Figure I-11 – Schématisation de la distribution des courants sur la section des deux câbles en HFOn remarque que dans ce cas, il existe un peu plus de pénétration des courants à fortesvaleurs dans la section du câble que dans le cas précédents, ceci est dû au fait que leséléments de petites tailles ont une résistivité inférieure à celles des éléments de taillessupérieures, ce qui explique l’existence d’éléments de petite dimension ayant un courantimportant. CIRCULAIRE 3Dans cette troisième discrétisation, étant donné que le maillage est unidimensionnel, la courbedes distributions des courants ne présente qu’un seul point en basse fréquence (FIGURE I-12).0.120.10.08Courant (A)0.060.040.02010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-12 - Distribution des courants dans les branches pour la modélisation circulaire 324

Chapitre IDans cette modélisation, nous retrouvons les mêmes caractéristiques que dans les casprécédents. La FIGURE I-13 révèle une coupe de section sur les deux câbles, on y voit ladistribution des courants dans les éléments partiels. Nous avons le même constat que dans lesprécédents maillages, les effets de peau et de proximité sont aisément perceptibles. A noterque dans cette représentation, l’effet de peau est beaucoup plus significatif, l’influence desdimensions ayant disparu, il ne reste que les caractéristiques électromagnétiques réelles.Figure I-13 – Schématisation de la distribution des courants sur la section des deux câbles en HFSi nous augmentons le niveau de maillage, nous verrons que les courants seront distribuésavec beaucoup plus de précision, on y verra plus de pénétration dans la section du câblesurtout dans la zone à fortes interactions, nous y verrons aussi un déploiement plus juste descourants sur la surface du conducteur. CIRCULAIRE OPTIMISEELes résultats de distributions des courants relatives à la discrétisation dite optimisée, se révèleêtre entachée de quelques divergences dans les simulations de dispositifs de grandes tailles.En effet, la FIGURE I-14 représente simulation obtenue sur deux câbles d’un mètre de longchacun, et ce montage se révèle être trop lourd pour notre machine de simulation.0.90.80.70.6Courant (A)0.50.40.30.20.1010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-14 - Distribution des courants - Longueur des câbles 1 m25

Chapitre IEn effet, bien qu’en basses fréquences le comportement est correct : les différents points dedépart des courants sont proportionnels aux dimensions des éléments constituant le maillage,on ne peut en dire autant du comportement à partir d’une certaine fréquence, où ladistribution des courants dans les branches est erronée comme le montre la FIGURE I-15. On yretrouve des valeurs trop importantes qui ne sont certainement pas correctes, vu que lasomme des courants dans toutes les branches devient supérieure à celle injectée (on dépassede beaucoup les 1A injectées par la source de courant).Nous attribuons ces incohérences à des divergences de calcul liées au simulateur électriqueSPICE. En effet, d’une part les matrices que l’on y injecte sont de tailles très importantes àcause d’un maillage minutieux et donc au nombre important de cellules. Mais surtout nous lesattribuons aux dimensions de certains éléments partiels : dans cette discrétisation, les taillesdes éléments de la zone finement maillée se trouvent être très faibles devant les dimensionsde la structure entière, ce facteur se révèle être très préjudiciable dans nos simulations. Nousle confirmons dans la FIGURE I-14 que les éléments dans lesquels les courants divergent sontceux qui initialement (en basse fréquence) possédaient de faibles courants.Néanmoins, quand il s’agit de dimensions raisonnables pour la simulation, le comportementredevient identique aux autres modélisations : la FIGURE I-15 représente la simulation d’undispositif de longueur égale à 20 cm où nous y retrouvons les mêmes effets que dans lesautres modélisations (surtout l’effet de peau).La seule différence est que l’effet de proximité n’est pas trop visible, les courants préférant leséléments de grandes tailles qui se trouvent à l’opposé et délaissent les petits éléments quiétaient sensés avoir le plus d’importance dans le comportement global du dispositif. Ce quiconstitue un autre désavantage de ce modèle.0.090.080.070.06Courant (A)0.050.040.030.020.01010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-15 - Distribution des courants - Longueur des câbles 20 cm26

Chapitre IFigure I-16 – Schématisation de la distribution des courants sur la section des deux câbles en HFSi nous voulons résumer et synthétiser nos observations et nos conclusions par rapport auxdistributions des courants dans les différentes discrétisations, nous pouvons dire qu’en bassesfréquences, et pour les quatre décompositions, la valeur des courants y est proportionnelle à lasection de la branche. Le courant en BF a un nombre de valeurs correspondant au nombre dedimensions constituant le maillage. Les courants de forte valeur correspondent aux élémentsde section plus grande puis respectivement jusqu’à la taille minimale. Ceci se traduit par larelation directe entre la distribution du courant et la section des branches.Avec l’accroissement de la fréquence, les distributions des courants dans les branches varientselon deux critères relatifs à leurs positionnements. Le premier critère est intrinsèque au câble,c'est-à-dire que les éléments constituant le contour extérieur du câble sont les plus favorisés àfaire circuler les courants à fortes valeurs, sous l’égide du phénomène d’effet de peau. Lesecond critère est relatif au positionnement des éléments vis-à-vis des éléments de l’autrecâble. Les courants à fortes valeurs circulent dans les branches se trouvant à proximité dusecond câble, où l’interaction est plus importante. Ceci est la conséquence de l’effet deproximité. Nous voyons ces résultats dans nos différentes figures de distribution des courants(FIGURE I-17) où les zones d’ombres représentent les éléments à forts courants. Dans cettefigure on ne représente qu’un câble pour chaque modélisation, tout en sachant que le câbleopposé est du coté des forts courants (c'est-à-dire à gauche de chaque câble).(a) (b) (c)Figure I-17 - La zone d’interaction maximale en HFNous voyons que l’effet de peau est plus visible dans la troisième modélisation (FIGURE I-17-C),ceci s’explique par le fait que cette décomposition est à base de carrés unidimensionnels etdonc la distribution des courants dans ses branches ne dépend que des effets de peau et deproximité. Nous y voyons que les branches à fort courant sont celles qui forment le contourextérieur du câble en plus de celles citées en conséquence de l’effet de proximité.La conclusion qu’on peut tirer également est que pour bien cerner l’effet de peau, il nous estnécessaire de respecter la grandeur des épaisseurs de peau, c'est-à-dire plus les élémentsformant le contour sont petits, plus grande sera la visibilité de cet effet.27

Chapitre IComme cité précédemment, la distribution des courants dans la modélisation optimiséedevient incohérente à partir d’une certaine fréquence (quelques dizaines de mégahertz, voir laFIGURE I-14) et à partir de certaines longueurs. Dans ce cas, à partir de ces fréquencescritiques, la somme des courants HF dépasse les courants initialement injectés et ladistribution obtenue devient totalement aberrante. Nous avons attribué ces incohérences à unproblème d’analyse lié au simulateur SPICE.B. ETUDE DES IMPEDANCES DES CABLESLa deuxième étude analytique des câbles concerne le comportement des impédances. Lesfigures suivantes retracent leurs variations, en fonction de la fréquence : on y expose lesvariations de leurs parties résistives dans la FIGURE I-18 et inductives dans la FIGURE I-21. Lesdimensions de l’exemple exposé sont choisies de façon à permettre à la modélisation« optimisée » de bien fonctionner.0.0350.03Circulaire Opt.Circulaire 1Circulaire 2Circulaire 3Partie réelle de l'Impédance (ohm)0.0250.020.0150.010.005010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-18 - La partie résistives des câbles (les quatre modélisations)Nous voyons que les résistances en basses fréquences sont peu différentes, leurs valeursdépendent directement de la section du câble modélisé, et comme ces câbles sont du mêmeordre de grandeur, les valeurs des parties résistives sont donc très proches.De ce fait, les courbes des deux modélisations circulaires « 1 » et « 2 » sont superposéescomme nous l’indique le zoom appliqué dans la FIGURE I-19.28

Chapitre Ix 10 -3Partie réelle de l'Impédance (ohm)32.521.5Circulaire Opt.Circulaire 1Circulaire 2Circulaire 3110 2Fréquence (Hz)Figure I-19 – Zoom sur la partie résistives en basses fréquencesPour les différences obtenues en HF, nous expliquons cela par la forme du maillage, plus cedernier est fin, plus la zone d’interaction entre les deux câbles en HF est large, et donc lenombre de branches entrant en considérations augmente (là où les courant circulent en HF).C’est ce qui fait augmenter la résistance en hautes fréquences. La FIGURE I-20 montrel’exemple des zones d’interaction entre les modélisations circulaire 1 & 2.CIRCULAIRE 1 CIRCULAIRE 2ZONED’INTERACTIONHFFigure I-20 - La zone d’interactions HF dans la modélisation circulaire 1 et circulaire 2En ce qui concerne les parties inductives, la FIGURE I-21 montre leurs variations, ces dernièressont inverses que celle des résistances. On explique leur comportement par :• En BF, les valeurs se rapprochent plus ou moins, cela est toujours dû à la section ducâble circulaire. La modélisation circulaire 1 (et circulaire 2) est la discrétisation qui serapproche plus du cas réel (où la proportion de la section modélisée est de 96%), enrevanche la modélisation optimisée reste toujours un peu décalée.• En HF, nous voyons que le comportement des inductances reste semblable à celui desrésistances. C'est-à-dire que les résultats s’améliorent le plus pour les discrétisationsles plus fines (circulaire 2 & 3). Dans ces dernières, le comportement tend vers lecomportement réel, car chaque élément possède ses propres variations et contribue aucomportement global des câbles.29

Chapitre I1.55 x 10-7 Fréquence (Hz)Partie inductive de l'Impédance (H)1.51.451.41.351.3Circulaire OptCirculaire 1Circulaire 2Circulaire 31.2510 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Figure I-21 - Les inductances des câbles circulaires (les quatre modélisations)Le TABLEAU I-1 résume les simulations effectuées avec les quatre modèles, il nous permet defaire une synthèse quantitative et une comparaison. Il permet aussi d’avoir une idée sur lestemps de simulation consommés par chacune des modélisations.Nous avons détaillé à chaque fois, le nombre d’éléments qui composent le maillage, le nombrede calculs contenu dans le circuit électrique équivalent (entre résistance, inductances etmutuelles inductives), le temps de simulation et les différentes grandeurs des résistances etinductances dans leurs deux valeurs extrêmes en basses et hautes fréquences.TABLEAU I-1 - SYNTHESE DES SIMULATIONS DES CABLES CIRCULAIRESCIRCULAIRE 1 CIRCULAIRE 2 CIRCULAIRE 3 CIRCULAIRE OPTDétails des simulationsNombre d’éléments 36 96 72 173Nombres de calculs 2 628 18 528 10 440 60 031Temps de simulation 17’’ 2’30’’ 1’23’’ 11’35’’RésultatsRésistance(mΩ)Inductance(µH)BF 5.66 5.66 5.78 5.14HF 28.88 37.84 39.57 -BF 0.376 0.376 0.377 0.370HF 0.332 0.328 0.327 0.320A noter que pour la valeur de la résistance HF de la modélisation optimisée, nous n’avons paspris en compte les résultats obtenus compte tenu des divergences rencontrées.30

Chapitre ILe TABLEAU I-2 ci-dessous détaille des simulations relatives à la modélisation Circulaire 2, oùnous avons un cas de référence (R=1 mm, H=3 mm, L=20 cm) ainsi que les trois variationspossibles des dimensions (longueur, hauteur et rayon), nous montrons les variations desparties résistives ou inductives sans nous attarder sur les détails, nous mettons juste unsymbole pour signaler l’augmentation (forte ou pas) par rapport à la valeur initiale :TABLEAU I-2 - VARIATIONS DES DIMENSIONS (SIMULATION CIRCULAIRE 2)R (mm) H (mm) L (cm) R BF R HF L BF L HF1 3 20 2.264 15.060 0.149 0.130Augmentation de la longueur= = 50⇑⇑ ⇑⇑ ⇑⇑ ⇑⇑Augmentation de la hauteur= 10 == ⇓ ⇑ ⇑Augmentation du rayon3 = =⇓⇓ ⇓⇓ ⇓ ⇓Ce tableau nous informe que les variations des parties résistives et inductives sontproportionnelles à celle de la longueur des câbles et inversement par rapport au rayon.L’augmentation de la hauteur entre les deux câbles, fait en sorte de baisser les interactionsentre ces derniers, et du coup le comportement de l’impédance change sensiblement (surtoutla partie inductive) ceci s’explique par le fait que la boucle crée par les deux câbles s’agrandit.La FIGURE I-22 nous montre l’influence de la hauteur sur la distribution des courants (l’exemplepris est relatif à la modélisation circulaire 2). Nous constatons que plus la hauteur est grandeet plus les courants se concentrent en groupes, comme le montre la FIGURE I-22. L’effet deproximité est amoindri à ces hauteurs là, et le courant suit surtout l’effet de peau, et donc iln’y aura pas trop de différence entre le comportement de deux éléments adjacents de mêmetaille. Les différences se ressentent par groupe par rapport à leur alignement global.0.080.060.070.050.06C ourant (A )0.050.040.03C o u ran t (A )0.040.030.020.020.010.01010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)(A) Hauteur : 3 mm010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)(B) Hauteur : 30 cmFigure I-22 - Influences de la variation de la hauteur sur les distributions du courantCe qui serait intéressant de voir aussi, c’est l’évolution des rapports entre les composantes del’impédance en BF et en HF en fonction des variations des dimensions. On en convient qu’uneaugmentation de la longueur n’a pas de conséquence sur les rapports BF/HF. En revanche, cerapport varie proportionnellement avec l’accroissement de la hauteur et inversement avec lerayon. Les progressions sont synthétisées dans les figures ci-dessous présentées.31

Chapitre IRésistanceInductanceRésistanceInductance101,5101,791,391,581,181,37651 2 3 5 10 20(a) Variation de la Hauteur (mm)0,90,70,57651 2 3 4 5 10(b) Variation du Rayon (mm)1,10,90,7Figure I-23 - Influences des dimensions sur les rapports d’impédance HF/BFNous avons rencontré les mêmes influences des dimensions lors de tests similaires effectuésavec les autres modélisations circulaires, ce qui confirme la cohérence des réponsesfréquentielles des différents circuits simulés.3. SYNTHESE DE L’ETUDE DES FILS CIRCULAIRESAprès les différentes simulations effectuées concernant les câbles circulaires, nous pouvonsémettre les conclusions suivantes :+ La modélisation se rapproche beaucoup de la réalité vue que les modélisationsreprésentent des fils « quasi » circulaires ;+ Les influences des différents paramètres que l’on obtient suites aux variationsdimensions sont justifiées;+ La simulation présente des limites lorsqu’on accroît les dimensions des fils ;+ Le temps de calcul croît considérablement dès qu’on augmente le niveau de maillage ;+ L’efficacité de cette méthode de caractérisation des câbles circulaires ne dépend passeulement sur la validité des résultats obtenus, elle dépend aussi du temps deconception et de simulation.Or, le fait que cette méthode d’analyse devient de plus en plus coûteuse en temps de calcul(en plus des complications d’analyse du simulateur) nous pousse à la remplacer par uneanalyse équivalente qui devrait être moins encombrante, plus rapide et sans limitesd’utilisation. La nouvelle méthode doit donc nous permettre de gagner (sensiblement) entemps de calcul et de respecter la gamme de précision des résultats. Aussi, nous devonstrouver le moyen de permuter d’une analyse à une autre.4. LA MODELISATION CARREELa modélisation de substitution choisie est la modélisation de câbles à base d’un seul élémentcarré. Ce choix est le plus adapté à la méthode PEEC, un seul pavé représentera donc le câbleen question. La base de la transformation (circulaire en carré) sera de faire correspondre lasection des câbles, c’est ce qui va nous donner le dimensionnement des fils carrés.32

Chapitre IDans ce qui suit, nous prendrons pour référence circulaire le modèle CIRCULAIRE 2 pour lesraisons invoquées auparavant. Le choix de la représentation carrée est motivé par sa simplicitéet sa vitesse d’exécution (un seul élément par câble au lieu de 96 par exemple pour lamodélisation CIRCULAIRE 2), nous repousserons ainsi les limites de simulation et réduiront aumaximum le temps de calcul. Le schéma de transformation est représenté dans la FIGURE I-24.Figure I-24 - La transformation du câble circulaire en câble carréConcrètement, la relation de passage entre la modélisation circulaire et la modélisation carréese base sur une équivalence des sections des deux câbles, c'est-à-dire que l’on calcule lasection du câble circulaire pour en tirer les dimensions carrées de son équivalent.Ainsi, nous retrouvons le rapport entre les deux modélisations. Il reste alors à faire dessimulations pour valider la seconde représentation.Pour cela, nous allons, d’une part, simuler les mêmes variations des dimensions à ce dispositif(de fils carrés) avec le montage du circuit de FIGURE I-6 et nous comparerons les résultats avecceux de la modélisation circulaire correspondante. D’autre part, nous analyserons les résultatsobtenus pour les impédances (partie résistive et inductive) en basse et en haute fréquences.Après les simulations de différents cas de figure, nous pouvons dire que pour la partierésistive, nous retrouvons, en basses fréquences, les mêmes valeurs des résistances obtenuespar les fils circulaires, ceci s’explique simplement par le fait de faire correspondancedirectement les sections des deux câbles.En HF, il nous sera très difficile, voire impossible, de retrouver de bons résultats sachant que laprécision de ceux-ci dépend totalement du maillage, donc avec un seul pavé par câble, il yaura forcément une déficience. Il est impossible de faire apparaître la variation de la résistancesans devoir décomposer l’élément étudié. Nous retrouverons cette idée dans nos prochainstests de câblage en présence du plan de masse. L’effet de peau étant le facteur principalementresponsable de la variation de la résistance.En ce qui concerne la partie inductive, nous arrivons à retrouver les valeurs des inductances BFet HF des câbles circulaires à partir des fils en carrés. Ce calcul ne se fait pas de manièredirecte comme telle a été le cas pour les résistances BF, mais passe par l’utilisationd’approches mathématiques, que nous appelons pour ce qui suit les facteurs correcteurs(carré-circulaire). Nous donnons un exemple sur ces facteurs ci-dessous.33

Chapitre I5. LES FACTEURS CORRECTEURSLa démarche globale pour la recherche de ces facteurs mathématique fût la même pour tousles facteurs ici développés. Pour celui de la partie inductive en BF, nous donnons dansl’équation (I-1) sa formulation mathématique et son obtention est expliquée ci-après.Ce facteur permet de retrouver la valeur de la partie inductive issue de la simulation du câblecirculaire à partir du résultat obtenu avec le fil carré. Cette formulation mathématique est enfonction du rayon du fil (R) et de la distance (la hauteur) entre les fils (H).⎛ R ⎞f(R, H) = Log ⎜ ⎟2 + 10(I-1)10⎝ H ⎠Ce facteur s’utilise en le multipliant par la valeur de l’inductance BF du fil carré pour retrouvercelle du cas circulaire correspondant. Cette formulation a été retrouvée suite audéveloppement de l’expression du rapport entre les deux entités dans un large domaine devariation du rayon et de la hauteur, et a été comparé à celui obtenu par la formulationmathématique ci-dessus pour validation.La démarche était de faire varier les deux paramètres influents (la hauteur et le rayon),ensuite réaliser à partir de ces résultats une courbe de variation en 3 dimensions, puis il nousfallait analyser l’influence de chaque paramètre pour en déduire la loi mathématique qui larégirait pour finalement écrire une expression mathématique approchée.La FIGURE I-25 montre, sous deux angles de vue différents, la superposition du facteurmathématique (courbe en couleurs) et du comportement du rapport de l’inductance BF desdeux simulations (schématisé par la courbe en gris). Ceci représente le meilleur compromis enrésultats que nous ayons retrouvé, le taux d’erreur maximale ne dépasse pas 2 ou 3 % ce quiest du domaine du tolérable (TABLEAU I-3).Facteur1.251.21.151.11.05Facteur1.251.21.151.110.020.015H (m)0.010.005000.0020.0040.0080.006R (m)0.011.0510.010.0080.006R (m)0.0040.00200.0200.0050.01H (m)0.015Figure I-25 – Validation du facteur de correction de la partie inductive en BFLe tableau suivant dresse en pourcentages les erreurs commises après correction desinductances BF suite à l’application du facteur su-détaillé. Ce calcul d’erreur est fait pour lesvaleurs corrigées des inductances des câbles carrés par rapport à celles des câbles circulaires.34

Chapitre ITABLEAU I-3 – TAUX D’ERREURS POUR LA CORRECTION DES VALEURS DES INDUCTANCES BFR = 1 mm R = 2 mm R = 3 mm R = 4 mm R = 5 mm R = 10 mmH = 01 mm 0,86 % 1,14 % 0,69 % 0,14 % 0,34 % 3,78 %H = 02 mm 0,20 % 0,99 % 0,95 % 1,46 % 1,11 % 0,49 %H = 03 mm 0,45 % 0,24 % 0,72 % 0,87 % 1,00 % 0,04 %H = 05 mm 1,07 % 0,59 % 0,16 % 0,35 % 0,56 % 0,92 %H = 10 mm 1,25 % 1,24 % 1,06 % 0,72 % 0,47 % 0,33 %H = 20 mm 1,10 % 1,19 % 1,34 % 1,11 % 1,26 % 0,74 %Nous remarquons que dans ce tableau les taux d’erreurs sont tolérables, ils ne dépassent les2% que pour des cas extrêmes : un rayon trop important par rapport à la hauteur des câbles.Ce constat est le même dans le calcul des inductances en HF.Le facteur correcteur des inductances HF, qui est employé pour retrouver la valeurcorrespondante au fil circulaire, est utilisé en divisant la valeur du résultat de la simulation encarré par ce facteur. Le mode de recherche est le même que pour le précédent, où l’approchemathématique est comparée à la variation réelle.Sa formulation est la suivante :⎛ R ⎞g(R, H) = Log ⎜ ⎟4.9 + 10(I-2)10⎝ H ⎠Nous montrerons les taux d’erreurs maximums pour les différents facteurs dans une synthèseà la fin de cette partie.A. INDUCTANCES PROPRES ET INDUCTANCES MUTUELLESLe travail consiste à établir des règles d’approximation et de correction pour le calcul desinductances : propres et mutuelles entre deux fils. Pour cela, le circuit simulé (FIGURE I-26) estfait de telle sorte que le calcul d’impédance de chaque fil nous donne pour l’un l’inductancepropre du fil et pour l’autre l’inductance (pseudo) mutuelle, c'est-à-dire l’effet subi par ce fil àpartir du couplage inductif émanant du premier fil.L PropreAL MutuelleFigure I-26 - Circuit de calcul des inductances propres et mutuellesNous simulons le circuit précédent, pour des câbles circulaires puis carrées, en faisant varierde la même façon les dimensions des fils : surtout pour la hauteur et les rayons, la longueurpour sa part est fixée à 30cm.Le passage de la modélisation circulaire à celle carrée se fait aussi à base de facteurs decorrection. Pour les inductances propres, le calcul se fait séparément pour les hautes et lesbasses fréquences :35

Chapitre IooBF : les valeurs correspondent quasi directement, mais seulement dans un souci deprécision et de perfectionnement, nous devons multiplier la valeur de l’inductance du filcarré par un coefficient correcteur (constant et égal à 1.0035) pour n’avoir aucuneerreur entre les deux modélisations.HF : en divisant la valeur de l’inductance du fil carré par le coefficient correcteur selonla formule d’approximation HF suivante :⎛ R ⎞k(R, H) = Log ⎜⎟1.534 + 10(I-3)10⎝ H ⎠Le calcul de l’approximation de l’inductance mutuelle, est aussi obtenu selon une formulationmathématique qui donne des résultats satisfaisants (la formulation est toujours faite pour lesHF et les BF séparément). Les formules sont respectivement pour les BF et HF comme suit :⎛ R ⎞f(R, H) = Log ⎜⎟100.61 + 10⎝ H ⎠(I-4)⎛ 1 R ⎞g(R, H) = Log ⎜ ⎟10+ 10⎝ 2 H ⎠(I-5)Les erreurs après correction sont admissibles et ne dépassent pas les 2 ou 3% avec un gain detemps considérable. Nous montrerons ces taux d’erreur ci-après.6. BILAN DES CABLES CIRCULAIRES ET CARRESNous avons effectué, par deux manières différentes, une analyse et une caractérisationfréquentielle de câbles parallèles suivant des variations de leurs dimensions. La premièreméthode fut la modélisation circulaire, celle-ci a donné des résultats très satisfaisants pour lacaractérisation fréquentielle d’impédance, c’est aussi une méthode complète d’analyse de ladistribution des courants sur les branches des câbles. Cependant, sa consommation en tempsde calcul est son plus grand défaut.Pour y remédier nous avions introduit une méthode analogue se basant sur des câbles deforme carrée. Cette technique, conjuguée à des facteurs mathématiques de corrections nous apermis de retrouver les résultats des simulations des câbles circulaires (structures complexes)à partir des simulations des câbles carrés (structures simples).Cette procédure correspond à notre idée générale de développement de l’outil de modélisation,avec une moindre consommation en temps et en ressources mémoire, en nous appuyant surune simulation globale assistée par divers moyens d’amélioration.Les méthodes de correction conçues sont approuvées avec des taux d’erreurs très faibles quisont détaillés, pour leurs valeurs maximales, dans ce qui suit : Partie Résistive en BF : 0% Partie Inductive en BF : 4% Partie Inductive en HF : 6% Inductance Propre en BF : 0% Inductance Propre en HF : 4% Inductance Mutuelle en BF : 2% Inductance Mutuelle en HF : 2%36

Chapitre IRappelons que ces erreurs sont relevées pour des cas de simulations extrêmes : par exemplepour des rayons très grands pour des distances entre fils très réduites.L’étude du câblage constitue une partie essentielle de notre étude, rappelons que la finalité dece travail est de traiter des problématiques de câblage automobile en présence d’un ouplusieurs plans de masse. Dans ce qui suit nous introduisons le traitement réservé à ladiscrétisation des plans de masse, la façon dont ils sont manipulés et leur influence sur lasimulation globale, que ce soit en temps de calculs ou sur l’efficacité des résultats.La présence d’un plan de masse contribue à créer d’autres interactions pour le câblage, leurprise en compte est indispensable pour une étude réelle du montage globale, ce quiconstituera les cas d’étude usuels de l’outil de simulation en question.IV.METHODE DE DISCRETISATION D’UN PLAN DE MASSELes plans de masse sont des structures qui doivent être maillées séparément sur leurs deux,voire trois, dimensions [5][15][27][39]. En effet, chaque discrétisation décrira lecomportement des courants sur un des axes de ce plan : en l’occurrence l’axe de la longueuret celui de la largeur, le troisième axe est l’axe de la hauteur qui n’est généralement pas tropsollicité. La discrétisation sur ce troisième axe devient indispensable lorsque l’épaisseur du plande masse en question devient importante et que la gamme de fréquence étudiée faitapparaître l’effet de peau de façon majeure, et donc il nous serait indispensable de mettre enévidence ces divisions en couches du plan de masse.(a) Discrétisation selon l’axe de la largeur(b) Discrétisation selon l’axe de la longueurFigure I-27 - Discrétisation d'un Plan de masseSur chaque axe, le plan de masse est décomposé en cellules orthogonales (de préférence deforme carrée pour faciliter le montage) comme le montre la FIGURE I-27. Le découpage encellules nous est imposé par les fréquences d’études, la taille de la cellule unitaire ne doit pasdépasser le dixième de la longueur d’onde et pour plus de précisions le vingtième de lalongueur d’onde. [28][29] [40][42]L’idée principale de la discrétisation est de faire correspondre, entre les deux (ou les trois)discrétisations, les mêmes nœuds électriques. Ceci nous aidera, à la simulation, d’avoir lecomportement des courants sur les deux axes et donc sur tout le plan de masse.(A)(B)Figure I-28 - Illustration de la discrétisation du plan de masse selon les deux axes37

Chapitre INous illustrons dans ce qui suit la discrétisation d’un coin tiré d’un plan de masse, le principede discrétisation y est exposé. La FIGURE I-28 présente les décompositions du plan de massesur les deux axes puis nous montrons dans la FIGURE I-29 la reconstruction de ce plan :Les deux éléments représentés entre chaque paire de nœuds électriques représentent lacontribution résistive et la contribution inductive (inductance propre et inductance mutuelle) dechaque élément partiel. Dans leurs premières versions, nos calculs ne s’intéressaient pas à lacontribution capacitive, nous y reviendrons dans le prochain chapitre avec plus de détails.Nous aurons ainsi le comportement des courants sur les deux dimensions grâce à la formeprésentée dans la FIGURE I-29 :Figure I-29 – Superposition des deux discrétisationsSur ces principes de discrétisation, nous avons conçu une fonction automatique (sur Matlab ® )pour mailler un plan de masse suivant ses axes principaux et si besoin est sur l’épaisseuraussi. Parmi les paramètres de commande de cette fonction, on y trouve principalement :o Les coordonnées et les dimensions du plan de masse ;o les conditions de discrétisation : la taille maximale d’une cellule, le nombre de cellulesminimales admissibles dans la discrétisation, le nombre de couches sur l’épaisseur…etc.Cette fonction nous informera, après son exécution, sur les nœuds électriques aux bords duplan de masse. Ceci nous sera particulièrement utile pour le traitement de plusieurs plans.Nous montrerons un exemple dans la partie applicative.L’homogénéité ou non de la discrétisation (dans le sens des tailles des cellules) seraconditionnée par la complexité de la forme des structures à simuler : on maillera plus finementdes endroits où les interactions des phénomènes électromagnétiques seraient importantes.Dans le cas d’études où les effets de peau et de proximité nous sont déterminants, on ne peutpas négliger la contribution de la composante du courant dans le sens de l’épaisseur et on doitdonc placer des nœuds dans cette direction.V. SYNTHESE DE LA METHODE PEEC EXISTANTELes études à venir, comme cela a été cité en introduction, sont destinées à constituer les basesd’un moyen de simulation et d’analyse, basé essentiellement sur la méthode PEEC, et qui seradestinée aux concepteurs ou aux fournisseurs de l’industrie automobile.Cet outil traitera en particulier des structures représentants des circuits de câblage dans ledomaine de l’industrie automobile (structures complexes de grandes dimensions) mais peutaussi servir dans d’autres domaines où la contribution du câblage est importante.38

Chapitre INotre outil traitera les problématiques de câblage d’un point de vue CEM dans une grandebande fréquentielle, il doit être rapide d’exécution et garantir de bons résultats. Les bases denos calculs ont été mises en place dans le cadre de [5]. Dans ses études, il ne prenait pas encompte les calculs capacitifs issus des formulations originels de la méthode PEEC [4][22][23](les calculs de RUEHLI qui se révèlent être très complexes). En effet, son domaine d’étudevisait une gamme de fréquence assez faible et donc ces interactions capacitives n’avaient paslieu d’être pris en compte dans le code.Dans ce qui suit, nous verrons ce qu’ont été les premières simulations de structures de test.Celles-ci regroupaient dans une même structure un câble et un plan de masse en dessous.Nous présenterons le cas le plus simple pour mettre en évidence la méthode utilisée et voir sielle répond à nos attentes, faire une synthèse sur son utilisation et voir les développementsnécessaires à ajouter pour satisfaire notre objectif de thèse.VI.TEST APPLICATIFLe dispositif de test présenté ici comprend un câble droit au dessus d’un plan de masse. Dansla simulation (et la mesure) : le fil, en LAITON, est mis au dessus d’un plan de masse en cuivreet est terminé par une charge (de 50 Ω). Les dimensions de la structure ainsi constituée sontdétaillées dans la FIGURE I-30. A l’entrée du fil, nous injectons un petit signal qui balaye unelarge gamme de fréquence (de 30 kHz à 1 GHz), et à l’aide de l’analyseur de réseau nousfaisons une mesure d’impédance. La ligne n’étant pas adaptée nous nous attendons à voir desrésonances dans les hautes fréquences.0.5 mm0.5 m0.2 m5 mm50 Ω1 mFigure I-30 - Description du dispositif de testNous simulons cette structure avec la méthode PEEC, et nous calculons l’impédance du câble,la discrétisation se fait à base de cellules de taille unitaire égale à 0.1m, le plan de masse seradonc discrétisé en 55 cellules selon la longueur et 65 selon la largeur. Le fil est, quant à lui,découpé en dix fractions sur sa longueur. Pour le moment, la décomposition du plan de massesur son épaisseur n’est pas nécessaire.Figure I-31 - Modélisation avec la méthode PEEC39

Chapitre IDans la FIGURE I-31, nous illustrons le résultat de la discrétisation avec la méthode PEEC, etpar la suite nous confronterons la simulation à la mesure.Après la description géométrique, nous transformons cette structure en éléments résistifs etinductifs par les lois de transformation analytique de la méthode PEEC, mis en place parRUEHLI [4][22], à ce fichier circuit nous ajoutons les éléments extérieurs du dispositif (lasource d’alimentation en tension et la résistance de charge). Ensuite, nous définissons lesparamètres de simulation (la plage de fréquence et le pas de simulation). La dernière étapeconsiste en la simulation électrique avec (le simulateur) SPICE ® . [6][7]Le résultat de cette simulation est illustré dans la FIGURE I-32, au même titre que les résultatsde la mesure. Nous comparons dans cette courbe la valeur en fréquence du module del’impédance d’entrée du câble.La mesure est effectuée avec un analyseur de réseaux (HEWLETT PACKARD 8753E : 30kHz -6GHz). Nous mesurons avec cet appareil le paramètre de réflexion à l’entrée du câble S 11 quenous transformons en impédance d’entrée selon la relation de l’équation ci-dessous :Zin1+S11= Z0*(I-6)1−S11De même, nous calculons aussi l’impédance d’entrée de notre câble dans la simulation,puisque cette dernière nous informe sur les tensions et les courants à chaque nœud. Lacomparaison, jusqu’à une fréquence de l’ordre de 50 MHz, est présentée ci-dessous.Nous remarquons que les deux courbes ont la même allure et les différences ne sont pasimportantes, ce qui a été vérifié tout au long de [5] pour des applications dont la gamme defréquence ne dépasse pas quelques dizaines de mégahertz.350300Module de l'Impédance du câbleMesureSimulation250Amplitude (ohm)20015010050010 4 10 5 10 6 10 7Fréquence (Hz)Figure I-32 - Comparaison entre la mesure et la simulation jusqu’à 50 MHz40

Chapitre IMais dans l’optique de nos futures applications, nous savons pertinemment qu’à desfréquences de l’ordre du gigahertz (et même avant), le comportement sera différent, et ducoup la transformation des structures en éléments inductifs et résistifs ne sera pas suffisante,car à ces fréquences là, l’effet capacitif devient important et nous ne pouvons plus alors nousen passer pour réussir nos simulations, chose qui est faite dans l’exemple présenté.500045004000Module de l'Impédance du câbleMesureSimulation3500Amplitude (ohm)30002500200015001000500010 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure I-33 - Comparaison entre la mesure et la simulation sur une large gamme de fréquencesLa différence entre la simulation et la mesure est alors flagrante, comme nous le prouve laFIGURE I-33. Pour faire face à cette dissemblance, nous allons, par la suite, incorporer les effetsde couplage capacitifs, par un moyen autre que celui proposé dans les formulations originalesde RUEHLI pour des raisons que l’on évoquera ultérieurement. [43][44]VII.SYNTHESE DE LA METHODE DE SIMULATION EXISTANTENous énumérons ci-dessous les différents points forts et points faibles de la méthode desimulation utilisée jusqu’ici et ce par rapport aux attentes relatives à notre travail :• La facilité d’utilisation : le fait que cette méthode soit basée sur le logiciel d’analysenumérique Matlab ® constitue un atout considérable qui facilite son utilisation ;• Une prise en main rapide : bien que les calculs analytiques soient complexes, nousavons simplifié au maximum l’utilisation finale de notre méthode de simulation ;• La légèreté du code ;• Le détail des résultats : le simulateur SPICE nous offre un fichier de sortie détailléqui nous permet de connaitre en détails les courants et les tensions en chaque pointde notre structure ;• La rapidité d’exécution : pour des structures simples et maillées à un niveauraisonnable, le temps de calculs et de simulations sont acceptables ;41

Chapitre ICeci étant, cette méthode présente, un tant soit peu, des insatisfactions vis-à-vis de nosattentes pour la suite de nos travaux, nous en citons principalement :• La non prise en compte des couplages capacitifs : avec la complexité du codecomplet de la méthode PEEC, et pour des applications ne dépassant pas la dizainede mégahertz, l’intégration des calculs de couplages capacitifs dans la méthodeutilisée jusqu’ici n’était pas nécessaire. Cependant, pour nos travaux futurs, il nousest impératif d’en prendre compte pour espérer avoir des résultats satisfaisants.• La méthode n’admet que des éléments orthogonaux : ceci est un facteurdéfavorable mais qui n’est pas insurmontable. Les structures ayant des formescirculaires (ou non orthogonales) seront modélisées par une association d’élémentsorthogonaux.• La montée en fréquence demande un affinement du maillage : ce qui entrainera àson tour une augmentation du temps de simulation considérable.Dans le prochain chapitre nous présenterons les nouveautés ajoutées à la méthode existantedans le but d’élargir son domaine d’utilisation et dans le but de l’optimiser pour en faire unoutil fiable et adapté. Nous nous pencherons sur d’autres exemples applicatifs qui présententune complexité évolutive.42

CHAPITRE II43

Chapitre III. OPTIMISATION DE LA METHODE PEEC EXISTANTEComme précédemment cité, nous rappelons ici ce que nous attendons de notre outil demodélisation destiné essentiellement à l’étude du câblage automobile, il se doit de :oooocouvrir une large bande de fréquence : allant des fréquences dites continues jusqu’auxhyperfréquences : l’objectif étant d’atteindre au moins le gigahertz,avoir une bonne précision et cohérence des résultats,consommer un temps de calcul et de simulation raisonnable : le plus faible possible,être simple d’utilisation.Pour atteindre ces perspectives, nous nous devons d’inclure, dans notre processus desimulation, les moyens qui assurent la montée en fréquence, des méthodes de réduction poursimplifier les dispositifs à simuler tout en assurant des résultats précis en un moindre temps.L’élargissement de la bande de fréquence par rapport à celle couverte dans [5] ne peuts’effectuer sans la prise en compte des contributions capacitives dans le processus desimulation. Les effets capacitifs sont déterminants dans les hautes fréquences, et leurfréquence d’apparition dépendra des dimensions des dispositifs. L’exemple explicité dans lechapitre précédent plaide dans ce sens et fait apparaitre ce manque dans les résultats. Pour unmeilleur rendement, on se doit impérativement d’y remédier. A noter également que laréduction des temps de simulation et de calcul nous oblige à être très sélectif dans le choix duou des moyens que nous utiliserons pour inclure les effets de couplage capacitif. [23][43][44]D’autre part, et vu les dispositifs d’application destinés à l’utilisation de cet outil demodélisation (dispositifs extraits de l’industrie automobile), nous nous devons de trouver desmoyens de simplification des modèles.La méthode de restriction ainsi empruntée servira à prendre en compte, lors des simulations,une forme équivalente au dispositif réel, qui assurera les mêmes réponses que le dispositifréelle. De cette façon nous réduisons les tailles prises en comptes dans le maillage et du coupnous allégerons les simulations, surtout connaissant les larges dimensions des dispositifs etaussi par rapport aux fréquences visées.Dans le présent chapitre et dans ce qui suit, nous allons présenter explicitement les moyensutilisés pour satisfaire les attentes précédemment citées.II.LA MONTEE EN FREQUENCEDans nos cas d’étude, la possibilité de monter en fréquence est directement dépendante de laprise en compte des phénomènes existants à ces fréquences là, et ce qui nous manquait plusparticulièrement est l’incorporation des effets capacitifs dans la simulation. Sans cela, nosrésultats ne seront plus valables au-delà de quelques mégahertz.Pour ce fait, nous nous intéressons tout d’abord aux calculs initiaux de la méthode PEEC lorsde l’élaboration de la méthode PEEC [22][23][26]. Pour globaliser sa méthode de calcul, etaprès avoir œuvré dans le domaine du calcul inductif pour les circuits intégrés, RUEHLI s’estintéressé au calcul capacitif sur le modèle de son précédent calcul inductif. Noussynthétiserons ce calcul ci-dessous :45

Chapitre II1. RAPPELS THEORIQUESComme toutes les méthodes numériques en électromagnétisme, la méthode PEEC est aussi unprocédé de résolution analytique des équations de MAXWELL. L’originalité est que la méthodePEEC est une méthode de résolution numérique qui découle d’un circuit électrique équivalent.Les équations qui régissent la méthode PEEC émanent d’un développement de l’équationintégrale du champ électrique (EFIE : Electric Field Integral Equation) et la forme diélectriquetrouve son origine dans l’expression du MPIE: Mixed Potential Integral Equation (appeléeégalement CFIE : Combined Field Integral Equation).[22]L’équation EFIE [22] permet d’établir la relation qui donne l’équation d’un champ électrique E rgénéré par une densité de courant électrique J r . Le champ électrique dû au rayonnement d’uncourant dans l’espace libre est défini dans l’équation (II-1) :rE ir r r rJ (r,t) ∂A(r,t)r= + + ∇φ(r,t)σ ∂t(II-1)OùiE rest le champ électrique incident, J r est la densité de courant, A r est le potentiel vecteurmagnétique et φ le potentiel scalaire électrique.En se basant sur les définitions des potentiels électromagnétiques, nous faisons apparaître lesdensités de courant et de charge, et en introduisant les fonctions de GREEN (équation (II-2))nous pouvons écrire les potentiels A ret φ de l’équation précédente sous la formesuivante (équation (II-3)) :δG(x,t,x',t')=( t - t' - x − x'/ c)4πx − x'rrr ri r J (r, t) ∂J(′,t′) r r 1 r r rE (, t)= + µ ∫ G(,′)dr′+ ∇ G′ q′ t′dv′∂t∫ ( , ) ( , )σεv′0 v′(II-2)(II-3)Après plusieurs étapes et transformations, cette dernière équation donne naissance aux troistermes qui désignent les différentes contributions, respectivement résistive, inductive etcapacitive dans l’équation (II-4) et qui constitueront le circuit équivalent dans la discrétisation.⎡ 1⎢⎣ai⎤⎡⎡⎤⎤⎢Nµ ∂ I ( t ) 1⎢∂⎥⎥ 1 Q ( t ) 1⎥0 (II-4)⎢4πa ∂ivim=⎢∂snait'x - x'1 4πε amaix'x - x' ⎥⎥⎢⎣⎦ ⎢⎣⎥⎦vsn nm m∫ E(x,t) dv ⎥ + ∑ ⎢ ∫ ∫ dv'dv + ∑ ⎢ ∫ [ ∫ ds'] dv⎥=vi v vn=1⎦NLa discrétisation nous révèle ces différentes contributions sous la forme suivante [32][42] :oL’inductance partielle (propre et mutuelle) qui représente le couplage du champmagnétique dans le circuit équivalent et qui est définie comme suit :LP αβµ 1 1=4πa a∫ ∫ r r−α β vαvβαβdvαdvβ(II-5)46

Chapitre IIoLes coefficients de potentiel de chaque nœud et les coefficients de potentiel de couplageentre chaque nœud, ils représentent les couplages du champ électrique dans le circuitéquivalent, ils sont pour leur part définis comme suit :Pi j= 1 1 1S S 4∫ ∫ rπε−rij0 SiS j i jdSidSj(II-6)o Le terme qui représente la résistance de chaque élément partiel qui se définie par :lγRγ= (II-7)aγσ λDans les trois dernières équations : ɑ est la section de chaque élément de volume, cettesection est normale à la direction du courant γ et ɭ représente la longueur de cet élémentpartiel dans cette direction. Enfin, v représente le volume de la cellule et S sa surface.2. CALCUL CAPACITIF DANS LA METHODE PEECLa mise en œuvre de ces trois contributions dans le circuit équivalent ne pose pas de grosproblèmes [4][22][23] sauf dans le cas de la contribution capacitive.Cette dernière se base sur des calculs complexes et surtout difficiles à schématiser dans unschéma électrique où le calcul s’effectue à base de cellules surfaciques. Le développement deces calculs donne naissance à des pseudo-capacités qui sont difficilement traduisibles en circuitéquivalent.En effet, après quelques simplifications [23], on obtient deux différents modèles que nousprésentons ci-dessous :• un montage associant en série une pseudo-capacité et un générateur de tension pilotéen tension (FIGURE II-1), cette source contrôlée est pilotée par toutes les tensions desautres éléments du maillage ;• un montage comportant en parallèle une pseudo-capacité et un générateur de courantpiloté en courant. (FIGURE II-1). Le générateur est également contrôlé par tous leséléments du maillage.CSourcecontrôléeCSourcecontrôlée(A) Modèle de tension(B) Modèle de courantFigure II-1 – Modélisation des pseudo-capacités47

Chapitre IILe fait que ces deux modèles font appel à des sources contrôlées (en courant ou en tension)représente le plus grand désavantage dans le choix de la prise en compte des couplagescapacitifs de cette manière. Ce critère nous a découragé sur l’éventuelle utilisation de cemodèle, pourtant prêt à l’utilisation, et nous a contraint de nous orienter vers de nouvellessolutions.D’un autre côté, pour effectuer le calcul de couplage capacitif, selon les formules originelles dela méthode PEEC, on se doit de faire une nouvelle discrétisation, non sur la base d’élémentsvolumiques comme le nécessite le calcul des éléments résistifs et inductifs, mais unediscrétisation surfacique à base de cellules de surfaces. C'est-à-dire de créer des cellules desurfaces uniquement utilisables au calcul capacitif.Ces cellules de surfaces sont définies dans deux cas distincts :oole dispositif est constitué d’un même matériau (homogène), les cellules se définissentuniquement sur les surfaces externes et les calculs se feront par rapport à ces surfaces.les matériaux sont différents, on se doit de les définir aussi à l’interface de deuxmatériaux.A titre d’exemple, dans le cas d’un câble au dessus d’un plan de masse, les surfaces à définirseraient les surfaces externes du plan de masse (en suivant l’exemple de la discrétisationvolumique) ainsi que les surfaces externes du câble.On effectue le calcul du couplage entre ces différentes surfaces (découpé selon les règles dudixième ou du vingtième de la longueur d’onde), de là vient la notion de source contrôlée, carles cellules dépendent les unes des autres.Contrairement au calcul inductif qui ne se fait que sur une même direction du courant, le calculcapacitif se fait aussi bien pour des cellules parallèles que pour les cellules perpendiculaires[23] comme le montre la FIGURE II-2, ce qui entrainera forcément un nombre de calculs trèsimportant pour des structures de grande taille. Toutefois, le plus délicat sera d’en extraire uncircuit électrique équivalent plus ou moins simple.cabcab(A) Cas de surfaces parallèles(B) Cas de surfaces perpendiculairesFigure II-2 – Les éléments du calcul capacitif par cellules de surfacesEn effet, la notion de source contrôlée fait interagir toutes les cellules, et quand le nombre decelles-ci est important, il deviendra très difficile de mettre en œuvre ce type de montage,ajouté à cela les éventuelles limitations liées aux logiciels de simulation électrique (SPICE dansnotre cas).48

Chapitre IISi nous nous projetons sur un cas relatif à l’industrie automobile, sachant que les cellules desurfaces servent à séparer les différents matériaux existants dans la structure, y compris lessurfaces extérieures de chaque structure qui se trouverait à l’air libre. Le nombre de cellulesde surfaces sera très important, et ceci engendrera un nombre de calcul proportionnel etcoutera cher en temps de calcul ainsi qu’en capacités mémoires.3. LA METHODE CHOISIEPour palier cette surcharge présumée des calculs qui se répercutera du coup sur les temps desimulations, nous nous devons d’être rigoureux dans le choix de la méthode d’incorporationdes calculs de couplages capacitifs.Après avoir mené des investigations dans ce sens, notre choix s’est fait sur l’incorporation decapacités, sous forme discrète, qui représentent le couplage entre un ou plusieurs câbles et unou plusieurs plans de masse, comme le montre la FIGURE II-3.Cette décision est motivée par le fait que le choix est dicté par plusieurs paramètres à la fois :par le type d’applications auxquelles sera destiné notre outil de simulation, par le respect desconditions de notre cahier de charge, mais aussi par le respect des caractéristiques propres dela méthode PEEC et de la méthode de résolution électrique.Les valeurs de ces capacités, ainsi que celles de plusieurs autres cas de figure du même genresont disponibles dans la littérature [45][46] avec plus ou moins de précision, nous montronsci-après l’expression analytique de la capacité de couplage entre un câble au dessus d’un plande masse :dhlFigure II-3 – Les éléments du calcul capacitif par cellules de surfaces2 π ε0εC =r−1⎛2hcosh⎜⎝ d⎞⎟⎠(II-8)Où, comme le montre la FIGURE II-3 :h : est la hauteur entre le centre du câble et le plan de masse,d : est le diamètre du câble,ε 0 et ε r : représentent respectivement la perméabilité de l’air et la perméabilité relativedu milieu séparant le câble du plan de masse.Rappelons que la capacité résultante de cette formulation est une capacité par unité delongueur, c'est-à-dire que nous devons multiplier la valeur calculée par la longueur dusegment de câble en question [47].49

Chapitre IIDans nos simulations, nous appliquerons ces formulations directement sur nos structures :bien que la géométrie de nos câbles est d’une forme orthogonale, nous considérons le rayondu câble comme étant la longueur du coté du parallélépipède. Nous savons par conséquentque nous commettons des imprécisions, mais nous estimons que l’erreur commise n’est pastrès significative ni très influente sur le comportement global de nos structures.Nous avons vérifié cela en effectuant des calculs qui prennent en compte la différence desections et les conclusions ont été en faveur d’une utilisation directe de la précédenteformulation.Cette technique nous convient parfaitement, car elle nous donnera ainsi le couplage capacitifde chaque cellule par rapport au plan de masse, et elle complétera du coup le circuitéquivalent construit par la méthode PEEC.L’expression de l’équation (II-8) est une formule générale, nous retrouvons la valeurapprochée d’un câble au dessus d’un plan de masse lorsque la hauteur et le rayon sont dumême ordre de grandeur. Cette dernière peut être généralisé pour le calcul des capacitéslinéiques d’un câble au-dessus d’un plan de masse qu’on utilisera dans nos cas d’étude par :20 rπ ε εC =⎛ 2h - a ⎞ln⎜⎟⎝ a ⎠(II-9)avec : h : hauteur par rapport à la terre, a : rayon du conducteur, ε r : permittivité relative du milieu.L’insertion de ces capacités de couplage se fait à l’étape qui précède la simulation, c’est à direaprès la discrétisation géometrique et après la transformation PEEC en circuit équivalent. Cescapacités sont incorporées dans le fichier de discription du circuit « *.cir » sur les bases de lasyntaxe du logiciel SPICE : un numéro du composant, les nœuds entre lesquelles il est relié etsa valeur.A la suite de la discrétisation du dispositif, nous relions chaque cellule du câble avec la celluledu plan de masse la plus proche. Nous nous arrangeons dans nos discrétisation à mailler avecla même taille de cellule unitaire, de façon à faire correspondre les nœuds du câble avec lesnœuds du plan de masse.La FIGURE II-4 nous montre un cas concret, où les capacités sont mises à l’extrémité de chaquesegment issu de la discrétisation du câble et le plan de masse.SFigure II-4 – Insertion des capacités de couplage50

Chapitre IINous rappelons qu’en simulation, l’utilisation se faisant avec un câble en forme carrée, nousadmettons dans l’expression analytique de l’équation (II-8) que le diamètre de la sectioncirculaire du fil est égal au coté du câble carré.Nous rappelons que dans les formules précédentes, les valeurs calculées des capacités sontdes capacités linéiques, on se doit donc de les multiplier par la longueur de la cellule avant deles insérer. On se doit également d’être très vigilant à bien respecter les numéros des nœudsadéquats de part et d’autre de ces capacités, de façon à éviter les mauvaises surprises ensimulation.Nous rappelons ci-dessus l’exemple traité dans le CHAPITRE I, le montage comportait un plan demasse parcouru par un câble par-dessus. La simulation sans couplage capacitif donnait lerésultat suivant (FIGURE I-33) en comparaison à la mesure :50004500MesureSimulation sans capacitésModule de l'Impédance du câble40003500Amplitude (ohm)30002500200015001000500010 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure II-5 - Comparaison entre la mesure et la simulation avec et sans capacitésLe comportement inductif de l’impédance du câble était prévisible, du fait de la composition decette impédance et de l’absence de la contribution capacitive. Nous allons maintenant exposerle résultat de la simulation après insertion de ces capacités (FIGURE II-6), nous comparons cerésultat aux deux déjà présentés dans la figure précédente.Bien que ces premiers résultats soient perfectibles, nous pouvons d’ores-et-déjà considérerque le moyen mis en place ici est efficace et qu’il sera capable de tenir compte des effets ducouplage capacitif sans pour autant influer sur le nombre de calculs ou le temps de simulation.Le résultat est significativement amélioré par rapport au précédent, il est de la lignée desréponses d’une ligne désadaptée et se rapproche beaucoup de la mesure.51

Chapitre II35003000Module de l'Impédance du câbleMesureSimulation sans capacitésSimulation avec capacités2500Amplitude (ohm)200015001000500010 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure II-6 - Comparaison entre la mesure et la simulation sur une large gamme de fréquencesSur la FIGURE II-7, nous confrontons les résultats de la simulation avec capacités à la mesure.Parmi nos observations, nous pouvons dire que même si les résultats ne s’accordent pasencore totalement sur les amplitudes ou sur les fréquences, ces deux courbes peuvent êtreconsidérées assez proches et que le résultat obtenu est toutefois encourageant.Pour une simulation comme celle-ci, pour espérer avoir de meilleurs résultats, nous nousdevons de respecter les règles en vigueur dans les simulations incluant les phénomènes depropagation d’ondes : à savoir une discrétisation avec un pas inférieur au dixième ou auvingtième de la longueur d’onde, nous verrons l’importance de la discrétisation dans unprochain point. Nous devons aussi intégrer dans notre conception une représentation aussifidèle que possible de tous les détails possibles figurant dans le prototype de mesure. Nousnous devons également d’utiliser le moyen le plus convenable en mesure.Nous remarquons sur la FIGURE II-7, qui représente la comparaison des deux courbes dans uneéchelle linéaire, que celles-ci s’accordent en fréquence sur les deux, voire trois, premièresrésonances avant de diverger sur les autres résonances jusqu’au gigahertz et même au delà.Cette différence est essentiellement causée par les raisons évoquées ci-dessus. De même pourla différence quasi-constante qui apparait à chaque résonance entre la mesure et la simulation.52

Chapitre II12001000MesureSimulation avec capacitésModule de l'Impédance du câbleAmplitude (ohm)800600400200010 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)(A) Echelle logarithmique12001000MesureSimulation avec capacitésModule de l'Impédance du câbleAmplitude (ohm)80060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8(B) Echelle linéaireFigure II-7 - Comparaison entre la mesure et la simulation avec capacitésDans la FIGURE II-8, on compare à nouveau la mesure à la simulation dans une échelle linéaireréduite (jusqu’à 600 MHz pour ne voir que les quatre premières résonances qui sontcomparables). En revanche, nous séparons dans cette comparaison les deux composantes del’impédance : la partie réelle dans la FIGURE II-8 et la partie imaginaire dans la FIGURE II-8.53

Chapitre IIDans ces deux courbes, on voit bien que du point de vue fréquentiel, nous pouvons dire que laconcordance est plus qu’appréciable mais que la comparaison en amplitude reste à améliorer.1000900800Partie réelle de l'Impédance800600Partie imaginaire de l'ImpédanceSimulationMesureAmplitude (ohm)70060050040030020010000 1 2 3 4 5 6Fréquence (Hz)x 10 8(A) Partie réelleAmplitude (ohm)4002000-200-400-6000 1 2 3 4 5 6Fréquence (Hz)x 10 8(B) Partie imaginaireFigure II-8 - Comparaison entre les parties réelles et imaginairesCes différences peuvent aussi être liées (en dehors des raisons évoquées en haut) à la valeurdes capacités linéiques choisie : effectivement, la non-conformité de la formule analytique parrapport à la simulation, de part la différence de forme des câbles, peut se révéler importanteet pourrait influencer négativement sur les résultats. La disposition des capacités dans lecircuit équivalent peut se révéler également non négligeable, cependant nous avons réaliséplusieurs distributions de ces capacités sur les portions du câble et nous avons conclu que ladisposition adoptée était la plus convenable.Dans cette optique, nous avons réalisé plusieurs dispositifs à complexité évolutive, aveclesquels on testera notre méthode de simulation. Ces tests applicatifs nous permettront decombler toutes lacunes qui apparaîtraient tout au long de nos tests d’investigation.A. COUPLAGE CABLE / PLAN DE MASSEDans le but de ne pas nous limiter sur un seul exemple applicatif et d’en tirer des conclusionstrop hâtives, nous nous sommes mis à étudier plusieurs cas tests auxquels nous pourrionsnous heurter lors de nos applications futures.Ces tests furent à complexité évolutive : à partir du premier cas, nous nous sommes tournésd’abord vers des dispositifs présentant des rotations à hauteur constante (FIGURE II-9).50 Ω0.5 m5 mm0.1m0.4 m0.5 m0.5 m5 mm50 Ω0.1 m0.5 mm1m0.5 mm1 m(A) Une rotation(B) Plusieurs rotationsFigure II-9 – Dispositifs présentant des rotations orthogonales54

Chapitre IIPour étudier les cas présentant des rotations, nous avons commencé par le cas simple d’uneseule rotation (FIGURE II-9) puis nous nous sommes intéressés par des exemples présentantplusieurs rotations (FIGURE II-9). Rappelons que l’orthogonalité nous est imposée par lescaractéristiques propres de la méthode PEEC.L’étape suivante consistait à étudier l’influence d’un changement de hauteur sur lecomportement de l’impédance des câbles étudiés (FIGURE II-10). Comme pour le casprécédent, une à plusieurs variations de hauteur ont été examinées.La dernière phase d’essais sera l’étude d’un exemple qui comporterait les deux variations enmême temps, ce qui définirait un cas d’étude réel, nous verrons cela explicitement dans lapartie « application » du CHAPITRE III.0.3 m0.5 m0.4 m5 mm50 Ω0.5 m5 mm0.4 m5 mm5 mm 50 Ω0.5 m5 mm0.5 m0.2 m0.2 m1 m1 m(A) Une hauteur(B) Plusieurs hauteursFigure II-10 – Dispositifs présentant des changements de hauteursDans tous ces exemples là, nous rappelons que les plans de masse et les câbles sontrespectivement en cuivre (σ=6 10 7 S/m) et en laiton (σ=1.42 10 7 S/m).Dans ces différents cas d’étude, nous avons à chaque fois testé les montages avec et sansinsertion des couplages capacitifs et le constat était le même à chaque fois. Une différenceflagrante, entre les deux réponses, identique à celle de la FIGURE II-6. Ceci nous conforte dansnos choix et nous rappelle la nécessité de prendre en compte cette contribution pour viser uneplage de fréquence aussi grande (du continu jusqu’au gigahertz, voire plus).Pour améliorer nos simulations, et dans l’optique de se conformer aux règles globales régissantles simulations en électromagnétique, nous nous devions de mailler nos dispositif de manière àprendre en compte les effets de propagation des ondes électromagnétiques. La FIGURE II-11nous montre l’effet de la discrétisation sur le résultat de la simulation, le passage de 10cm à5cm de longueur de la cellule unitaire de discrétisation apporte une nette amélioration que cesoit en fréquence ou en amplitude de résonance. Il assure aussi une validité de la simulationjusqu’au gigahertz (la simulation 10cm diverge dans cette gamme de fréquences).Sachant que notre ambition est d’atteindre le gigahertz comme fréquence maximale de validitédes simulations, les règles de simulations en vigueur nous imposent à ce que la taillemaximale des cellules de discrétisation ne dépasse pas le dixième de la longueur d’onde, il estquestion de ne pas dépasser le vingtième de la longueur d’onde dans certaines publications etréférences [32] [40][41][42].55

Chapitre II200018001600SIMULATION T = 10 cmSIMULATION T = 5 cmMESUREModule de l'Impédance1400Amplitude (ohm)1200100080060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure II-11 – Effet du maillage sur la simulation et confrontation à la mesureLa longueur d’une onde électromagnétique dans le vide à 1 GHz est égale à 30 cm, le calcul sefait sur la base de l’équation suivante :cλ =(II-10)foù c : est la célérité 3.10 8 m/s, et f : la fréquence de travail.La continuité logique de cette étape de notre travail serait alors de mailler nos structures àbase de cellules de taille inférieure à 3 cm (ou même mieux inférieure à 1.5 cm). Cependant,le passage vers des cellules de petites tailles ne s’est pas fait sans faire apparaître quelqueseffets indésirables autour de la simulation.En effet, un de nos critères importants, dans l’aboutissement de notre travail, est d’avoir untemps de calcul raisonnable. Or, et on le voit dans le tableau suivant, l’évolution du nombre decalculs et surtout le nombre d’éléments dans le fichier circuit, et par conséquent le temps desimulation, se fait d’une manière quasi exponentielle. Ce qui rendra très difficile, voireimpossible, (surtout vis-à-vis du simulateur SPICE) le passage vers des tailles réduites.Nous détaillons dans leTABLEAU II-1 l’évolution du nombre d’éléments dans le fichier circuit (issue de la transformationPEEC du modèle géométrique). Ces détails sont relatifs à deux simulations différentes autourdu dispositif de la FIGURE II-10. La différence réside dans la taille des cellules de discrétisation :l’une se base sur des cellules de 10 cm et la seconde sur des cellules de 5 cm.56

Chapitre IITABLEAU II-1 – DETAILS DES NOMBRE D’ELEMENTS SPICE POUR DEUX DISCRETISATIONS DIFFERENTEST = 10 cmNombre derésistancesNombred’inductancesNombre de mutuelles inductivesAxe X Axe Y Axe Z127 cellules volumiques : 65 X + 60 Y + 2 ZNombre decapacitésajoutées127 127 2 080 1770 1 124 117élémentsT = 05 cm65 + 60 + 2 65 + 60 + 2 65*64/2 60*59/2 2*1/2 10 + 2452 cellules volumiques : 230 X + 220 Y + 2 Z452 452 26 335 24 090 1 2251 352éléments230 + 220 + 2 230 + 220 + 2 230*229/2 220*219/2 2*1/2 20 + 2Le détail apporté sur le nombre de résistances ou d’inductances concerne le nombre de ceséléments sur les trois axes de notre repère, le nombre de capacité est directement lié aunombre de segments que constitue le câble en incluant les portions verticales.Le tableau nous renseigne également que, lors du passage d’une discrétisation à une autreplus fine, le facteur qui influence le plus la hausse du nombre d’éléments est le calcul desinductances mutuelles. Ces éléments possèdent une règle de progression quasi-exponentielle.L’augmentation des autres paramètres est nettement moins significative.Nous rappelons également que si nous utilisions la version complète des calculs de la méthodePEEC, le calcul des couplages capacitifs serait un autre facteur de poids sur le nombre totald’éléments constituant le modèle du dispositif simulé.Sur une même machine, le temps de simulation écoulé correspondant à ces deux exemplespasse, respectivement, de 30’’ à plus de 50’ de simulation. Ceci nous donne une idée degrandeur sur les temps de calcul que l’on obtiendrait pour des plus petites tailles de cellules. Atitre d’exemple, pour une simulation avec une cellule de base de longueur égale à 2.5 cm, letemps de simulation consommé dépassait les 60h…Pour cette raison, nous nous obligeons à mettre en place un moyen de réduction du nombred’éléments dans la discrétisation des dispositifs du genre « plan(s) de masse + câble(s) ».Nous présenterons cette méthode dans la partie « Etude des grands systèmes ».A noter aussi que l’apport en nombre d’éléments dans le fichier circuit que représentent lescapacités est vraiment insignifiant et que par conséquent notre méthode d’incorporer les effetscapacitifs n’alourdit quasiment en rien la simulation mais rapporte en contre partie de grandesaméliorations pour les résultats.B. COUPLAGE DES PORTIONS VERTICALESEn nous référençant à notre exemple traité dans le Chapitre I, nous pouvons dire que d’unepart, les portions verticales de ces câbles sont de dimensions inférieures par rapport auxportions horizontales, et par conséquence la contribution de ces portions sur le couplagecapacitif total du câble serait insignifiante.57

Chapitre IIToujours est-il que nous sommes dans l’obligation de prendre en compte ces couplages dansnos calculs, car si leur contribution nous paraît faible dans nos cas de figure ici, les portionsverticales peuvent avoir une influence décisive dans certains cas, notamment quand leursdimensions deviendront du même ordre de grandeurs que les portions horizontales.Le calcul de ces capacités se fera selon la formule (II-11) et ses paramètres sont présentésdans la FIGURE II-12 :C pp⎛ h2− h1⎞= 2 a ε ⎜ +⎟0εrln 1(II-11)⎝ h1⎠Pour le moment, vu que les tailles de ces portions verticales sont de l’ordre du millimètre, nousne les découpons pas sur la longueur, nous le ferons dans le cas où leur longueur dépasseraitla taille d’une cellule de discrétisation.ah 1h 2Figure II-12 – Paramètres de calcul de la capacité d’un câble verticalEn annexe, nous ajouterons d’autres types de calculs relatifs aux couplages capacitifs, que l’onutilisera dans nos futures utilisations. Les calculs présentés sont effectués de manière à êtretotalement intégrables dans le processus de simulation ainsi adopté.C. UN CAS PARTICULIERL’incorporation de certains couplages capacitifs, qui pourraient paraitre à première vuefacilement négligeables ou peu influents, peut se révéler très importante vis-à-vis de laréponse fréquentielle de l’impédance du câble étudié. Car même si les valeurs de cescouplages sont petites devant les capacités qui représentent le plus important couplage,l’influence que pourrait avoir ces portions peut être déterminante dans certains cas.0.5 m0.5 m10 mm5 mm50 Ω0.5 m0.2 m1 mFigure II-13 – Exemple d’un cas particulierDans ce qui suit, nous en montrons un exemple. Soit le montage de la FIGURE II-13. Aupremier abord, l’exemple présenté peut paraître anodin, cet exemple ressemble en effet à celuiprésenté dans la FIGURE II-10-A, la seule différence réside dans la première hauteur du câble.58

Chapitre IIPour la mesure, comme nous utilisons pour la mesure d’impédance un analyseur de réseaux,l’entrée du câble est en fait réalisée avec un connecteur SMA classique soudé sur le plan demasse pour créer la mise à la masse du montage du coté de l’entrée. L’âme centrale de ceconnecteur SMA est à une hauteur de 6 mm, nous avons dû adapter le montage pour assurerune entrée du fil à 10 mm comme le prévoit la FIGURE II-13.Cette modification est présentée ci-dessous (FIGURE II-14), nous élevons l’âme centrale duconnecteur SMA pour le mettre à hauteur du câble se trouvant à 10 mm. La longueur de laportion à hauteur du SMA ne dépasse pas les 5 mm.0.5 mUne cellule0.5 m5 mmSMA0.2 m10 mm 50 Ω0.5 m6 mm10 mm1 mFigure II-14 – Détails du montage à l’entrée de la ligneDans nos premières simulations, nous ne tenions pas compte de ce changement, noussimulions directement le schéma de la FIGURE II-13, dans les résultats obtenus les résonancesétaient assez proches mais néanmoins perfectibles aussi bien au niveau de l’amplitude que dela fréquence.1200SimulationMesure1000Impédance (ohm)80060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure II-15 – Effet du maillage sur la simulation et confrontation à la mesure59

Chapitre IIPour parfaire les résultats présentés dans la FIGURE II-15, nous avons pensé à prendre encompte les détails de connexion que nous avons intégrés dans la simulation dans tous leursdétails de modélisation. Les capacités que nous avons dues ajoutées sont représentées dans laFIGURE II-16, où :ooC 1 , C 2 et C 4 représentent respectivement le couplage par rapport au plan de masse dela portion horizontale à la hauteur du SMA (6 mm), de la portion verticale et de laportion horizontale à 10 mm.C 3 pour sa part représente l’interaction entre la portion verticale et le connecteur SMA.Bien que leurs valeurs soient faibles, leur influence n’est pas pour autant négligeable. Nousconfrontons les résultats de la nouvelle simulation (que nous appelons dans la figure« Simulation + ») avec la précédente, et nous les comparons à la mesure.Une celluleSMAC 3C 1C 2C 4Figure II-16 – Détails du montage à l’entrée de la ligneLa FIGURE II-17 nous montre ces comparaisons sur deux courbes, la première (A) compare lemodule de l’impédance et la seconde (B) compare la partie imaginaire de cette impédance oùles corrections apportées seront plus visibles.1200Simulation Simulation + Mesure1000Impédance (ohm)80060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8(A) Comparaison du module de l’impédance60

Chapitre II800Partie imaginaire de l'ImpédanceSimulation Simulation + Mesure600400Module (ohm)2000-200-400-6000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8(B) Comparaison de la partie imaginaire de l’impédanceFigure II-17 – Comparaison des deux simulations et la mesureNous voyons que sur la première (voire deuxième) résonance, la différence n’est pas trèsflagrante, néanmoins leur effet est indiscutable proportionnellement à la montée en fréquence.L’amplitude y est un peu diminuée dans le sens de la mesure et les fréquences de résonances’améliorent pour les résonances supérieures.L’effet de l’ajout de ces capacités et la prise en compte de cette connexion dans la simulationest incontestablement mieux exposé dans FIGURE II-17 où l’on compare les parties imaginairesdes impédances mesurée et simulées.Nous avons rencontré ce cas de figure plusieurs fois lors de nos différentes simulations, nousen avons conclu que la simulation et donc la modélisation doivent refléter au maximum ledispositif mesuré en explicitant ses moindres détails. La fidélisation de la modélisationgéométrique est un critère indispensable pour la justesse des résultats.D. COUPLAGE CABLE / CABLEPassé le cas simple d’un dispositif composé d’un seul câble et un seul plan de masse, nousnous orientons vers des cas plus usuels que nous rencontrerons dans notre domained’application. Ces cas se composent d’une multitude de câbles (parallèles ou non) eninteraction avec leur environnement qui peut contenir plus d’un plan de masse.Nous devons dès alors nous pencher sur la question, mais tout d’abord nous nous intéressonsau cas le plus simple avec deux câbles en présence ou non d’un plan de masse.Dans la littérature [46][48], nous trouvons les formulations analytiques correspondantes à cescas de figure. Le TABLEAU II-2 nous montre les différents cas et leurs formulations respectives.Les formules sont, dans ces cas là aussi, des valeurs par unité de longueur. Elles sontadaptables à la longueur de cellule de discrétisation.61

Chapitre IITABLEAU II-2 – FORMULES DU COUPLAGE CAPACITIF ENTRE DEUX CABLESABSENCE DU PLAN DE MASSELigne bifilaire symétriquer

Chapitre IICependant, pour nos applications, la définition ainsi faite ne nous arrange pas. Nouspréférerions inclure dans le circuit équivalent le couplage existant dans ses moindres détails oudu moins dans son aspect le plus important. C’est pour ces raisons, que nous n’avons pasdirectement utilisé les formulations de la structure bifilaire en présence du plan de masse etavions procédé à la recherche de formules plus détaillées.Toutefois, il existe la formulation détaillée [48] que l’on expose dans la FIGURE II-18, où cetteréférence nous donne toute la matrice du couplage capacitif, à savoir séparément lescouplages câble/câble et les couplages câble/plan de masse.D2r2rhC p1C fC p2(A) Dimensions géométriques(B) Montage électriqueFigure II-18 – Détails du montage à l’entrée de la ligne⎡c+ cC = ⎢⎣ − c2111 12 12 ⎤La matrice capacitance est la suivante : [ ] ⎥ ⎦c− c22+ c21Les formulations des différentes composantes de cette matrice sont :cc1112= c= c22212h= A LnrD= A Lnd(II-13)avec :A =2πε ε0[ Ln( 2h/ r)] 2 − [ Ln( D / d ) ] 2rLes calculs des différentes capacités du montage électrique de la FIGURE II-18 sont :ccpf= c= c1112− c12(II-14)Avec ces résultats nous parvenons à retrouver la formule du TABLEAU II-2 concernant le schémade la FIGURE II-18. Rappelons que l’équation du tableau nous donne le couplage global entre lesdeux câbles en présence du plan de masse.C C=⎛Ln⎜⎜⎝ rπεd ⎞( )⎟ ⎟ 2d / 2 ⎠1+h(II-15)63

Chapitre IINous pouvons réécrire cette dernière expression en reprenant les notations de la FIGURE II-19 :dd2r2rhhDhFigure II-19 – Détails du dispositif à deux câbles en présence du plan de masseA l’aide des dernières notations, nous pouvons faire les développements suivants :C C=⎛Ln⎜⎜⎝ rπεπεπεπε===⎞ ⎛ ⎛ 2 2 ⎞⎞⎛2d⎞ ⎛⎟ ⎜ ⎜ 4h+ d ⎟⎟⎜ d 4hd 2hLn d / rLn⎟ Ln⎜⎜2 2⎟2( )⎟ ⎜ ⎜2⎟21+/ 2⎟⎝4 +⎠ ⎝ +⎠ ⎝ ⎝4hr h d rd h⎠4hd⎠2⎞⎟⎠avec :2D = d +4h2La formulation de l’équation (15) devient alors :C πε= C ⎛ d 2 h ⎞Ln⎜⎟⎝ D r ⎠(II-16)Nous vérifions que l’on peut retrouver cette formule à partir des relations des équations (II-13)et (II-14). A partir du schéma électrique de la FIGURE II-18, nous calculons d’abord la valeurglobale de la capacité de couplage entre les deux fils en fonction des capacités C f , C P1 et C P2 .C C CCCCf++Cp1 p2p= Cfp1+ Cp22= (II-17)On développe l’expression de A de l’équation (II-13) afin de la simplifier, on obtient alors :2πεA =2⎡ ⎛ 2h⎞⎤⎡ ⎛ D ⎞⎤⎢Ln⎜⎟⎥− ⎢Ln⎜⎟⎥⎣ ⎝ r ⎠⎦⎣ ⎝ d ⎠⎦2=⎡ ⎛ 2h⎞⎢Ln⎜⎣ ⎝ r⎟ −⎠2πε⎛ D ⎞⎤⎡⎛ 2h⎞Ln⎜⎟⎥⎢Ln⎜⎝ d ⎠⎦⎣⎝ r⎟ +⎠⎛ D ⎞⎤Ln⎜⎟⎥⎝ d ⎠⎦=⎡ ⎛ 2h⎢Ln⎜⎣ ⎝ rdD2πε⎞⎤⎡⎛ 2hD ⎞⎤⎟⎥⎢Ln⎜⎟⎥⎠⎦⎣⎝ r d ⎠⎦Ici, on développe l’expression de l’équation (II-17) par rapport à l’équation (II-13) :CC= CfC+2p= C12C+11− C212C=11+ C21264

Chapitre IIDans cette dernière, on introduit l’expression simplifiée de A obtenue précédemment :⎛ ⎛ h ⎞ ⎛ D ⎞⎞⎛ h D ⎞⎛ h D ⎞C =1 21 2 1 22C⎜ A.Ln⎜⎟ + A.Ln⎜⎟⎟= A Ln⎜⎟ =πε Ln⎜⎟2 ⎝ ⎝ r ⎠ ⎝ d ⎠⎠2 ⎝ r d ⎠ 2 ⎡ ⎛ 2hd ⎞⎤⎡⎛ 2hD ⎞⎤⎝ r d ⎠⎢Ln⎜⎟⎥⎢Ln⎜⎟⎥⎣ ⎝ r D ⎠⎦⎣⎝ r d ⎠⎦Finalement on retrouve bien la formule de l’équation (II-16) :C πε= C ⎛ d h ⎞Ln⎜2 ⎟⎝ D r ⎠L’utilisation des formules de l’équation (II-13) se révèle être d’une grande utilité pour les casde deux câbles interagissant avec un ou plusieurs plans de masse. Le détail apporté par cesformulations par rapport aux autres formulations du TABLEAU II-2 répond parfaitement à nosbesoins. Les circuits équivalents dans nos simulations seront alors plus détaillés.Toujours est-il que lorsque les montages des dispositifs sous test ne ressemblent pas aumontage de la FIGURE II-18, c'est-à-dire lorsque par exemple les rayons des câbles sontdifférents, les formules ainsi trouvées ne nous sont pas d’une grande utilité. De même pour lecas présentant une multitude de câbles : comme cela est généralement le cas dans le domaineautomobile où les câbles sont regroupés en faisceaux et où l’interaction entre eux y est trèsimportante.Nous devons trouver un moyen de remplacement qui nous garantirait une adaptabilitémaximale. Ce moyen ne devra en aucun cas être pesant pour notre processus de simulation.Le moyen choisi qui nous a le mieux convenu est l’utilisation d’un logiciel de calcul basé sur lesdifférences finies, appelé FD2D [8].4. PRESENTATION DE L’OUTIL FD2DNous incorporons dans notre procédé de simulation, principalement pour les cas nonsimples (ne figurant pas parmi les exemples présentés précédemment), ou ceux nécessitantun calcul spécifique, les résultats de l’application FD2D. Cet outil de calcul a été déjà présentédans [5], où il a été initialement utilisé.FD2D [8] pour « 2-dimensions finite difference solver for electrostatic problems », est unlogiciel libre développé par Jan Carlsson en 1998, il se base sur un calcul à différences finies endeux dimensions. Ce logiciel permet de calculer les matrices inductances et capacitances oumême les paramètres S à partir d’un schéma générique définissant une géométrie en deuxdimensions allouant même l’utilisation de matériaux diélectriques.Pour l’utiliser il suffit de définir un schéma géométrique (avec un degré de précision que l’onchoisit, on peut intensifier le nombre de nœuds pour décrire notre schéma avec plus derigueur), une fois la géométrie décrite, on définit les conducteurs et les paramètres desimulation, puis on obtient les matrices inductives et capacitives.Un exemple est détaillé ci-après : un faisceau de trois câbles avec et sans diélectrique :65

Chapitre IIdh1 2 3(A) sans diélectrique(B) avec diélectriqueFigure II-20 – Modélisation d’un dispositif à trois câbles avec et sans diélectriqueLa FIGURE II-21 nous montre les deux modélisations sur FD2D, la modélisation se fait sur lasection des câbles, le nombre de nœuds de la modélisation reste à la guise de l’utilisateur.(A) sans diélectrique(B) avec diélectriqueFigure II-21 – Modélisation du dispositif à trois câbles dans FD2DComme cet outil de calcul se base sur la technique des différences finies, il se doit alors demailler tout l’espace pour effectuer une simulation. Cet espace est délimité par un plan demasse qui entoure notre modélisation des quatre cotés, sauf que nous éloignons suffisammentles trois plans indésirables pour ne pas subir leurs conséquences. La FIGURE II-21 ne nousmontre que le plan de masse qui intervient dans les calculs.Avant de procéder à la simulation, les conducteurs sont définis et numérotés afin d’écrire lamatrice capacitance (le logiciel fournit également la matrice inductance, mais qui ne nous estpas d’une grande utilité, le calcul PEEC fournit ces couplages dans leurs moindres détails).Le tableau suivant explicite la valeur des capacités de couplage dans les deux cas (avec etsans couplage).TABLEAU II-3 – VALEUR DES CAPACITES DE COUPLAGE D’UN DISPOSITIF TRIFILAIRE* 10 -12 1 2 3sans diélectrique1 11.3982 13.5864 01.99332 13.5864 06.8843 13.58643 01.9933 13.5864 11.3982avec diélectrique1 12.7210 23.8678 02.32942 23.8678 07.0357 23.86783 02.3294 23.8678 12.721066

Chapitre IICe tableau nous informe sur les couplages existant dans le dispositif trifilaire, le couplage entrechaque câble y est détaillé en plus de chaque couplage câble/plan de masse, qui est différentd’un câble à un autre. Le fil du milieu (le numéro 2) interagit plus avec les autres fils qu’avecle plan de masse. Le diélectrique fait en sorte d’augmenter la valeur des capacités du fait de sapermittivité relative. On doit, néanmoins, bien centrer notre schéma pour obtenir de telsrésultats symétriques.Le logiciel donne la possibilité de fournir directement les résultats sous une écriture au formatcompatible SPICE (couplage capacitif ou inductif).Nous avons confronté les calculs obtenus par ce logiciel aux calculs de l’équation (II-13) pourhomologuer son utilisation. Nous avons pris l’exemple d’un dispositif bifilaire, nous montronsdans la FIGURE II-22 la modélisation FD2D et une capture d’écran de la fenêtre des résultatsobtenu après simulation. Dans cette FIGURE II-22, on peut voire les quatre plans de masse.(A) Fenêtre de la modélisation FD2D(B) Fenêtre des résultats de la simulation FD2DFigure II-22 – Modélisation et résultat de la simulation avec FD2DDepuis les résultats précédents, nous tirons la valeur des différentes capacités à insérer dansla modélisation PEEC, le calcul est le suivant, et le schéma qui le représenteCC pCFigure II-23 – Modélisation et résultat de la simulation avec FD2DLes capacités relatives à la FIGURE II-23 sont alors égales à :Résultats FD2D : C = C 11 -C 12 = 11.88 pF & C P = |C 12 |= 5.29 pF67

Chapitre IINous retrouvons des résultats très similaires à partir de nos relations analytiques, la précisionn’est pas la même mais le résultat obtenu avec le logiciel FD2D peut être amélioré enaccentuant le nombre de nœuds dans la modélisation.Résultats analytique : C = 11.25 pF & C M = 5.75 pFNous avons, par la présente démarche, prouvé (ou du moins conforter) nos sentiments àl’égard de la fiabilité du logiciel FD2D. Son utilisation dans notre processus de simulation estvalidée vu la rapidité de son exécution et les taux d’erreurs que représentent ses résultatsinférieurs à 10% sur l’exemple ci-dessus présenté, et perfectibles en intensifiant le maillage.De part l’utilisation de cet outil de calcul, nous rentrons dans le cadre d’une hybridation de laméthodologie de simulation et de calcul.5. SYNTHESEEn récapitulant le processus de simulation élaboré jusqu’ici, nous parvenons à dire que :- L’inclusion des phénomènes capacitifs dans une simulation est réussie, ce qui aamélioré les résultats de la méthode de simulation qui n’en tenait pas compte,- l’incorporation de ces phénomènes n’alourdit le temps de calcul alloué à la simulation,- les formulations analytiques sont adaptées à nos cas usuels d’utilisation et dans le cascontraires le logiciel de calcul FD2D nous est d’une grande utilité,- …Toujours est-il qu’il reste à combler des insuffisances qui sont majoritairement liées de près oude loin à la préoccupation relative au temps de simulation, nous citons à titre d’exemple descas d’insuffisances liées à la modélisation pouvant encombrer une simulation :- un dispositif de grande taille (de l’ordre de la dizaine de mètres) où sa décompositionen cellules unitaires donnerait naissance à un nombre conséquent d’éléments,- un affinement de la discrétisation pour parfaire les résultats et élargir la bandefréquentielle,- des dispositifs de forme non orthogonale qui demandent une rigueur dans leurmodélisation,- la nécessité de tenir comptes des effets de peau ou de proximité qui nous amènera àdevoir discrétiser de manière à augmenter le nombre de cellules,- …III.ETUDE SUR GRANDS SYSTEMESLes aspirations, que nos attachons à notre outil de simulation, est que ce dernier soit un outild’aide à la conception ou d’aide à la décision destiné à traiter de manière globale des systèmescontenant des interactions entre une structure métallique et un schéma de câblage. Plusparticulièrement, les objectifs fixés visent une utilisation dans le milieu automobile, où lesutilisateurs potentiels peuvent appartenir à la catégorie des constructeurs automobiles ou biende leurs équipementiers.De ce fait, pour des utilisations dans le milieu automobile, sachant que les dispositifs decâblage ne sont pas concentrés dans un coin du véhicule, mais s’étale sur toute la longueur sice n’est le volume du véhicule, les dimensions des dispositifs à traiter serraient du même ordrede taille qu’un véhicule réel, c'est-à-dire qui dépasserait les trois à quatre mètres de long.68

Chapitre IIDans l’optique de permettre une exécution raisonnable des grands systèmes, nous nousdevons de réagir et trouver impérativement une méthode de réduction afin de restaurer untemps de simulation tolérable.De par nos ambitions fréquentielles, il nous est incontournable de procéder à des simulationssur la base de cellules ayant une taille de l’ordre du centimètre : 3 cm et 1.5 cm représententrespectivement le dixième et le vingtième de la longueur d’onde à 1 GHz, et nous devons nousbaser sur des tailles inférieures à celles-ci.L’exécution de simulations avec de telles discrétisations consomme un temps considérable,rappelons l’évolution quasi-exponentielle du nombre d’éléments et par conséquent du tempsde calculs par rapport à un affinement de la discrétisation.Le TABLEAU II-4 suivant nous remémore quelques résultats :TABLEAU II-4 – COMPARAISON ENTRE TROIS SIMULATIONS EN TEMPS ET EN NOMBRE DE CALCULSTaille descellulesNombred’élémentsTemps decalculs MATLABTemps desimulation SPICET = 10 cm 4 167 8” 23”T = 5 cm 51 556 1’ 35” 51’ 7”T = 2.5 cm 724 253 21’ 36” ≈ 60 h 30’Nous considérons qu’une simulation est contraignante quand celle-ci dépasse un certain tempsde simulation entre les calculs MATLAB et le calcul SPICE et ce selon la complexité du dispositif(1 heure par exemple dans le cas traité).Dans le TABLEAU II-4, nous la simulation à 2.5cm dépasse de beaucoup ce critère et on doitimpérativement trouver un moyen pour réduire au maximum ce temps de simulation.Parmi les moyens recherchés, nous ne nous intéresserons pas aux moyens mathématiques deréduction de matrices, comme ils en existent dans la littérature [23][44]. Nous avons, dansnotre travail, utilisé un moyen de réduction relatif à la fois aux propriétés de la méthode PEECet aux phénomènes physiques, notamment électromagnétiques, prépondérants dans nossimulations.En fait, nous avons relancé, dans une perspective de continuité, la méthode citée dans [5].L’appellation donnée à cette méthode dans ce qui suit est « piTesT ».Son principe général est de remplacer la largeur complète du plan de masse par une largeuréquivalente qui correspond à l’effet d’un courant (volumique constant) circulant dans le câble.En d’autres termes, nous représenterons le plan de masse dans la modélisation par une tailleéquivalente représentant l’interaction électromagnétique.Cette largeur est dépendante de la hauteur du câble, comme l’atteste l’expression suivante :l = π * h(II-18)Oùl : la largeur équivalente,h : la hauteur du câble par rapport à ce plan de masse.69

Chapitre IILe schéma détaillant ce mode de réduction est le suivant :Figure II-24 – Détails théoriques du modèle « piTesT »La longueur et la largeur du plan équivalent devront être limitées par les dimensions originellesdu plan de masse où le plan équivalent ne devra en aucun cas être plus grand que ce qu’ilreprésente. Les limitations se feront sentir lorsque la valeur de la hauteur est du même ordrede grandeur que les dimensions initiales du plan de masse, nous avons eu affaire à ce genrede restriction dans notre ultime application présentée dans le CHAPITRE III.Avec cette méthode, le nombre d’éléments du constituant le plan de masse estconsidérablement réduit, ce nombre sera du même ordre que le nombre d’élémentsconstituant le câble qui interagit avec ce plan.Sachant que la méthode PEEC opère avec distinction pour le traitement des courants sur lestrois axes, avec cette méthode nous ne maillons pas les éléments du plan de masse enlargeur. C'est-à-dire que nous admettons que le courant dans le plan de masse suit la directiondu courant dans le câble. Ceci est d’autant plus vrai, que le courant, en basse fréquence, suitle schéma de moindre résistance entre le point de départ et celui d’arrivée, et est concentrésous le câble en haute fréquence.La FIGURE II-25 nous montre les deux modélisations : le modèle classique de discrétisation d’unplan de masse dans la méthode PEEC et le modèle dit « piTesT » défini ci-dessus.(A) Modèle Classique (B) Modèle « piTesT »Figure II-25 – Présentation des deux modèles de simulationLe grand avantage de ce maillage est directement lié au nombre de cellules issues de ladiscrétisation. Nous avons vu précédemment (dans le TABLEAU II-4) que l’affinement dumaillage est quelque peu préjudiciable à la simulation en général et au temps de calcul enparticulier. Chose qui sera plus visible avec le maillage « piTesT », un affinement ne nous serapas compromettant, un simple passage, par exemple, d’une taille de cellule à sa moitién’entrainera pas une aussi grande augmentation que dans la version classique.70

Chapitre IINous ne discrétisons plus la surface du plan de masse (maillage en deux dimensions), maisjuste une portion équivalente selon la longueur du câble (maillage en une dimension).Nous éliminons par conséquent un nombre considérable de cellules dans le circuit équivalent,sans pour autant perturber le comportement total du dispositif. Cette réduction affecteradirectement les temps de calcul de la méthode PEEC mais aussi le temps de simulation SPICE.Avant de dresser un tableau comparatif entre les méthodes utilisées, nous montrons dans laFIGURE II-26 une comparaison entre les deux simulations pour le dispositif de la FIGURE II-25.Les résultats montrent clairement que la différence qui existe entre les deux dispositifs estminime par rapport au gain de temps engendré par la nouvelle méthode. Les différences sontforcément dues à ce que les interactions ne sont pas les mêmes, mais les résultats nousmontrent que le modèle « piTesT » est tout à fait fiable et nous l’avons confirmé sur plusieurstests de validation incluant notamment des rotations et des variations de hauteur.Nous dressons ci-dessous un tableau comparatif entre les deux méthodes de simulationsutilisées, nous ajoutons également un calcul prévisionnel de la méthode PEEC originale baséesur les calculs de RUEHLI. Nous comparons ici le nombre de composants et le temps de calcul :TABLEAU II-5 – COMPARAISON ENTRE LES METHODES DE SIMULATION DE LA METHODE PEECNOMBRE D’ELEMENTSTEMPS DE SIMULATIONORIGINALE CLASSIQUE PITEST CLASSIQUE PITESTT = 10 cm 10 717 4 117 247 30’’ 4’’T = 5 cm 116 114 51 352 887 53’ 11’’T = 2.5 cm 1 543 309 725 197 3 367 +61 h 35’’T = 1 cm +50 000 000 26 281 732 20 407 - 9’ 35’’T = 0.5 cm - - 80 897 - 1h 28’1000900piTesTClassiqueModule de l'Impédance - T = 5 cm800700Amplitude (ohm)60050040030020010000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure II-26 – Comparaison entre la méthode PEEC classique et le « piTesT »71

Chapitre IILa méthode PEEC, dite classique, que l’on utilisait jusque là représentait déjà une diminutionde près de moitié par rapport à la méthode PEEC originale, ceci car la prise en compte deseffets de couplage capacitifs ne se faisait pas de la même manière, et surtout que la méthodede remplacement ne requérait pas un grand nombre d’éléments.A cette méthode classique, nous avons donc opéré une réduction qui touche exclusivement auxplans de masse. Leurs dimensions sont réduites en largeur dans le maillage. Cette réduction,en plus de ne pas perturber les résultats de la simulation, élimine près de 90 % des élémentsinitialement présents, les plans de masse donnaient naissance à la majorité des éléments depar son maillage dans les deux axes. Cette restriction nous permet d’atteindre des tailles dediscrétisation que l’on ne concevait même pas avec les deux modélisations classiques.Par conséquent, le temps de simulation est aussi modifié et le gain apporté est considérable.Nous avons pu faire des simulations dans des tailles de cellules compatibles avec nosconditions de simulations dans un temps de calcul plus que tolérable (la simulation 1 cm).Donc grâce à ce modèle de maillage des plans de masse, nous parviendrons à effectuer dessimulations avec des tailles de cellules de discrétisation qui respectent les conditions demaillage (cellule inférieure au dixième de la longueur d’onde). Les résultats sont plus précisavec ces simulations car le comportement de nos structures se rapproche de plus en plus ducomportement réel (en mesure) du dispositif sous test.Nous montrons ci-dessous une comparaison entre deux simulations opérées avec les deuxméthodes (classique et le piTesT). Dans cette comparaison, nous allons montrer lesaméliorations apportées par les discrétisations à petites tailles, le dispositif étudié est celui dela FIGURE II-27 où sont détaillées ses dimensions.0.3 m0.4 m5 mm50 Ω0.4 m15 mm5 mm0.5 m0.2 m1 mFigure II-27 – Dispositifs présentant des changements de hauteursNous retraçons dans la FIGURE II-28 les deux modélisations du dispositif exposé ci-dessus.(A) Modèle Classique (B) Modèle « piTesT »Figure II-28 – Présentation des deux modèles de simulation72

Chapitre IILes résultats que nous comparons ci-dessous sont relatifs à une simulation sur la base d’unediscrétisation à 5 cm, cette taille représente la taille minimum tolérable avec la modélisationclassique. Nous confrontons à nouveau les deux modèles pour montrer leur similitude.A première vue, les simulations sont quasi-identiques, elles sont toutes les deux bien ajustéesen fréquence par rapport à la mesure (admissible jusqu’à 700 MHz) mais une différencepersiste encore dans la valeur des amplitudes. La FIGURE II-30 nous conforte d’abord dans nosprécédentes conclusions à propos de l’adaptabilité du modèle piTesT par rapport au modèleclassique et aussi sur la nécessité d’opérer des simulations avec une plus petite discrétisation.16001400PEEC ClassiqueMesureModule de l'Impédance - T = 5 cm1200Amplitude (ohm)100080060040020000 2 4 6 8 10Fréquence (Hz)x 10 8(A) Modèle Classique16001400piTesTMesureModule de l'Impédance - T = 5 mm1200Amplitude (ohm)100080060040020000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Fréquence (Hz)x 10 8(B) Modèle « piTesT »Figure II-29 – Présentation des résultats des deux modèles de simulation73

Chapitre II16001400PEEC ClassiqueMesurepiTesTModule de l'Impédance - T = 5 cm1200Amplitude (ohm)100080060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure II-30 – Comparaison entre les résultats de simulationLe modèle piTesT nous donne la possibilité d’effectuer, dans un temps acceptable, dessimulations à base de cellules centimétriques (voire plus petites). Ces simulations sont senséesaméliorer la réponse fréquentielle de notre dispositif sous test. La FIGURE II-31 nous montre lecas d’une discrétisation à 5mm, chose qui ne pouvait se faire avec le modèle classique pour lesraisons déjà évoquées.160014000.0050.05MESUREModule de l'Impédance1200Amplitude (ohm)100080060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure II-31 – Résultats de la simulation « piTesT » à 5 mm74

Chapitre IINous constatons une nette amélioration dans la tenue fréquentielle de cette simulation surtoutdans la plage de fréquence où le précédent modèle ne nous satisfaisait pas, c'est-à-dire audelà des 700 MHz. Les différences d’amplitude subsistent encore, quoique les allures des deuxcourbes se suivent plus ou moins correctement, nous nous référençons dans nos comparaisonsaux fréquences de résonance, car l’on sait pertinemment que la comparaison, dans des zonesaussi critiques que celles des résonances, est très difficile. Ces régions là sont très sensibles eton y peut facilement rater un point de mesure qui se pourrait être très important, et du coupnous fera passer à coté de la « vraie » valeur de cette résonance.Rappelons que ces mesures sont effectuées avec un analyseur de réseaux et que ce dernier estbeaucoup plus fiable en fréquence qu’en amplitude. Nous exposerons par la suite des mesuresplus rigoureuses effectuées avec un analyseur d’impédance qui confortent notreargumentation.Toujours est-il que la discrétisation à base d’éléments inférieurs au dixième et même auvingtième de la longueur d’onde (0.5 cm par rapport à 3 cm et 1.5 cm) apporte son lot desatisfactions sans pour autant exagérer en temps de simulation.Le modèle appelé communément piTesT a ainsi prouvé sa grande utilité dans notre processusde simulation, nous l’utiliserons à l’évidence dans ce qui suit. Rappelons que si le dispositifcomporte une ou plusieurs rotations orthogonales, ce modèle demeure toujours aussi efficacede par les propriétés intrinsèques de la méthode PEEC qui séparant l’étude du comportementdu courant sur les trois axes, ainsi le modèle du plan de masse suivra les rotations effectuéespar le câble dans les limites de ses dimensions. Un exemple est illustré dans la FIGURE II-32.(A) Modèle Classique (B) Modèle « piTesT »Figure II-32 – Présentation des deux modèles pour un dispositif à plusieurs rotationsMaintenant que la question relative à la concordance des fréquences de résonance estmajoritairement réglée, nous nous intéressons à présent aux conclusions du premier chapitre,pour essayer de parfaire les réponses fréquentielles de nos dispositifs de test.IV.INTRODUCTION DES EFFETS DE PEAU ET DE PROXIMITEToujours dans nos dispositifs de test, nous ajoutons à la modélisation une étape qui a éténégligée jusque là et qui peut apporter des améliorations à certaines préoccupations, plusparticulièrement à la différence quasi constante que l’on obtient entre nos différentes mesureset leurs simulations correspondantes aux niveaux des résonances. [5][15][27][38]75

Chapitre IIComme nous l’avions vu dans le CHAPITRE I, la méthode PEEC permet de faire apparaître leseffets électromagnétiques prépondérants dans les interactions entre les câbles et les plans demasse avoisinants. Si l’effet de propagation est pris en compte dans le maillage dès le débutde ces tests d’investigation, les deux autres effets et non les moins importants (effet de peauet effet de proximité) ne sont quant à eux pas incorporés dans cette étape de la modélisation.Parallèlement à l’effet de propagation des ondes qui nécessitait pour sa prise en compte unmaillage des structures sur leur longueur, pour faire surgir l’effet de peau et de proximité,nous devons prévoir de décomposer les câbles et les plans de masse en plusieurs éléments surleur section. L’effet de proximité quant à lui fera la différence et donnera la préférence pour uncoté par rapport à l’autre. Ces prises en comptes feront en sorte de nous rapprocher un peuplus du comportement réel du câble mesuré.En effet, le découpage des câbles et des plans de masse en section, fera en sorte que lecourant circulant dans ces éléments choisira un chemin par rapport à un autre et favoriseraconjointement l’apparition de l’effet de peau et de proximité. Ces décompositions feront ensorte que la partie résistive des conducteurs connaitra une variation en fréquence, c'est-à-direque si le courant en BF se dispersera sur tous les éléments de la section du câble, avec lamontée en fréquence il ne sera distribué que sur les éléments du contour extérieur du câble.Ce phénomène impliquera la variation de la partie résistive du câble au vue de la variation descomposants entrant en jeu dans la conduction du courant.Dans la FIGURE II-33, nous présentons les découpages usuels pour un maillage en section. Lecas le plus simple est illustré par la FIGURE II-33, où le découpage est fait sur trois partieshorizontales et trois autres verticales de façon à créer une petite épaisseur sur le contour duconducteur et laisser la partie centrale prédominante en taille sur les autres éléments. D’autresdécoupages peuvent être imaginés comme celui en cinq couches de la FIGURE II-33 qui pour sapart fera apparaitre mieux l’effet de proximité que le précédent maillage.Comme pour la propagation où il est préférable de mailler avec des cellules très petites pouravoir de meilleurs résultats, le maillage en section idéal serait composé d’un grand nombre dedécoupages horizontaux et verticaux.(A) Découpage en 3 couches(B) Découpage en 5 couchesFigure II-33 – Maillage vertical et horizontal des dispositifsLa symétrie dans ce découpage n’est pas obligatoire, mais reste néanmoins souhaitable pourfaire apparaitre l’effet de proximité qui nous montrera la préférence d’un coté par rapport à unautre suivant le positionnement du conducteur vis-à-vis du plan de masse.Du coté purement théorique, la profondeur de peau est dépendante de la fréquence et de laconductivité du matériau utilisé (ou de sa résistivité, l’un étant l’inverse de l’autre), l’équationsuivante nous dresse les expressions analytiques pour calculer l’épaisseur de peau :76

Chapitre IIδ2 ρ 2 1= = =(II-19)ω µ ω µ σ f π σ µOù δ : l’épaisseur de peau, [m]ω : la pulsation de l’onde (ω=2π f), [rad/s]µ : la perméabilité magnétique, [H/m]σ : la conductivité électrique (σ=1/ρ), [S/m]ρ : la résistivité électrique,[Ω.m]Dans nos cas d’étude, nous rappelons que les câbles utilisés sont soit en Laiton (σ = 1.42 10 7S/m) soit en Cuivre (σ = 6 10 7 S/m). La perméabilité prise dans les calculs est celle de l’air quivaut (µ 0 =4π 10 -7 H/m). Après calcul, les résultats à 1 GHz sont, respectivement, de 2.05 µm et4.22 µm pour le Cuivre et le Laiton.Ces épaisseurs de peau ne vont représenter qu’un faible pourcentage par rapport auxépaisseurs du câble ou du plan de masse (respectivement 0.36% et 1.5% d’un câble desection 1mm²). Nous allons nous limiter, dans nos simulations de peur d’atteindre les limitesdu logiciel de simulation électrique SPICE), à une décomposition dont la plus petite partie nedépasserait pas les 0.5% de la section : généralement et par soucis de symétrie nous utilisionsdes décompositions « 1% - 98% - 1% ».L’effet de proximité et l’effet de peau sont perceptibles dans l’exemple suivant, nous reprenonsle modèle de la FIGURE II-27 dans lequel nous découpons la section en quatre couches égales(25% de la section chacune) comme le montre l’illustration de la FIGURE II-34.Nous avons choisi de donner les mêmes dimensions aux couches pour mieux faire apparaitreles effets de peau et de proximité, les courants auront de ce fait la même valeur initiale, puissous les effets cités, le comportement variera suivant le positionnement de chaque couche.La FIGURE II-35 nous montre les distributions du courant dans les branches du câble, à l’imagedu travail effectué dans le CHAPITRE I, nous remarquons que les portions véhiculant un fortcourant sont les portions extérieures du câble. Les courants en basse fréquence ont une mêmevaleur de départ, et plus on monte en fréquence, plus les effets de peau et de proximité sefont ressentir.Figure II-34 – Décomposition d’un dispositif en quatre couches77

Chapitre IICourant (A)0.030.0250.020.0150.01Le Courant dans le Câble à la hauteur 5 mm - T = 5 cmPartie BassePartie Moy BassePartie Moy HautePartie Haute0.005010 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)Figure II-35 – Distribution du courant dans le dispositif à la hauteur 5 mmLes deux parties externes de notre décomposition (appelées dans nos figures : Partie Basse etPartie Haute) bénéficieront des plus forts courants avec une préférence pour la partie bassecar elle est plus proche du plan de masse (effet de proximité oblige). Dans les couchesinternes, le courant sera très faible voire quasi inexistant.Nous avons observé la distribution du courant au niveau des trois hauteurs du câble quepropose notre dispositif. A la première, la distance séparant le câble du plan de masse est de5mm, à la deuxième elle est de 20 mm et de 25 mm à la troisième.Courant (A)0.0120.010.0080.0060.004Le Courant dans le Câble à la hauteur 20 mm - T = 5 cmPartie BassePartie Moy BassePartie Moy HautePartie Haute0.002010 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)(A) à la hauteur 20 mm78

Chapitre II0.0140.0120.01Le Courant dans le Câble à la hauteur 25 mm - T = 5 cmPartie BassePartie Moy BassePartie Moy HautePartie HauteCourant (A)0.0080.0060.0040.002010 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Fréquence (Hz)(B) à la hauteur 25 mmFigure II-36 – Distribution du courant à la 2 ème et 3 ème hauteurPour cette raison et comme nous le constaterons sur la FIGURE II-36, l’effet de proximité nesera pas aussi significatif que sur la FIGURE II-35 car la distance séparant le câble du plancommence à être conséquente, et si l’on augmente encore plus cette distance, les allures despartie haute et basse seront confondues et de même pour les deux parties moyennes. C’estpour cela que l’écart entre ces parties se réduit considérablement dans la FIGURE II-36.De ce fait, par rapport à cette décomposition, l’influence sur la valeur de l’impédance ne serapas extraordinaire car la décomposition est quelque peu sans réel sens physique.Une double décomposition (horizontale et verticale) en 1% - 98 % - 1% serait plus réaliste.Cependant les effets du découpage de la section se révèlent être plus contrariants quefructueux. D’abord par le fait de créer des éléments additionnels à la discrétisation, si notredispositif est d’une taille conséquente cela fera en sorte d’augmenter copieusement le tempsde simulation. Le second inconvénient est le plus important car il concerne directementl’influence sur les résultats des simulations : à maintes reprises le fait de discrétiser sur lasection provoque certes une diminution sur les amplitudes des résonances, en revanche cetteamélioration s’accompagne souvent d’un retardement de la fréquence.L’ennui avec cette discrétisation est que les épaisseurs de peau calculées aux fréquencessouhaitées sont tellement minces comparées à la section des conducteurs modélisés, que leurprise en compte se résume à créer des couches minces qui sont fréquemment à l’origine desdivergences du logiciel électrique SPICE (comme cela se produisait avec la simulation circulaireoptimisée). Nous montrons dans la FIGURE II-37 un exemple de résultat d’une simulationintégrant la discrétisation sur la section.79

Chapitre II16001400WpiTesTpiTesTMesure1200Amplitude (ohm)100080060040020000 1 2 3 4 5Fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure II-37 – Exemple d’une simulation incluant la discrétisation en sectionCependant, la discrétisation en section des dispositifs peut apporter de réelles améliorationsquand celle-ci est effectuée proprement et en concordance avec les phénomènesélectromagnétiques.Dans la partie qui suit, nous allons expliciter un exemple suivant notre méthodologie desimulation en montrant sur différents aspects de simulation (simulation des dispositifs courtcircuitéset en circuit ouvert) ajouté à cela l’utilisation d’un autre moyen de mesure plusadapté à la mesure d’impédance.V. EXEMPLE RECAPITULATIFDans ce qui suit nous faisons une synthèse autour d’un exemple applicatif détaillé pourrésumer le processus de simulation de la méthode ainsi élaborée et aussi pour donner unavant goût sur l’application finale qui est pour sa part tirée d’un cas automobile réel.Dans cet exemple, en plus de la mesure d’impédance du câble chargé par une résistance de50Ω, nous allons faire deux autres mesures qui sont des mesures complémentaires à celle dudispositif en charge. En effet, nous effectuons une mesure en court-circuit et une mesure où ledispositif est laissé ouvert, ces montages correspondent respectivement à une charge nulle etinfinie.Les mesures quant à elles, ne sont pas effectuées avec l’analyseur de réseaux (comme ce futle cas jusqu’ici dans nos figures de confrontations) mais plutôt avec un analyseur d’impédance.L’analyseur d’impédance utilisé est un « AGILENT 4294A PRECISION IMPEDANCE ANALYZER : 40HZ -110MHZ », l’avantage de cet appareil est qu’il est spécialement conçu et dédié à la mesured’impédance, et sa précision de ce point de vue est incomparable (+/- 0.08 %).80

Chapitre IISon principal inconvénient est l’étroitesse de sa bande de fréquence, cet appareil offre unebande de fréquence entre 40 Hz et 110 MHz (il en existe d’autres modèles qui vont au-delà decette fréquence mais ils n’assurent pas la même précision, de plus ils n’étaient pas disponiblesau laboratoire).L’exemple traité ci-après est un cas plus complexe que ceux présentés jusqu’à présent, celui-cise compose d’un câble présentant plusieurs rotations orthogonales. Nous avons pris cetexemple à l’image des schémas de câblage dans les véhicules, ces circuits s’adaptent àl’espace alloué et à la forme de la carrosserie à laquelle ils s’attachent.Le dispositif est détaillé dans toutes ses dimensions dans la FIGURE II-38 :0.5 m0.5 mm5 mmCHARGE DETERMINAISON0.1 m1m(A) Dimensions du plan de masse0.1 m0.2 m0.2 m0.3 m0.4 m 0.1 m0.2m(B) Caractéristiques du câbleFigure II-38 – Dimensions du dispositif sous testLes simulations sont effectuées avec trois charges de terminaison différentes : une mesureavec une charge de 50 Ω, une deuxième avec une charge infinie (circuit ouvert) et unedernière mesure avec une charge nulle (court-circuit).On simule sur deux plages de fréquence différentes aidant à faire de bonnes confrontationsavec les mesures car on s’appuie sur les mêmes points fréquentielles, la première bande defréquence est équivalente à la mesure avec l’analyseur d’impédance (40 Hz – 110 MHz) et laseconde correspond à la mesure avec l’analyseur de réseaux (10 Hz – 1 GHz). Néanmoins,nous nous basons beaucoup plus sur les mesures issues de l’analyseur d’impédancesNous effectuons dans ces mesures les trois types de simulation présentés jusqu’à présent :ooola simulation PEEC classique : qui se base sur une modélisation classique,la simulation PEEC piTesT : avec un plan de masse réduit,la simulation PEEC WpiTesT : les éléments sont doublement discrétisés en longueur eten section. (le modèle WpiTesT est le prolongement du modèle piTesT avec en primedes décompositions en section)81

Chapitre IILa FIGURE II-39 présente le prototype utilisé en mesure, le maintien du câble en hauteur se faità l’aide de petites portions de plexiglas d’épaisseur égale à la hauteur souhaitée du câble.Figure II-39 – Prototype du dispositif sous testA. LA SIMULATION PEEC CLASSIQUELa discrétisation du dispositif (câble + plan de masse) est effectuée à base de cellule unitairede taille égale à 5cm, nous ne nous permettons pas de descendre au-delà car le tempsconsommé serait déraisonnable.La discrétisation du dispositif est montrée dans la FIGURE II-40, nous précisons à chaque fois lesens de la discrétisation du plan de masse : sur la FIGURE II-40, on voit le maillage du planselon sa longueur et sur la FIGURE II-40 le maillage dans le sens de la largeur.Dans nos simulations, nous incorporons les capacités de couplage capacitif à l’extrémité dechaque cellule partielle, nous ne considérons pas de couplage capacitif entre les éléments dumême câble, ces phénomènes là interviennent à des fréquences beaucoup plus élevées quenotre plage fréquentielle d’intérêt.(A) Maillage du Plan en longueur(B) Maillage du Plan en largeurFigure II-40 – Modélisation par la méthode PEEC classique82

Chapitre IIDans les deux courbes, nous retraçons les allures des impédances en fonction de la fréquence,dans la FIGURE II-41, la plage de fréquence d’étude ne nous montre que les premièresrésonances liées à l’inadaptabilité du câble. Une adéquation entre les mesures et lessimulations apparait, même si le résultat est encore perfectible.Dans la FIGURE II-41, l’accent est mis sur la comparaison à une large bande de fréquence, on yvoit la mesure réalisée avec l’analyseur de réseaux (AR) et celle effectuée avec l’analyseurd’impédance (AI). On y voit déjà la différence entre la mesure des deux appareils. Lasimulation à 5 cm se révèle être insuffisante pour couvrir la bande fréquentielle jusqu’à 1 GHz.800700PEEC ClassiqueMesure AIModule de l'Impédance - T = 5 cm600Amplitude (ohm)50040030020010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7(A) Simulation sur bande étroite(B) Simulation sur large bandeFigure II-41 – Comparaison des simulations et de la mesure83

Chapitre IINotons que la différence entre les amplitudes à la première résonance est de l’ordre de 200Ω,cette différence est importante car elle ne représente pas moins de 30% et 40% de la valeurde l’impédance en simulation et en mesure respectivement. L’objectif principal est de réduirecet écart au maximum.Nous effectuons aussi une comparaison entre la mesure d’impédance et sa simulation surl’abaque de Smith, elle est présentée sur la FIGURE II-42:Z mesuréeZ simuléeFigure II-42 – Comparaison de la simulation et de la mesure dans l’abaque de SmithDans la FIGURE II-42, les courbes dans l’abaque de Smith ont des allures assez similaires : enbasse fréquence, les deux courbes sont au centre de l’abaque correspondant à la charge 50Ω.La dissemblance est retrouvée à la résonance, c’est là ou les deux courbes se séparent, ce quifait que les valeurs de l’impédance, en mesure et en simulation, sont un peu écartées.Cependant, le comportement global des deux courbes est assez analogue, sachant que desperturbations de mesure ne sont pas à exclure.Pour viser de meilleurs résultats, nous devons discrétiser avec des cellules plus petites et doncnous devons utiliser la technique de réduction du plan de masse (piTesT) afin de pouvoireffectuer des simulations à base de cellules plus petites.B. LA SIMULATION PEEC PITESTDans cette catégorie de simulation, on a effectué trois discrétisations différentes, à base decellules de longueur égale à 5 cm, 2.5 cm et 1 cm. Nous comparons ces simulations, pour faireapparaitre l’effet apporté par l’affinement de la cellule de discrétisation sur les résultats.Sachant que la longueur d’onde à 1 GHz est de 30 cm, et selon les règles en vigueur dans ledomaine de la modélisation en hautes fréquences, nous devons simuler avec une tailleinférieure au dixième ou au vingtième de la longueur d’onde. Pour cela, la simulation à 2.5 cmreprésente la simulation inférieure à λ/10 et la simulation à 1 cm représente la simulationinférieure à λ/20.84

Chapitre IINous montrons dans la FIGURE II-43, le maillage piTesT de la structure sous test. Le maillageest à base de cellules de taille égale à 5 cm, contenant la discrétisation partielle du plan demasse (avec la technique piTesT).Figure II-43 – Modélisation par la méthode piTesTSur l’échelle fréquentielle de simulation (40 Hz – 110 MHz) relative à celle utilisée en mesureavec l’analyseur d’impédance, le résultat de cette simulation est le suivant :800700piTesTMesure AIModule de l'Impédance - T = 5 cm600Amplitude (ohm)50040030020010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7Figure II-44 – Comparaison des simulations et des mesuresSur la FIGURE II-44, on y voit la simulation PEEC piTesT pour une discrétisation à 5 cm. Nous yremarquons que les résonances, en mesure et en simulation, sont bien synchronisées auniveau des fréquences, cependant le problème de l’amplitude persiste encore. Nous yremédierons avec l’affinement des cellules de maillages.Avant cela, on montrera une comparaison de la simulation piTesT à 5cm avec la mesure surl’abaque de Smith (FIGURE II-45), le constat est le même que le précédent, c'est-à-dire qu’enbasse fréquence le point de départ des deux courbes est au centre de l’abaque.85

Chapitre IIAvec la montée en fréquence, l’éloignement se produit entre la mesure et la simulation, ladifférence qu’on voit sur la FIGURE II-44 se reproduit sur l’abaque de Smith, mais dans celle-cila différence est plus apparente.Z mesuréeZ simuléeFigure II-45 – Comparaison sur abaque de SmithPour revenir à l’affinement du maillage, nous pouvons dire que ce dernier agira beaucoup plusvisiblement sur les fréquences de résonances que sur l’amplitude, bien que cette dernièrebaissera légèrement jusqu’à atteindre une limite où les améliorations ne seront plusperceptibles. C’est pour cette raison, en plus des considérations liées au temps de calcul, quenous n’avons pas simulé en deçà de 1 cm.800700PEEC ClasspiTesT 1cmMesure AI600Amplitude (ohm)50040030020010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7Figure II-46 – Comparaison des simulations et de la mesure86

Chapitre IID’un autre coté, les effets de la discrétisation sont plus évidents sur une large bandefréquentielle, car la bande de fréquence couverte par la FIGURE II-46 se limite à 110 MHz, lalongueur d’onde correspondante à cette fréquence est de quasiment 3 m, donc les deuxvaleurs de discrétisations (5 cm et 1 cm) sont inférieures au dixième de la longueur d’onde etdu coup la différence est légère.900800PEEC ClasspiTesT 10 mmMesure AI700Amplitude (ohm)60050040030020010000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Fréquence (Hz)x 10 8Figure II-47 – Comparaison dans la large gamme de fréquenceNous montrons à titre d’exemple dans la FIGURE II-47, la comparaison entre les simulationsPEEC classique de 5 cm et la simulation piTesT de 1cm. Dans cette figure, les différencesdeviennent de plus en plus visibles à partir de 300 à 400 MHz et sont beaucoup plus flagrantesau-delà de 600 MHz. A cette dernière fréquence, la longueur d’onde est de 50 cm et donc lacellule à 5 cm est à la limite du dixième de cette longueur d’onde. C’est pour cette raison queles écarts dans ces fréquences là sont plus importants.C. LA SIMULATION PEEC WPITESTA présent, et afin d’améliorer le comportement de l’impédance simulée, nous devons prendreen compte les effets de peau et de proximité lors de la simulation : c'est-à-dire d’inclure lemaillage en section dans la discrétisation géométrique.1 %98 % 1 %0.5 %99 % 0.5 %(A) Découpage en « 1% - 98% - 1% » (B) Découpage en « 0.5% - 99% - 0.5% »Figure II-48 – Maillage en section des câbles87

Chapitre IILa profondeur de peau à 100 MHz pour le Laiton est de 13.35 µm. cette épaisseur représenteplus de 1% par rapport à la dimension du câble. Pour cette raison, nous avons effectué deuxsimulations qui prennent en compte le maillage en section. Ces simulations sont définiescomme suit, la section du conducteur est décomposée en trois parties horizontalement etverticalement de façon à faire apparaitre le contour du câble dans le maillage. La premièredécomposition est maillée sur la base « 1% - 98% - 1% » et la seconde selon « 0.5% - 99% -0.5% » comme le montre la FIGURE II-48.Nous effectuons ces discrétisations pour deux longueurs de cellules différentes, pour plusd’efficacité nous simulons directement avec les longueurs 2.5 cm et 1 cm. Sachant que ledécoupage de la FIGURE II-48 va entraîner la création de nombreux éléments, les temps decalculs que cela engendre vont être supérieurs à ceux constatés pour la modélisation piTesT.Nous effectuerons un récapitulatif des temps de simulation en conclusions de ces tests.La FIGURE II-49 nous montre la différence entre deux simulations d’une même décomposition(en l’occurrence « 1% - 98% - 1% ») à base de deux longueurs de cellules différentes 2.5 cmet 1 cm. Nous remarquons, comme cela a été le cas dans une comparaison antérieure, quedans cette bande de fréquence les différences ne sont pas flagrantes, voire inexistantes.C’est dans cette optique que dans ce qui suit comme simulations, nous n’évoquerons que lessimulations se basant sur des cellules de longueur de 2.5 cm.70060025 mm10 mm500Amplitude (ohm)40030020010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7Figure II-49 – Comparaison des simulationsDans la FIGURE II-50, nous verrons la différence entre les décompositions de la FIGURE II-48.Bien que la bande fréquentielle ne nous montre pas une grande différence, les améliorationsapportées sont très intéressantes.En effet, la différence se fait sentir plus sur le début de la seconde résonance que sur lapremière, quoiqu’il existe une légère différence dans cette première résonance notamment enfréquence.88

Chapitre II7006001 98 10.5 99 0.5Mesure AIModule de l'Impédance - T = 25 mm500Amplitude (ohm)40030020010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7Figure II-50 – Comparaison des simulations et de la mesureNous remarquons que grace à la prise en compte des effets de peau et de proximité, nousparvenons à corriger la réponse fréquentielle de l’impédance du câble pour la rapprocher leplus possible de l’impédance mesurée.La FIGURE II-51 nous montre les corrections apportée par ces deux derniers modèles parrapport à la modélisation PEEC Classique et aussi par rapport au piTesT, avec bien sûr unepréférence pour la modélisation « 0.5% - 99% - 0.5% ». L’écart d’amplitude de la premièrerésonance, entre la simulation et la mesure, est réduit de moitié.800700600PEEC ClasspiTesT1 98 10.5 99 0.5Mesure AIModule de l'Impédance - T = 25 mmAmplitude (ohm)50040030020010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7Figure II-51 – Comparaison des simulations et de la mesure89

Chapitre IINous constatons les mêmes corrections sur l’abaque de Smith, les modifications d’impédancesont plus visibles et on retrouve une bonne concordance entre la mesure et la simulationsurtout pour la première résonance comme le montre la FIGURE II-52 :Z mesuréeZ simuléeZ mesuréeZ simulée(A) Simulation PEEC Classique (B) Simulation WpiTesT « 0.5% - 99% - 0.5% »Figure II-52 – Comparaison entre les simulations et les mesuresPour valider nos conclusions, nous avons étudié deux autres montages du schéma de câblageici présenté, la différence résidait dans les charges de terminaison : le premier montage étaiten circuit ouvert équivalent à une charge infinie (que l’on appellera OPEN) et le second étaitterminé par un court circuit équivalent à une charge nulle (que l’on appellera SHORT).Nous n’exposerons pas tous les résultats comme ce fut le cas du montage 50 Ω, nous nouscontenterons de montrer les améliorations apportées par les simulations depuis le modèle desimulation PEEC Classique.Les résultats des mesures sont illustrés dans la FIGURE II-53, ces mesures d’impédances enSHORT et en OPEN se révèlent être très sensibles, nous avons dû faire de légères corrections surces dernières pour qu’elles soient acceptables sur toute la bande de fréquence.(A) Mesure en OPEN(B) Mesure en SHORTFigure II-53 – Les mesures d’impédances des montages SHORT et OPEN90

Chapitre IIA signaler que les mesures ici effectuées présentent des irrégularités assez étranges qui netrouvent pas d’explications cohérentes. Nous voyons, par exemple, que la mesure en OPEN quithéoriquement devait être dans le contour extérieur de l’abaque, se retrouve sérieusementperturbée.Nous avons effectué la même compagne de simulation que pour le cas de la charge 50 Ω,allant de la simulation PEEC Classique jusqu’aux simulations WpiTesT (maillage sur la section)en passant par la méthode piTesT.Pour les simulations en OPEN, l’impédance devrait, en théorie, être d’une valeur infinie, or qu’enmesure elle sera de l’ordre du giga ohm (10 9 Ω), et sera de l’ordre du méga ohm (10 6 Ω) ensimulation en raison des spécifications du simulateur électrique SPICE. C’est pour cette raisonque le premier point de comparaison (à 40 Hz), entre la mesure et la simulation, estlégèrement différent.La FIGURE II-54 montre des comparaisons pour le montage OPEN : la première concerne lasimulation PEEC Classique à 5 cm, les allures sont très similaires avec de légers écarts sur lesamplitudes des résonances. Ces écarts sont réduits considérablement avec la méthode piTesTet encore plus avec la technique WpiTesT.Module de l'Impédance - T = 5 cm10 1 0 Fréquence (Hz)10 8PEEC ClassiqueMesure AIAmplitude (ohm)10 610 410 210 010 -210 2 10 4 10 6 10 8Figure II-54 – Simulation OPEN en PEEC Classique à 5 cmLes améliorations apportées à ce modèle sont visibles sur la courbe suivante relative à lasimulation WpiTesT en 1cm, dans cette dernière la prise en comptes des effets de peau et deproximité ainsi qu’une discrétisation à 1cm apportent de nombreuses satisfactions avecnéanmoins une augmentation du temps de calcul, mais celui-ci reste acceptable.91

Chapitre IIWpiTesTMesure AI10 8 Fréquence (Hz)10 6Amplitude (ohm)10 410 210 010 2 10 4 10 6 10 8Figure II-55 – Simulation OPEN en WpiTesT à 1 cmPour une comparaison en Abaque de Smith, la mesure présentée dans la FIGURE II-53 nousmontre une variation en fréquence de l’impédance qui démarre de la valeur correspondante àune charge nulle (à l’extrême droite de l’abaque sur l’échelle réelle) pour ensuite effectuer descercles d’impédances relatifs aux résonances perçues dans les FIGURE II-54 et FIGURE II-55.Nous arrivons à reproduire ces cercles d’impédances variées sur nos simulations (FIGURE II-56),où pour la simulation PEEC Classique (FIGURE II-56) le rayon des cercles d’impédance estconstant sur le contour extérieur de l’abaque, et l’impédance prend successivement descomportements inductifs puis capacitifs. La simulation WpiTesT (FIGURE II-56), de part sesdiscrétisations en sections, fait apparaitre des modifications du rayon d’impédances puisque cemodèle permet de prendre en compte la variation en fréquence de la partie résistive del’impédance.(A) Simulation PEEC Classique (B) Simulation WpiTesT « 1% - 98% - 1% »Figure II-56 – Comparaison des simulations et de la mesure92

Chapitre IIEn ce qui concerne le montage SHORT, nous pouvons émettre les mêmes conclusions que pourle cas open. Dans ce cas là, le comportement de l’impédance est inverse, sa valeur démarred’une valeur quasi nulle, correspondante à l’extrême gauche sur l’axe réel de l’abaque deSmith comme le montre la FIGURE II-53.Nous retrouvons les effets inverses par rapport au montage précédent : l’impédance, en bassefréquence, est quasi-nulle puis avec la montée en fréquence des phénomènes de résonancesdus à l’inadaptabilité de la ligne. Ces phénomènes de résonances que l’ont retrouve danschaque montage ont la particularité d’apparaitre aux mêmes fréquences. Celles-ci sontdirectement liées à la géométrie du montage.La FIGURE II-57 nous montre la simulation par la méthode PEEC Classique avec des cellules de5 cm de long, les allures sont très proches, les fréquences de résonances ne sont pas trèsdifférentes mais les amplitudes constituent la principale dissemblance. Cette dernière seracorrigée avec les techniques de modélisation WpiTesT.Les effets de la discrétisation, comme cela a été le cas pour les deux montages précédents, nepeuvent pas être très visibles sur la bande de fréquence d’intérêt, les raisons invoquées pourle montage chargé par 50 Ω restent toujours valables et justifient également les petitesaméliorations apportées par l’affinement du maillage.Module de l'Impédance - T = 5 cm10 6 Fréquence (Hz)10 5PEEC ClassiqueMesure AI10 4Amplitude (ohm)10 310 210 110 010 -110 2 10 4 10 6 10 8Figure II-57 – Simulation SHORT en PEEC Classique à 5 cmLe maillage WpiTesT nous donne les mêmes satisfactions à chaque fois, il nous permet deprendre en compte les variations d’impédances avec plus de justesse que les autres modèles.Cette décomposition donne la possibilité à la partie réelle de l’impédance de varier et ainsicréer les variations que l’on retrouve lors de la mesure.La FIGURE II-58 nous montre le résultat de cette modélisation pour la décomposition « 1% -98% - 1% » avec un pas de simulation de 1 cm :93

Chapitre IIModule de l'Impédance - T = 1 cm10 6 Fréquence (Hz)10 5WpiTesTMesure AI10 4Amplitude (ohm)10 310 210 110 010 -110 2 10 4 10 6 10 8Figure II-58 – Simulation OPEN en WpiTesT à 1 cmDe même pour la comparaison sur l’abaque de Smith :Z mesuréeZ simuléeZ mesuréeZ simulée(A) Simulation PEEC Classique (B) Simulation WpiTesT « 1% - 98% - 1% »Figure II-59 – Comparaison des simulations et de la mesureLes observations sont identiques aux cas précédents, où la simulation PEEC Classique resteconfinée sur un cercle de rayon constant, tandis que la simulation WpiTesT permet la variationdu rayon du cercle d’impédance, avec toutefois être quelques dissemblance avec la mesure,les plus important est que les allures sont très proches et les comportements obtenus ensimulation et en mesure suivent les mêmes règles de variation.Pour clore ce chapitre, nous effectuons une synthèse sur la méthode de simulation obtenue, enmontrant par la même occasion quelques résultats additionnels.94

Chapitre IIVI.SYNTHESENotre processus de simulation a prouvé toute son efficacité à travers l’exemple présenté à lafin de ce chapitre, cet exemple présentait des montages conçus de façon à êtrecomplémentaires, de cette façon les conclusions que l’on pourra avoir, après le déroulementdes différents résultats, sont que la méthodologie de simulation adoptée donne des résultatstrès fiables sur lesquelles nous pouvons nous appuyer.Les temps de simulations que consomme notre application sont très encourageants. Suivant ledegré de précision souhaité, notre outil présente une manière de fonctionner, ainsi : le montage PEEC Classique permet de retrouver en détails les données électriques queprésente le dispositif sous test (les tensions, les courants, les impédances, lescouplages… etc.) en tout point, le montage piTesT permet d’effectuer des simulations extrêmement rapides ainsi quedes simulations avec des pas de discrétisation très petites (plus petites que dans lePEEC Classique), le montage WpiTesT est plus complet que le piTesT car il intègre les effets de peau etde proximité dans sa modélisation, ce qui concède à l’impédance un comportement trèsproche du comportement réel, permettant de ce fait à la partie résistive de varier enfréquence. Les résultats que l’on obtient avec ce modèle sont très précis.La compagne de validation de ce processus a été très large et très variée, et à chaque fois lesmesures et les simulations ont été très similaires, les couplages capacitifs qui ont étéincorporés de plusieurs manières différentes ont suscités des satisfactions identiques car lesvaleurs obtenues par les différents processus de calcul ont toujours été du le même ordre.Nous présenterons ici quelques autres courbes de comparaison entre des simulations et desmesures, la concordance y est fortement appréciée pour certains cas.Un fil droit au dessus d’un plan de masse :700600WpiTesTMesure AIModule de l'Impédance - T = 2.5 cm5000.5 m0.2 m5 mm0.5 mm50 ΩA m p lit u d e (o h m )4003002001 m10000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7(A) Modèle géométrique(B) Simulation WpiTesTFigure II-60 – Comparaison des simulations et de la mesure95

Chapitre IIUn fil à deux hauteurs :800700WpiTesTMesure AIModule de l'Impédance - T = 1 cm6000.5 m5 mm0.2 m0.5 m5 mm50 Ω0.5 mA m p lit u d e (o h m )5004003002001001 m00 2 4 6 8 10 12Fréquence (Hz)x 10 7(A) Modèle géométrique(B) Simulation WpiTesTFigure II-61 – Comparaison des simulations et de la mesureUn fil à trois hauteurs :900800WpiTesTMesure AIModule de l'Impédance - T = 1 cm7006000.4 m5 mm0.3 m0.3 m 5 mm50 ΩA m p lit u d e (o h m )5004003000.2 m5 mm1 m0.5 m(A) Modèle géométrique20010000 2 4 6Fréquence (Hz)8 10 12x 10 7(B) Simulation WpiTesTFigure II-62 – Comparaison des simulations et de la mesureDans ces dernières courbes (FIGURE II-60, FIGURE II-61 & FIGURE II-62), nous présentons lesrésultats de simulation du même dispositif avec une complexité évolutive, où le nombre devariations (en hauteur pour cet exemple) augmente de manière progressive. Les résultats dessimulations présentées (en mode WpiTesT) sont en bonne adéquation avec les mesures. Cesdernières qui ont été effectuées avec l’analyseur d’impédance correspondent parfaitement ànos simulations, cet appareil s’avère être très précis dans ce genre de mesures.Cela confirme les hypothèses précédemment émises sur les erreurs de mesures commisesavec l’analyseur de réseaux, surtout en matière d’amplitude. Nous avons eu des concordanceséquivalentes pour les montages en circuit ouvert (OPEN) et en court-circuit (SHORT).96

CHAPITRE III97

Chapitre IIINous allons consacrer ce chapitre à l’étude d’applications concrètes, nous utilisons notre outilde simulation dans des cas ayant un cahier de charge précis et des objectifs clairs.Le premier cas étudié est un exemple assez atypique car il ne fait pas partie des applicationspréalables auxquels nous pensions lors de l’élaboration de cet outil. Cette applicationcomprend la simulation d’un processus de mesure réalisé avec un banc champs proches. Cebanc là est un des moyens de mesures disponibles au sein de notre laboratoire et ce type demesures constitue une de ses spécialités.Le second exemple est, pour sa part, directement dérivé d’un cas concret de l’industrieautomobile. En effet nous allons faire l’étude d’un schéma de câblage automobile en présencede plusieurs plans de masse. Ce cas test est un schéma usuel en automobile, il présente laliaison entre deux moteurs essuie glace placés à l’avant du véhicule alimentés par une batteriequi se trouve à distance dans le véhicule. Nous ferons une caractérisation fréquentielle de ceplan de câblage par la méthode PEEC pour d’abord tirer son schéma électrique équivalent etensuite faire une étude aux perturbations qu’apporteraient les deux moteurs et la batterie.Nous présenterons en détails ces deux exemples dans ce qui suit :I. APPLICATION « SONDE CHAMP PROCHE »1. INTRODUCTIONLa mesure des champs électromagnétiques tient une place très importante dans diverssecteurs techniques et en particulier dans les cadres d’études en CEM. Les techniquesélectroniques sont importantes pour les études en émission ou en immunité des dispositifs. Cetype de mesures est un savoir faire et une des spécialités de notre laboratoire.Nous savons que la circulation du courant dans les composants électroniques ou les circuitsproduit un champ électromagnétique proportionnel à ce dernier. Ainsi, le courant mesuré dansun banc de mesure en champ proche est directement lié au champ magnétique émis par lastructure sous test. Par ailleurs, un second type de mesure, est consacré pour sa part à lamesure des champs électriques émis par les composants ou les systèmes électroniques.Dans cette application, les mesures présentées ont été toutes effectuées avec le banc demesure champ proches de l’IRSEEM [50][51] : ce dernier, présenté dans la FIGURE I-1, est unbanc de mesure automatisé basé sur la méthode de mesure dite « directe » [50][51], ce bancest piloté par un logiciel qui gère les déplacements des sondes, l’acquisition des données ainsique leurs traitements à travers un ordinateur de contrôle. L’équipement sous test est relié à ungénérateur pour l’alimentation et la sonde est connectée à un analyseur de spectre et/ou unanalyseur de réseaux pour la lecture des résultats. C’est un banc qui possède trois axes dedéplacement avec pas mécanique de 5 µm.L’EST est disposé dans la zone de mesure comme le montre la photo de la FIGURE III-1. Lasonde, pour sa part, est placée sur le bras amovible du banc de façon à pouvoir faire unbalayage au dessus de cet EST.Pour effectuer des mesures en champs proches, le banc de mesure est équipé de différentessondes de mesure. Suivant la nature de la mesure à effectuer, les sondes sont classées endeux familles différentes : les sondes électriques et les sondes magnétiques [50][51]. Notreétude s’intéressera à la seconde famille.99

Chapitre IIIFigure III-1 – Dispositif de mesure en champ procheLes mesures du champ magnétique sont effectuées à l’aide de sondes ayant à leursterminaisons de petites antennes boucles en technologie microruban ou filaire. Ces antennessont en forme de boucle ronde ou carrée, et doivent être de très petites dimensions, parrapport à la longueur d’onde, pour éviter d’induire à leur tour des perturbations. La forme deces antennes se justifie par le principe de mesure, celui-ci repose sur le fait que ces antennesvont convertir l’énergie électromagnétique rayonnée par le dispositif en une onde guidée pardes câbles jusqu’au récepteur de la mesure.Avant d’effectuer des mesures en champ proches, nous nous devons de passer par une étapede calibrage des sondes [52]. Cette étape est primordiale, elle permet de valider l’utilisationdes sondes de mesures. Ce calibrage des sondes se fait sur un cas d’étude simple pour lequelune connaissance théorique préalable est disponible, un exemple simple consiste en une pisteau dessus d’un plan de masse, où les équations électrostatiques sont les facteurs qui nouspermettent de valider les différentes mesures effectuées avec les sondes en question.2. PRESENTATION DE LA METHODE DE CALIBRAGE DES SONDESLa mesure que nous modélisons dans cette partie, à l’aide de la méthode PEEC, est unemesure du champ magnétique rayonné par une ligne au dessus d’un plan de masse. La sondede mesure utilisée dans ce processus est une sonde magnétique de type boucle carrée entechnologie filaire, cette boucle est illustrée dans la FIGURE III-2.Ce type de sonde est appelé « sonde non différentielle » : en effet, la boucle filaire est reliéeentre l’armature extérieure du câble coaxial et son âme centrale, la boucle récolte le champmagnétique rayonné sous forme d’un courant. Ce courant va circuler le long du câble vers lerécepteur de mesure du banc. Ce courant traduira directement le champ électromagnétiquedétecté.100

Chapitre IIIFigure III-2 – La sonde de mesure : boucle « non différentielle »La boucle non différentielle (FIGURE III-3) porte cette appellation par opposition aux bouclesdites différentielles (FIGURE III-3). Celles-ci sont fabriquées à partir des conducteurs centrauxde deux câbles coaxiaux adjacents, où leurs âmes centrales sont coudées et soudées entreelles formant ainsi une boucle carrée. Les conducteurs extérieurs de ces câbles coaxiaux sontsoudés afin d’assurer une bonne continuité de masse. Le calcul des champsélectromagnétiques se fait par le calcul de la différence des informations recueillies par cesdeux points de mesure.(A) boucle « non différentielle » (B) boucle « différentielle »Figure III-3 – Les sondes de mesure101

Chapitre IIID’un autre coté, nous avons choisi la boucle non-différentielle carrée, car elle répondentièrement aux caractéristiques propres de la méthode PEEC, sa forme carrée estparfaitement adaptée à la méthode de modélisation. Nous réduisons alors les probabilitésd’erreur par rapport au choix par exemple d’une boucle circulaire, où les approximations sur samodélisation par des éléments orthogonaux peuvent produire des erreurs en simulation. Anoter également que la boucle non différentielle est, toujours en comparaison à la boucledifférentielle, plus facile d’utilisation mais reste cependant plus limitée en fréquence, l’intérêtd’une telle étude est donc de nous intéresser à cette limite pour déterminer les principauxfacteurs qui causent ce genre de limitation fréquentielle.La FIGURE III-4 présente les dimensions de la boucle, celle-ci est en Cuivre et le diamètre du fille constituant est de 0.25 mm. Toutefois, dans la modélisation PEEC nous avons considéré lecâble en forme orthogonale comme le montre la FIGURE III-4, la section du câble est priseégale à (0.25 mm)². Aussi, nous n’avons pas modélisé le câble coaxial dans nos simulations,nous nous sommes contentés de la boucle de mesure.1.8 mmCâbleCoaxial2.9 mm0.25 mmFigure III-4 – Dimensions de la sonde de mesure2.9 mm3. PRESENTATION DE LA MESURELa mesure en question dans cette application consiste à faire un balayage horizontal avec lasonde de mesure au-dessus de notre équipement sous test (EST). Ce dernier se composed’une ligne au-dessus d’un plan de masse à une hauteur absolue égale à 1 mm. Ce dispositifest montré sur la FIGURE III-5 et ses dimensions sont explicitées dans la FIGURE III-6.Figure III-5 – Le dispositif sous test : la ligne au-dessus d’un plan de masse102

Chapitre IIILa ligne et le plan de masse sont en Cuivre, le diamètre de la ligne est de 3 mm et l’épaisseurdu plan de masse est de 1 mm. La ligne est située au milieu du plan sur l’axe de la largeur, lesconnexions aux extrémités sont assurées par des connecteurs SMA comme le montre la photode la FIGURE III-5.ZXY10 cm1.5 mm1 mm 4 cm8 cmFigure III-6 – Détails du dispositif « ligne au dessus d’un plan de masse »La sonde de mesure récolte les champs électromagnétiques rayonnés par la ligne, alimentéepar générateur avec une puissance de 10 dBm, qui se traduit par un courant qui parcourt cetteligne et qui est à l’origine et en même temps proportionnel au champ rayonné par l’EST.La boucle est orientée sur le plan (OXZ) de façon à mesurer la composante sur l’axe Y duchamp magnétique (H Y ), car une des propriétés de ce genre de mesure est que celle-cis’effectue en orientant la boucle perpendiculairement à la composante du champ désirée. Cesdétails sont illustrés FIGURE III-7.Pour effectuer la mesure, la sonde est placée à une hauteur constante au-dessus de la ligne (à1mm dans notre cas), où cette sonde fait un déplacement horizontal sur une droite de l’axe Yentre deux limites représentées par les extrémités du plan de masse.Le FIGURE III-7 explique cette manipulation, où l’on montre les positions extrêmes de la sondeainsi que la position la plus proche de la ligne :ZXY1 mm2.5 mmFigure III-7 – Dispositif de mesure en champ procheLe balayage de la boucle est effectué au dessus de la ligne à une hauteur constante avec unpas de déplacement de 100 µm. Ce balayage est délimité par les dimensions du plan de massedu dispositif sous test.103

Chapitre IIILa mesure est effectuée sur une large bande de fréquence couvrant de la basse fréquencejusqu’à atteindre les fréquences de l’ordre de 3 GHz. Le profil du champ magnétique mesuré,pour deux positions de la sonde, est montré dans la FIGURE III-8, ces courbes représentent lavariation du paramètre de transmission (S 21 , en dB) en fonction de la position de la sonde audessus de la ligne, le maximum est atteint dans la position (Y=0 mm) qui correspond à laposition centrale de la boucle par rapport à la ligne. Pour effectuer cette mesure, nous relionsle premier port de l’analyseur de réseaux à la ligne et nous relions le second port à la sonde demesure de manière à pouvoir récolter le couplage sonde/ligne sous forme de paramètre S 21 .Cette figure est un exemple de mesure à une fréquence de 500 MHz, elle regroupe les mesuresur deux positions de la sonde : à 0° et à 180° (où la sonde est tournée d’un angle de 180°).Nous remarquons une certaine symétrie de la mesure avec des comportements identiques auxdeux extrémités de la mesure. Nous remarquons également que les deux mesures sont quasiidentiqueset les seules infimes différences qui apparaissent ne sont dues qu’à la non symétriede la boucle qui constitue la sonde. [53]Orientation 0°Orientation 180°Figure III-8 – Les mesures en champ proche à 500 MHz, comparaison entre deux orientations4. PROBLEMATIQUED’après la compagne de mesures effectuées sur l’EST, il s’est avéré qu’à partir d’une certainefréquence (dépendante des dimensions de la sonde), la réponse devenait quelque peuperturbée et n’avait plus les mêmes allures que les champs théoriques (FIGURE III-9). Nousatteignons de ce fait la limite fréquentielle de la sonde utilisée.Orientation 0°Orientation 180°Figure III-9 – Les mesures en champ proche à 2 GHz, comparaison entre deux orientations104

Chapitre IIIPlusieurs suppositions ont été faites sur l’origine de ces perturbations et celle qui revient leplus supposait qu’au-delà d’une certaine fréquence, le couplage capacitif entre la boucle etl’EST devenait si important que le courant récolté par la sonde se voit à son tour perturbé.Dans ce sens, nous avons entrepris de schématiser cette procédure de simulation et de lareproduire selon notre méthodologie la simulation. Ainsi, par cette méthode, nous modélisonsl’ensemble « Boucle + Ligne + Plan de masse » de manière à reconstituer la mesure. Le butest de refaire une compagne de simulation analogue à celle effectuée en mesure, l’atout quepeut apporter la méthode PEEC, est que dans cette dernière nous pouvons séparer lesphénomènes de couplage dans la simulation, de cette façon nous pouvons opérer dessimulations qui ne prennent pas en compte les couplages capacitifs par exemple.La simulation consistait à modéliser et discrétiser l’ensemble (EST + Sonde), définir les circuitsadditionnels et les paramètres ou conditions de simulation puis opérer la simulation électriquesous SPICE, pour enfin analyser les résultats.Le résultat d’une simulation se traduit, comme dans la mesure réelle, par le calcul du courantqui circule dans la boucle, ce dernier reflète le champ magnétique rayonné par la ligne aucentre de la boucle. Pour simuler le balayage au dessus de l’EST, nous devons exécuter unesimulation pour chaque position de la sonde au dessus de la ligne, le pas de déplacement de lasonde est donc choisi à notre convenance et généralement on l’estime par rapport au temps decalcul que consommerait une seule simulation. L’idéal serait d’effectuer des simulations avecun pas égal à celui utilisé en mesure (100µm), voire plus petit.La modélisation, par la méthode PEEC, sera comparée avec le champ magnétique obtenu parle calcul électrostatique [52][53]. Les études précédentes ont montré que les mesures étaienten bon accord avec le champ obtenu par le calcul [52][53].5. LA MODELISATIONNous modélisons, selon les propriétés de la méthode PEEC, l’ensemble constitué de la boucleet de l’EST, en respectant au maximum les dimensions et les propriétés physiques de ceséléments pour rester fidèle aux éléments réels. La modélisation de la boucle est représentéedans la FIGURE III-10. Dans cette figure, on montre sur le même graphe différentes positionsde la boucle. Ainsi selon la position de notre repère, les coordonnées sur l’axe Y de cespositions sont :oooà 4cm et à -4cm : les positions extrêmes équivalentes aux bords du plan de masse,à la position Y = 0cm : correspondant au centre du plan de masse,à 2cm et -2cm : deux positions intermédiaires.ZXYFigure III-10 - Simulation du procédé de mesure105

Chapitre IIILes simulations ont été effectuées sur plusieurs positions de l’intervalle [-4 cm, 4 cm], laprécision de la simulation globale aidant à reconstituer le profil de mesure avec la sondedépendra du nombre de points choisis dans cet intervalle.La modélisation de cette structure a été réalisée selon les principes exposés dans les CHAPITRE Iet le CHAPITRE II. Le plan de masse est modélisé par la technique piTesT et est discrétisé,comme la ligne, sur sa longueur par des cellules volumiques comme le montre la FIGURE III-11.Figure III-11 – Maillage par la méthode PEEC de l’ensemble du dispositifNous avons montré une discrétisation à base de cellules centimétriques, dans notre compagnede simulation nous avons utilisé des cellules centimétriques et parfois nous avons poussé leprocessus en utilisant des cellules de l’ordre de 5mm ou 1mm pour affiner les résultats.La bande de fréquence utile visée dans nos simulations couvre l’intervalle entre 1Hz et 1GHz,le dixième de la plus petite longueur d’onde est de 3cm, nous assurons donc par lesdimensions citées auparavant le respect de la règle en vigueur de modélisation en hautesfréquences.La boucle, pour sa part, n’est pas discrétisée lors du maillage centimétrique, ses dimensions nesont que de 2.9mm de long. Elle est cependant maillée à base de cellules millimétriques,néanmoins les portions verticales de cette boucle n’ont pas été découpées, le calcul de leurcontribution est opéré en une seule fois quelque soit la taille de la cellule de maillage.Après le maillage, la question qui se pose est : comment prendre en compte les différentscouplages capacitifs entre les différents éléments de la structure ainsi faite ?A. CALCUL DES COUPLAGES CAPACITIFSEn ce qui concerne la ligne au-dessus du plan de masse, nous avons opté pour le calculanalytique des couplages capacitifs comme cela fut le cas pour les différents essais devalidation du CHAPITRE II. Nous avons donc inséré dans le circuit électrique équivalent descapacités égales au nombre des cellules de maillage, ces capacités sont liées entre la ligne etle plan de masse (FIGURE III-12).106

Chapitre IIIZSondeYXLignePlan de MasseFigure III-12 – Mode d’insertion des capacités de couplageUne seule exception est à noter dans ce processus d’insertion du couplage capacitif, elleconcerne la capacité de la portion au-dessus de laquelle se trouve la sonde de mesure. Eneffet, en présence de cette sonde, les lignes de champs émanant de la ligne ne se dirigent plustotalement vers le plan de masse comme c’est le cas des autres portions, mais dans ce cas là,les lignes de champs se partagent suivant deux directions majeures, une première partie seconcentrera toujours vers le plan de masse et la seconde partie sera en interaction avec laboucle se trouvant au dessus. La traduction de ces couplages en capacités se composera dedeux types de capacités, entre la ligne et le plan de masse et entre la ligne et la sonde.De son coté, le calcul des couplages capacitifs découlant de la sonde, se fait selon les principesde la méthode PEEC, qui opère une résolution séparée sur chacun des trois axes du repèreOXYZ. Dans ce sens, nous avons décomposé la sonde en quatre portions distinctes, demanière à donner naissance à deux portions horizontales parallèles à la ligne et deux autresportions verticales perpendiculaires à l’ensemble ligne et plan de masse.Le calcul des contributions capacitives des portions verticales se fait séparément par rapport àla ligne puis par rapport au plan de masse. Par rapport au plan, nous faisons le calcul enutilisant la formulation adéquate (équation (11)).En ce qui concerne le couplage avec la ligne, la FIGURE III-13 nous montre une vue de dessusde la portion verticale de la sonde schématisée au-dessus de la ligne, nous détaillons lesdimensions des différents éléments (ligne et sonde) pour montrer le rapport entre les largeurs.Pour effectuer le calcul capacitif, nous prenons la ligne comme étant un plan de masse dansl’énoncée de la formule. Ce choix est motivé par les dimensions de la boucle et del’EST (FIGURE III-13 : le fil de la boucle ayant un rayon très petit (0.25 mm) devant la ligne,qui, pour sa part, a un diamètre de 3 mm, le rapport entre les deux est alors assez grand pournous permettre de considérer que la ligne joue le rôle d’un plan de masse. C’est avec ceraisonnement que nous effectuons nos calculs relatifs aux parties verticales de la sonde.3 mm0.25 mm(A) vue de face(B) vue de dessusFigure III-13 – Vues montrant une portion verticale de la sonde et une portion de la ligne107

Chapitre IIID’un autre coté, le calcul des contributions des éléments horizontaux n’est pas simple, comptetenu de la proximité de ces portions vis-à-vis de la ligne et du plan de masse. La distance quisépare la ligne de la portion basse de la sonde n’est que de 1mm. Les formulations analytiquesse trouvant limité par rapport à ce cas de figure (les rayons des deux fils n’étant pasidentiques). Nous nous sommes alors tournés, pour effectuer ce calcul, à l’utilisation du logicielFD2D [8] présenté dans le CHAPITRE II, où ce logiciel nous a montré son utilité et sa fiabilité.Nous calculons en deux fois la matrice de couplage capacitif à partir d’une coupe en section dudispositif en question (FIGURE III-14), car nous procédons à un calcul séparé pour chaqueportion horizontale de la sonde. Les calculs sont opérés, également, pour différentes positionsde la sonde au dessus de la ligne suivant un pas de déplacement reflétant le degré deprécision souhaité. Les modélisations sur FD2D et leurs dimensions sont illustrées, pour laportion basse de la sonde, dans la FIGURE III-14.∅ S= 0.5 mmPartie basse de la SondeH S= 1 mmH Sa=2.75mmLignePlan de masseH L=2.5mm∅ L= 3 mmH La=1mm(A) Coupe en section (B) Dimensions et espacements (C) Modèle FD2DFigure III-14 – Le dispositif de simulation sur FD2DLa simulation se fait de la même façon pour les parties haute et basse de la boucle, la partiehaute étant élevée de 2.9 mm par rapport à la partie basse, le principe de simulation reste lemême en respectant cette distance. Nous ne simulons pas les deux parties en mêmes tempspour ne pas prendre en compte les interactions entre les deux portions de la sonde, car à nosfréquences de travail, ces interactions ne sont pas très importantes.Des résultats des simulations, on tire les capacités de couplage à insérer dans le montageélectrique, où de chaque simulation, on extrait trois capacités : la 1 ère entre la ligne et le plande masse, la 2 ème entre la boucle et le plan de masse et la dernière entre la boucle et la ligne.La FIGURE III-15 nous montre le procédé d’insertion de ces capacités entre la portion basse dela sonde et les cellules qui lui sont proches issues de la ligne et du plan de masse.SondeLignePlan de MasseFigure III-15 – Mode d’insertion des capacités de couplage entre les cellules centrales108

Chapitre IIIPour pouvoir simuler une mesure entière, nous devons, comme dans la procédure réelle,déplacer la sonde au dessus de la ligne en suivant un pas de déplacement, de préférence, égalà 100 µm pour fidéliser la simulation par rapport à la mesure effectuée, ce qui fera un total de801 points dans l’intervalle [-4cm, +4cm].Le schéma de la FIGURE III-16 présente le procédé de simulation décrit et la FIGURE III-17montre une capture d’écran du logiciel FD2D présentant du procédé généralisé sur un nuagede points. Dans ces figures, nous représentons plusieurs positions des portions de la sonde :D D D DDéplacementD = 100 µmFigure III-16 - Simulation du procédé de mesure dans FD2DDeux types de simulations ont été opérées avec FD2D, où la différence réside dans le degré deprécision de chacune d’elles, de là nous avons extrait les appellations « simple » et « double »précision. Le TABLEAU III-1 explique en détails ces deux types de simulation.La modélisation, présentée dans la FIGURE III-17, est appelée par la suite « modélisationdouble précision » : c'est-à-dire que nous avons étendu les distances définies par lesdimensions de l’équipement modélisé (dans notre cas la largeur du plan de masse illustrée parle distance entre les deux positions extrêmes de la sonde). Le but est d’éloigner suffisammentles autres plans de masse pour que les lignes de champs n’interagissent avec eux.Nous décrivons donc dans le TABLEAU III-1, les résultats des simulations de la position centralede la sonde au dessus de la ligne, et ce pour deux niveaux de discrétisations différents.Plans de massesuffisammentéloignésPlan demasseLigneSondeFigure III-17 - Généralisation du procédé de simulation sur FD2D109

Chapitre IIITABLEAU III-1 – CALCUL DES COUPLAGES CAPACITIFS PAR LE LOGICIEL FD2DDistance entre2 nœudsMAILLAGENombre denœudsCAPACITESSonde/Plan Ligne/Plan Sonde/LigneSIMPLE PRECISION 0.25 mm 641*401 6.64 pF 45.93 pF 15.37 pFDOUBLE PRECISION 0.05 mm 3201*2001 6.16 pF 46.36 pF 16.94 pFRAPPORT ENTRE LESSIMULATIONS⇓ ⇑ ⇓ ⇑ ⇑- 80 % + 400 % - 7.23 % 0.93 % 10.21 %Etant donné que le logiciel FD2D est basé sur la méthode des différences finies [8], et commenous l’avions vu dans le CHAPITRE I, cette méthode étant une méthode volumique, elle vainévitablement modéliser l’espace libre ici représenté par la surface de simulation délimitée parles quatre plans de masse.Le temps de simulation a toujours été une de nos préoccupations principales. Cependant, nousnous retrouvons dans notre processus de simulation devant un dilemme mettant en jeu laprécision des résultats : d’une part, les dernières simulations FD2D ne sont plus instantanées,surtout pour les cas des simulations double précision compte tenu du nombre de nœuds dumaillage. Par conséquent, nous ne pouvions plus nous permettre d’effectuer les simulations detoutes les positions de la sonde avec le pas de déplacement utilisé en mesure (100µm).D’autre part, la simulation électrique par SPICE du circuit équivalent s’avère très rapide, doncun affinement du pas de déplacement dans ces simulations ne pourra être que bénéfique. Dansce sens, nous avons fixé le nombre de points à 3201 dans l’intervalle [-4cm, +4cm], ce quiéquivaut à un pas de 25 µm.Nous nous devons dès lors de trouver un compromis, où nous ne sacrifierons pas la précisionpour une considération temporelle. Dans cette optique, nous devons trouver un moyenassurant le rendement maximum de ce processus. Finalement, nous avons opté pourl’utilisation d’un calcul basé sur les réseaux de neurones.Le calcul par réseaux de neurones est un moyen très efficace pour généraliser un résultat àpartir d’un nombre réduit de données d’entrée [54]. Ce genre de calcul peut traiter aussi biendes problèmes linéaires que non linéaires. Dans notre cas, le calcul neuronal sera utilisé dansle but de restreindre le nombre de simulations FD2D.SimulationFD2DMatrice Capacité[32 * 4]RéseauxdeneuronesMatrice Capacité[3201 * 4]SimulationPEECFigure III-18 – Principe de l’utilisation du calcul neuronalComme le montre la FIGURE III-18, les entrées du calcul par réseaux de neurones seront lesdifférentes matrices des capacités de couplages obtenues avec FD2D. Ce calcul nous permettrad’utiliser un très faible nombre de simulations et de recueillir un nombre plus important à despositions où nous n’avons pas effectué la simulation FD2D. Nous avons dans notre cas opéréune trentaine de simulations, dans le but d’en tirer en sortie des matrices capacitives pluscomplètes et plus adaptées au pas des simulations choisi dans l’application PEEC.110

Chapitre IIIAvant de présenter plus en détails le calcul neuronal utilisé et ses résultats, nous tenons àsignaler que le choix porté sur un tel calcul a été motivé par l’assurance des résultats fournispar ce calcul pour ce genre de problématique. De plus, l’utilisation d’un calcul à réseaux deneurones est plus motivée par sa disponibilité dans le laboratoire, car ce code de calcul étaitutilisé dans les mêmes conditions mais pour des problématiques de mesures.Ci après, nous présentons les résultats des simulations FD2D opérées. Nous avons choisi unpas assez grossier dans le but de déterminer les allures des différentes capacités, car laconfiguration du dispositif nous laisse pressentir à juste titre un comportement symétrique deces capacités. On voit sur la FIGURE III-19 des exemples de ces comportements : la capacité C 1entre la Sonde et le Plan de masse et C 12 qui définit la capacité entre la Sonde et la Ligne.1616Capacité C1 (pF)151413121110987Capacité de Couplage C12 (pF)14121086426-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Positions (cm)0-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Position (cm)(A) Capacité Sonde/Plan de masse(B) Capacité Sonde/LigneFigure III-19 – Les comportement des capacités calculées par FD2DLes comportements des ces deux capacités sont logiquement inverses et sont quasimentcomplémentaires. Nous expliquons ces allures par le fait que lorsque la sonde est éloignée dela ligne, la majeure partie de ses interactions se font avec le plan de masse, puis quand cetteboucle se rapproche, et vue que la ligne est plus proche que le plan de masse, les interactionschangent de priorité et deviennent plus importants vis-à-vis de la ligne ce qui fait baisser d’unepart la capacité C 1 et augmenter d’autre part la capacité C 12 .Position0 cmPosition4 cm(A) Le domaine où s’effectueront les simulations FD2DPosition0 cmPosition4 cm(B) Nombre de simulation FD2D (en rouge) et le nombre de calcul neuronal (en bleu)Figure III-20 – Schématisation de l’utilisation d’un calcul neuronal vis-à-vis de simulations FD2D111

Chapitre IIISuite à ces conclusions, et pour cause de symétrie nous avons restreint le domaine desimulation FD2D à la moitié de l’axe de déplacement, le nombre de points sera donc plusintense et les résultats bénéficieront de plus de précision.Le réseau de neurones utilisé dans notre application est du type « multicouche » ou MLP pourMulti-layer perceptron. Plusieurs références bibliographiques sont disponibles et traitent de cesdifférents calculs [54].Dans notre application, nous avons effectué 32 simulations sous FD2D, avec comme nousl’impose la méthodologie des réseaux de neurones, les deux points qui délimite l’intervalle detravail, à savoir la première position (la position centrale Y = 0cm) et la dernière (Y = 4cm). Lecalcul neuronal est contraint de connaitre ces deux points pour pouvoir interpoler les résultatsdans cet intervalle, car cette méthode ne permet pas de faire de l’extrapolation.Le calcul neuronal s’effectue en trois étapes dont les deux premières sont indissociables, nousénumérons brièvement ces différentes étapes tout en donnant les détails de notre utilisation :- la première est l’étape d’apprentissage : cette procédure consiste à estimer lesparamètres des neurones du réseau, afin que celui-ci remplisse au mieux la tâche quilui est affectée. On entre des valeurs des cellules d'entrée (échantillons) et en fonctionde l'erreur obtenue en sortie, on corrige les poids accordés aux pondérations. C'est uncycle qui est répété jusqu'à ce que la courbe d'erreurs du réseau ne soit pluscroissante. Dans notre application, nous avons pris le tiers (1/3) du nombre de pointssimulés pour effectuer notre apprentissage ;- la deuxième phase est l’étape de validation du réseau de neurones choisi : c’est uneétape qui se fait parallèlement à la précédente, un certain nombre de points de notreintervalle est utilisé pour valider le choix du réseau de neurones, nous en avonsconsacré 15% des points disponibles (un point sur sept), car une fois le réseauneuronal calculé, il faut toujours procéder à des tests afin de vérifier qu’il réagitcorrectement ;- l’ultime étape est celle qui valide les résultats obtenus par le réseau de neurones choisi,cette étape est appelée la phase de test ou de généralisation. Nous réutilisonsl’ensemble des entrées pour retrouver les allures des différentes matrices de capacités.L’intérêt de cette étape est de généraliser le comportement pour étoffer l’intervalle dedonnées disponible ;Après création de ce réseau de neurones, nous l’utilisons pour générer un intervalle derésultats plus large que celui réalisé sous FD2D, l’intervalle choisi est composé de 1600 pointssur l’intervalle [0 cm, 4 cm] que l’on duplique symétriquement pour obtenir un intervalledétaillé entre [-4 cm, 4 cm]. Dans l’application PEEC, nous insérerons ces capacités dans lefichier décrivant le circuit équivalent « *.cir » avant la simulation électrique SPICE.Avant d’effectuer la simulation PEEC, nous devons opérer quelques liaisons électriques auschéma équivalent pour assurer un bon sens de la simulation électrique :Coté ligne : injection d’un signal d’alimentation à l’entrée de la ligne et connexion d’unerésistance de terminaison de 50 Ω à l’autre bout de cette ligne.Coté boucle : connexion sur la portion extérieure d’une résistance de grande valeur(1GΩ), et mise en masse sur le brin lié à l’âme centrale du câble coaxial.La FIGURE III-21 résume les liaisons électriques nécessaires à la simulation :112

Chapitre III1 GΩSondeLigne50 ΩPlan de MasseFigure III-21 – Branchement électrique du dispositif à simulerLa simulation s’effectuait sur une large gamme de fréquence pour balayer les basses et leshautes fréquences, nous avons opéré dans la gamme [1Hz, 1THz], avec un déplacement de lasonde meilleur qu’en mesure, c'est-à-dire avec un pas de 25µm au lieu de 100µm.Nous avons remarqué que les simulations étaient incorrectes si nous nous conformions aumodèle de la boucle présentée dans la FIGURE III-4. La difficulté était de reproduire l’effetinductif dans la boucle. En effet, cette dernière n’étant pas physiquement fermée, elle nepermettait pas la reproduction du comportement réel de la sonde, qui est pour sa part ferméepar le câble coaxial sur lequel elle est soudée. La fermeture de la boucle est un des détailsentrant dans la fidélisation de la modélisation par rapport à la mesure (FIGURE III-22).Dans cette optique, nous avons dû allonger la portion haute de la boucle pour pouvoir formerune réelle boucle fermée. Les résultats sont alors améliorés et plus aptes à être comparées.1.8 mm1.8 mm + 1.1 mm2.9 mm2.9 mm0.25 mm0.25 mm2.9 mm2.9 mmFigure III-22 – Redimensionnement de la sonde en simulation PEECDans différents travaux de thèses effectuées au sein de notre laboratoire [50][51], la mesureen champs proches a été comparée pour être validée à plusieurs méthodes théoriques [53].Parmi ces méthodes, nous citons ci-après le calcul des champs électromagnétiques[50] d’après les équations électrostatiques que nous allons réécrire ci-dessous.6. CALCUL THEORIQUE DU CHAMP MAGNETIQUE [50]Dans les mesures et les simulations, nous examinons la composante transversale H y du champmagnétique. Nous écrivons ci-dessous les relations qui nous amènent à trouver la valeurthéorique de cette composante du champ magnétique. Dans la FIGURE III-23, on illustre le cassimple d’une ligne (fil) au dessus d’un plan de masse, où les paramètres de calcul desdifférentes équations sont montrés :113

Chapitre IIIZahYFigure III-23 – Le dispositif de simulation sur FD2DNous introduisons d’abord la formulation qui lie les champs électrique et magnétique à traversl’impédance d’onde :1H zE yη= (III-1)Sachant que le champ électrique pour un fil au dessus d’un plan de masse s’écrit de la formesuivante [50], la position de ce calcul dépend des coordonnées en y et en z :⎛4K⎜⎝2 2 2d( y − z + d ) ⎞22 2( y + ( z + d ) )*( y + ( z − d ) ) ⎟⎟ ⎠E y(III-2)=2Avec :d2 2= h − a(III-3)KV0=⎛ h + dln⎜⎝ h − d⎞⎟⎠(III-4)V 0 est une tension qui dépend de la puissance injectée dans la ligne et des caractéristiquespropres de la ligne : Z c étant l’impédance caractéristique de la ligne.V = 02PZ (III-5)c1 µ − ⎛ h ⎞Z =0 1ccosh ⎜ ⎟2πε ⎝ d ⎠0(III-6)Dans nos confrontations, nous utilisons ces formulations pour déterminer le champ magnétiquetransversal au centre de la boucle, nous le comparons avec le champ magnétique issu desdifférentes simulations avec la méthode PEEC. En effet, des simulations PEEC résultent lesdifférentes tensions dans les nœuds. La tension qui nous intéresse est celle entre les deuxbornes de la sonde, nous transformons cette tension pour obtenir un champ magnétique auniveau de cette sonde, pour cela, nous utilisons la formulation suivante :114

Chapitre IIIH zVµ 0ω S= (III-7)Où :V : la tension aux bords de la sonde,µ 0 : la perméabilité du vide,ω : la pulsation (=2π*f),S : la surface de la boucle (=(2.9 mm)²)Sachant que les mesures sont validées par rapport à ce genre de calcul [52], nous nouscontentons de confronter nos simulations à ces calculs.7. RESULTATS DES SIMULATIONSRappelons aussi que la problématique relative à ce genre de mesures était une perturbation dela réponse de la sonde sur un balayage au dessus de la ligne, à partir d’une certaine fréquenceet dans une certaine position de la sonde. Nous montrons (FIGURE III-24) l’évolution enfréquence de la procédure de mesure simulée et comparée au calcul électrostatique.10 -110 0 Y (mm)électrostatiquePEEC10 -1Hy (A/m)10 -210 0 Y (mm)électrostatiquePEECHy (A/m)10 -210 -310 -310 -4-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 4010 -4-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(A) fréquence = 1 Hz(B) fréquence = 1 kHz10 -110 0 Y (mm)électrostatiquePEEC10 -1Hy (A/m)10 -210 0 Y (mm)électrostatiquePEECHy (A/m)10 -210 -310 -310 -4-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 4010 -4-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(C) fréquence = 1 MHz(D) fréquence = 1 GHzFigure III-24 – Profil du champ magnétique simulé sur différentes fréquences– Simulation avec couplage capacitif –115

Chapitre IIILes résultats que nous traçons dans la FIGURE III-24 se révèlent être en bonne adéquation avecle comportement théorique du champ magnétique rayonné par une ligne au dessous d’un plande masse. La validité de ces résultats s’étend sur une large bande fréquentielle, ce qui nousconforte sur notre choix de la méthode de simulation et nous permettent de répondre à laproblématique.Nous remarquons dans ces courbes (FIGURE III-24) que l’allure du champ magnétique atteintson maximum pour la position centrale, là où l’interaction avec la boucle est maximale. Lescourbes sont symétriques, et le comportement de ce champ est identique de part et d’autre dela ligne.Pour entamer nos comparaisons et répondre aux interrogations ayant suscité notreproblématique, nous exposons les résultats obtenus pour plusieurs cas de simulations relatifsaux mesures présentées dans la FIGURE III-8 et la FIGURE III-9. Ces mesures décrivaient dessimulations avec des orientations de 0° et de 180°. Nous présenterons ces deux cas de figuresur des fréquences significatives puis nous montrerons ces mêmes simulations en ôtant lescontributions capacitives dans les circuits équivalents pour connaitre l’influence que cela aurasur les résultats des simulations.La FIGURE III-25 présente les deux simulations à la fréquence de 1 GHz, nous n’évoquerons pasles fréquences inférieures car leurs résultats sont très semblables et la réponse des deuxorientations de la sonde se révèle être identiques.10 -1 Y (mm)PEEC 0°PEEC 180°10 -2Hy (A/m)10 -310 -410 -5-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40Figure III-25 – Comparaison des deux simulations à 0° et à 180° à 1 GHz– Simulation avec couplage capacitif –Les deux simulations présentent, à la fréquence de 1 GHz, des allures de champs magnétiquescorrectes. La meilleure réponse reste toujours celle de la boucle à 0°, pour laquelle le champmagnétique mesuré est plus proche de celui calculé que le champ émanant de la simulationayant subie une rotation à 180°. Cette dernière est toutefois toujours en adéquation avec legabarit de la théorie.116

Chapitre IIIAvec la montée en fréquence, égale à 2 GHz dans la FIGURE III-26, et comme cela fut le cas enmesure, nous trouvons des dissemblances entre les deux simulations. La sonde orientée à180° perd dans sa réponse l’allure du profil du champ magnétique retrouvée jusque là, mais laréponse de la sonde à 0° reste toutefois dans une bonne forme et ne se détériorera que dansles fréquences supérieures à 5 GHz.10 -1 Y (mm)PEEC 0°PEEC 180°10 -2Hy (A/m)10 -310 -410 -5-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40Figure III-26 – Comparaison des deux simulations à 0° et à 180° à 2 GHz– Simulation avec couplage capacitif –Les réponses de ces deux sondes deviennent du même ordre dans les très hautes fréquences,ou les deux sondes ne récoltent plus de signal significatif lui permettant de décrire un champmagnétique. Néanmoins, la méthode PEEC sera capable de prolonger (de quelques gigahertz)la validité des résultats mais présentera également des limites fréquentielles liées à lamodélisation.10 -1 Y (mm)10 -1 Y (mm)PEEC 0°PEEC 180°PEEC 0°PEEC 180°10 -210 -2Hy (A/m)Hy (A/m)10 -310 -310 -4-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(A) fréquence = 1 GHz10 -4-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(B) fréquence = 2 GHzFigure III-27 – Profil du champ magnétique simulé sur différentes fréquences– Simulation sans couplage capacitif –117

Chapitre IIIMaintenant que nous avons montré la différence existante entre les deux orientations de laboucle, nous montrons, dans la FIGURE III-27, les simulations effectuées sans incorporation deseffets capacitifs.Sans l’incorporation des couplages capacitifs (entre la sonde et la ligne) nous arrivons àrécolter des profils de champ magnétique en meilleur accord avec le calcul électrostatique àdes fréquences où le signal était déjà détérioré dans les cas précédents (FIGURE III-26). Ceciconforte d’une certaine manière nos suppositions énoncées dans la problématique.10 -1 Y (mm)électrostatiquePEEC* 0°PEEC* 180°10 -2Hy (A /m )10 -310 -410 -5-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(A) fréquence = 1 GHz10 -1 Y (mm)électrostatiquePEEC* 0°PEEC* 180°10 -2Hy (A /m )10 -310 -410 -5-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(B) fréquence = 2 GHzFigure III-28 – Profil du champ magnétique simulé sur différentes fréquences– Simulation sans couplage capacitif –118

Chapitre IIIAprès un découpage plus minutieux des portions de la boucle (discrétisation intense de lasonde et de la ligne avec des cellules millimétriques) et de la ligne qui sont prédominant dansles zones d’interactions, nous avons obtenu, sur les simulations sans couplage capacitif, desréponses quasi identiques et ce indépendamment de l’orientation de la sonde (0° & 180°).Rappelons que notre boucle est totalement symétrique par rapport à son axe d’orientationsuite à la prolongation opérée (FIGURE III-22).10 -1 Y (mm)10 -2électrostatiquePEEC 0°PEEC 180°PEEC* 0°PEEC* 180°Hy (A /m )10 -310 -410 -5-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(A) Simulation à 500 MHz10 -1 Y (mm)10 -2électrostatiquePEEC 0°PEEC 180°PEEC* 0°PEEC* 180°Hy (A/m )10 -310 -410 -5-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40(B) Simulation à 2 GHzFigure III-29 – Comparaison des quatre simulations à 0° et à 180° à 500 MHz (a) et 2 GHz (b)– Simulation avec et sans couplage capacitif –119

Chapitre IIICe processus de simulations a été répété pour une boucle de plus grandes dimensions, et lesconstatations sont allées dans le même sens que celles exposées jusqu’ici. A partir d’unecertaine fréquence, le couplage capacitif est trop important, on ne peut plus utiliser les sondes.Ceci nous permet de tirer des enseignements sur ce genre de mesures. Cette étude est ducoup très utile et peut contribuer à l’amélioration et l’optimisation du processus de conceptiondes sondes de mesures.Pour améliorer le rendement de cette procédure de simulation, nous devrons, en plus de ce quia été modélisé jusque là, prendre en compte, lors de la modélisation, le câblage qui sert àeffectuer les mesures. Le câblage en question est celui qui est lié aux appareils de mesure et àla sonde. L’influence de ce câblage sur la mesure est forcément non négligeable et sa prise enconsidération ne peut être que bénéfique pour l’amélioration des résultats de la réponse de lasonde.Ceci rentre dans le cadre de la bonne description géométrique ou électrique de la structure àsimuler, de manière à fidéliser le plus possible la simulation et la mesure. Plus nous décrivonsnotre structure en détails et plus on se rapproche du comportement réel de cette dernière.120

Chapitre IIIII. APPLICATION DU DISPOSITIF « CABLAGE AUTOMOBILE »Cette application traite un cas réel issu de l’industrie automobile, à travers cette étude nousconfrontons notre outil de simulation à la réalité de ses futures applications, les dimensionsétant grandes par rapport à tout ce que l’on a pu connaitre jusqu’ici, la complexité desdispositifs y est aussi accentuée à travers des formes plus difficiles et un nombre plusimportant de câbles et de plans dans une même structure.L’objectif premier d’une telle étude est d’analyser le comportement de l’impédance du dispositifainsi constitué dans une gamme de fréquence assez large. Ceci passe par une analyse desdifférents paramètres S des différents ports qui constituent la structure. D’autre part, une telleétude permettra d’extraire un circuit équivalent global du schéma de câblage, ce circuit seraitutilement utilisé dans des études plus généralisées de ce schéma de câblage en présence desdifférentes terminaisons reliées à ses différents points d’accès (moteurs, batterie, … etc.)1. DESCRIPTION DU DISPOSITIFCe travail traite l’étude d’un schéma de câblage extrait d’un cas usuel dans l’industrieautomobile. Ce dispositif représente une liaison de câblage qui relierait deux moteurs d’essuieglace (se trouvant à l’avant) à la batterie (positionnée à l’arrière du véhicule). Nous avonsnéanmoins raccourci les longueurs pour des raisons de faisabilité du prototype et surtout pouren faciliter sa manipulation.L’objectif de cette étude est d’effectuer une caractérisation fréquentielle de ce câblage pourtirer son circuit équivalent dans une large gamme de fréquence (nous souhaitons atteindre leGHz). L’Equipement Sous Test (EST) sera composé, comme nous allons le voir dans sadescription, de plusieurs ports, la caractérisation en fréquence s’effectuera par des campagnesde mesures de paramètres de répartition (Paramètres S) et ainsi examiner les différentscoefficients de réflexion et de transmission entre les différents ports.Le schéma de câblage étudié sera représenté comme un multipôle possédant sept (7) portsrépartis comme suit : 3 ports pour le moteur I ; 3 ports pour le moteur II et le dernier portpour l’alimentation par la borne positive de la batterie.L’EST se compose de quatre (04) plans de masse entre lesquelles le branchement du câblageest effectué. La FIGURE III-30 montre le schéma de ce dispositif, où nous avons essayé dereproduire, dans une échelle légèrement réduite par rapport à la réalité des dimensions deséléments constituant un tel exemple. Toutefois, les proportions restent assez grandes et nousavons respecté les rapports entre les différentes dimensions.Nous avons reproduit le cas d’une liaison entre deux moteurs (à essuie glasses) à travers troiscâbles parallèles qui assurent l’alimentation et la synchronisation de leur fonctionnement. Al’autre bout du plan de masse horizontale, on dispose de la batterie d’alimentation quialimentera en énergie les deux moteurs.Ce circuit de câblage est entreposé dans un milieu métallique, favorisant les réflexions,schématisé par une configuration de quatre plans de masses perpendiculaires les uns auxautres. Une telle disposition de ces plans encourage et multiplie donc les interactions avec lesdifférents câbles. Nous avons délibérément choisi une telle configuration dans le but d’accroitrela complexité de notre système.121

Chapitre IIIACCES MOTEUR IPort 2, 3, 4ACCES MOTEUR IIPort 5, 6, 7BATTERIEPort 1Figure III-30 – Présentation du dispositif de câblage automobileNous détaillerons ci-après les dimensions des différents composants de ce dispositif, les plansde masse utilisés sont en Cuivre et leur épaisseur est égale à 0.5 mm. Le câblage choisi estégalement en Cuivre, le diamètre extérieur de chaque câble est de 1.6 mm où la partieconductrice couvre une section d’un diamètre de 0.5 mm et le diélectrique couvre le reste, cedernier est caractérisé par sa permittivité électrique relative (ε r ) égale à 4.Figure III-31 – Présentation du prototype relatif au dispositif de câblage automobilePour soulever les câbles aux différentes hauteurs exigées par la conception de cet EST, nousavons dû incorporer un support (visible sur la FIGURE III-31) qui n’est pas sensé perturber lecomportement du dit dispositif. En effet, des mesures de sa permittivité relative ont donné desrésultats de l’ordre de ε r ≈ 1.4 (chose qui n’a pas été importante à intégrer dans lasimulation).Les longueurs des fils, leurs dispositions et les distances qui les séparent ont été choisies demanière à accroitre sensiblement le niveau de difficulté de la mesure.122

Chapitre IIINous sommes aussi dans un cas où les contributions capacitives sont assez faibles et donc lamoindre estimation approximative des capacités de couplage pourra causer des changementssignificatifs sur les fréquences de résonance.Les dimensions des plans de masse sont détaillées dans ce qui suit, que nous retrouvonségalement dans la FIGURE III-32 :ooooLe plan de masse « Horizontal » : celui-ci couvre la majeure partie du dispositif, c’est leplan de masse au-dessus duquel les différents câbles sont disposés. Ses dimensionssont [70 cm * 70 cm * 0.5 mm].Le plan de masse « Vertical » : sur ce plan on dispose des accès aux moteurs, sesdimensions sont : [70 cm * 5 cm * 0.5 mm]Le plan de masse « Latéral » : ce plan là comporte l’entrée où se connecte la batterie.Ses dimensions sont [70 cm * 10 cm * 0.5 mm]Le plan de masse « Additionnel » est un plan de masse latéral également qui n’estajouté à la structure que pour fermer le dispositif et assurer ainsi une symétrie. Lesdimensions de ce plan sont [70 cm * 5 cm * 0.5 mm]PLAN DE MASSE LATERALPLAN DE MASSE70 cm5cm70 cm70 cmPLAN DE MASSE ADDITIONNEL10 cm5 cm70 cmPLAN DE MASSE HORIZONTALFigure III-32 – Présentation du dispositif de câblage automobilePour décrire en détails les dimensions du câblage utilisé (FIGURE III-34), nous nous attardonsd’abord sur les moyens de liaisons utilisés entre les câbles et les plans de masse. Pour assurerdes dimensions exactes (surtout pour les hauteurs) nous utilisons comme points d’accès desconnecteurs SMA (SUBMINIATURE VERSION A) qui assurent les entrées à chaque port.13 mmConnecteurs SMA5 cm39 mm(A) dans la schématisation(B) dans le dispositif réelFigure III-33 – Présentation d’une liaison trois ports du coté d’un moteur123

Chapitre IIINous montrons sur la FIGURE III-33 un exemple de 3 ports adjacents (coté moteur), nousmontrons aussi la manière d’inclure les connecteurs SMA et leur liaison avec le plan de masse :10 cm 40 cm 10 cm5 cm10 cm4 cm5 cm4 cm1 cm5 cm5 cm5 cm9 cm1 cm 50 cm5 cmFigure III-34 – Présentation des grandeurs du câblageNous précisons que du cotés des moteurs, comme nous le présentions dans la FIGURE III-33que les accès sont assurés par des connecteurs SMA, ces derniers présentent une distance de13 mm entre leurs âmes centrales conductrices. Ce qui fait que les câbles seront espacés de13 mm entre eux comme le précise la FIGURE III-35.Après la définition du dispositif, nous passons à sa modélisation. Suivant les principes de laméthode PEEC, nous effectuons la représentation géométrique du dispositif suivant lesdimensions sus-présentées (FIGURE III-34). Dans la modélisation des différents plans demasse, nous nous baserons directement sur la modélisation que nous avions nomméepiTesT dans le CHAPITRE II (FIGURE III-36), ceci dans le but de minimiser le nombre de celluleset permettre une discrétisation en longueur maximale (avec des cellules de 1 cm, voire 5 mm).13 mm13 mm(A) dans la schématisation(B) dans le dispositif réelFigure III-35 – Espacement des câbles au niveau des coudes124

Chapitre IIIFigure III-36 – Modélisation PEEC du dispositif de câblageNous remarquons que la représentation des différents plans de masse est régie par laproximité par rapport au câblage, nous voyons par exemple le cas du plan de masse« additionnel » qui ne se résume finalement qu’à une petite portion à proximité du 2 nd moteur.Nous avons présenté, dans la FIGURE III-36, un dispositif discrétisé à base de cellulescentimétriques, les éléments filaires verticaux ont, eux aussi, été maillés car contrairement ànos essais effectués jusque-là, les portions verticales des câbles sont de tailles assezconséquentes, cela nous obligent à les prendre en compte lors du maillage.Dans nos exemples précédents, les changements de hauteurs ne dépassaient pas la dizaine demillimètres, or dans cet exemple de câblage, nous atteignons des longueurs verticalessupérieures parfois à 5 cm.Il est à présent impératif d’effectuer un calcul des principales contributions capacitivesexistantes dans le dispositif. Pour ce qui est des contributions inductives et résistives, nousmaillons notre dispositif de manière à ce que ces contributions soient détaillées au maximum(effet de peau et de proximité). Maintenant, pour le calcul des couplages capacitifs, nousavons opéré nos différents calculs sous le logiciel FD2D, pour ce faire, nous allons décomposerla question en plusieurs sous-problèmes de façon à faire chaque calcul séparément. Le détailde ces calculs est présenté ci-dessous.2. CALCUL DES COUPLAGES CAPACITIFSLa décomposition du calcul capacitif se fait dans le but de calculer l’influence de chaque plande masse sur la partie du câblage qui lui est proche. En effet, nous considérons ces calculs parrapport à ce que permet de réaliser le logiciel de calcul FD2D et selon les principes de laméthode PEEC.Nous avons fait appel au calcul par le logiciel FD2D lorsque la composition du câblage étaitcomplexe et nécessitait pour plus de précision l’utilisation d’un tel calcul. Nous illustrons dansla FIGURE III-37, quelques exemples des différents plans dans lesquels nous avons opéré noscalculs capacitifs sous FD2D.125

Chapitre IIICes calculs se concentrent beaucoup plus dans les zones proches des deux moteurs où ladensité des câbles est importante et où la proximité des plans de masse y est égalementconsidérable. La principale motivation de l’utilisation des calculs FD2D consiste en la présencesimultanée de plusieurs plans de masse dans un même calcul (deux plans de masseperpendiculaires la plupart du temps), ce genre de configuration est parfaitement pris encompte par FD2D.Rappelons aussi que les calculs, pour le cas des câbles seuls, ont été également effectués avecFD2D car même si les formulations analytiques peuvent prendre en considération ces cas là, lecalcul FD2D en plus de prendre en compte plusieurs plans de masse (jusqu’à 4 plans) nouspermet de respecter la présence du diélectrique, en définissant la notion de la permittivitéélectrique relative (ε r ) du matériau.Figure III-37 – Différents plans utilisés de calcul capacitif sous FD2DNous détaillons ci-après un des trois plans, qui se trouve à proximité du premier moteur,présenté dans le schéma précédent (FIGURE III-37). Le découpage est fait de façon à effectuerdes calculs de capacités par unité de longueur, c’est ce qui explique la coupe de ces plans dansle sens du courant dans les câbles.ZYXFigure III-38 – Différents plans utilisés du coté du moteur 1Nous représentons, FIGURE III-38, un zoom sur l’emplacement du moteur 1 et nous avonsentreposé les principaux plans de calcul des couplages capacitifs. Les plans sont disposés defaçon à effectuer le calcul à chaque changement de la configuration du câblage par rapport auxdifférents plans de masse.126

Chapitre IIILes plans rouges concernent le calcul de la contribution capacitive pour les câbles allant dansla direction de l’axe Y, on y trouve un cas à proximité de l’entrée du moteur 1 où le calcul sefait entre les trois câbles en présence du plan Horizontal et du plan Latéral. Les plans bleus etverts concernent, respectivement, les câbles dans la direction de l’axe X et l’axe Z.Nous revenons à l’exemple des trois câbles parallèles pour montrer la modélisation sur FD2Dque nous avons effectuée. Nous respectons dans cette modélisation les mêmes conditionsrelatives au cas réel, c'est-à-dire que l’on dispose les câbles à leur hauteur et à leurs distancesrespectives par rapport aux plans de masse Latéral et Horizontal, FIGURE III-39, et que nouséloignons au maximum les deux autres plans pour minimiser les interactions avec le câblage.Plan Latéral5 cm13 mm 13 mm5 cmPlan Horizontal(A) Modélisation(B) Simulation FD2DFigure III-39 – Modélisation et simulation FD2D d’un cas de calcul capacitifUne telle simulation nous donne en détails la matrice capacitance qui sera sous forme dematrice (3x3) qui nous renseigne sur les différentes contributions capacitives, avec lescapacités câble-plan et les capacités câble-câble. Nous montrons dans la FIGURE III-40 lafenêtre des résultats fournis par le logiciel FD2D.Figure III-40 – Résultats de la simulation FD2DDe ces résultats, et afin d’extraire les capacités à ajouter au schéma électrique du câblage,nous devons préalablement effectuer des calculs pour trouver les capacités câble-plan :C1 = 14.07 - 4.59 - 1.54 = 7.94 pFC2 = -4.59 + 15.23 - 4.70 = 5.94 pFC3 = -1.55 - 4.70 + 13.74 = 7.49 pF127

Chapitre IIICes calculs nous permettent d’écrire la matrice capacité suivante, que l’on injecte dans lecircuit équivalent (les capacités C i sont raccordées avec le plan de masse le plus proche)⎡ CC =⎢⎢C⎢⎣C12131CCC12232CCC13233⎤ ⎡7.94⎥ ⎢⎥=⎢4.59⎥⎦⎢⎣1.554.595.944.701.55⎤4.70⎥⎥7.49⎥⎦⋅10−12FDans chacun de ces différents calculs, nous devrons être le plus fidèle possible dans lessimulations FD2D aux situations auxquelles elles correspondent, nous accentuons à chaque foisl’éloignement des plans de masse inexistants dans le cas réel. Nous avons effectué unevingtaine de simulations relatives aux différentes situations existantes dans l’EST. Cependantcertains cas se révèlent être symétriques et de ce fait le nombre de simulations FD2D àeffectuer est réduit. Nous représentons grossièrement sur la FIGURE III-41 tous les plans surlesquels des simulations FD2D ont été effectuées.Nous obtenons de ces différentes simulations, des matrices carrées de capacités, de tailleéquivalente au nombre de câbles intervenant dans le calcul. Les valeurs de ces capacités sontlinéiques et sont facilement insérables dans nos calculs. Nous les insérons donc dans l’étapepost-transformation PEEC du schéma géométrique défini.Figure III-41 – Schématisation des plans de calcul capacitif opérés avec FD2D3. LIAISONS ELECTRIQUES ET SIMULATIONSPar conséquent, après avoir ajouté au circuit équivalent du câblage toutes les capacités quireprésentent les principaux couplages existants, nous devons définir les terminaisons desdifférents ports et les conditions de simulations (alimentation, plage de fréquence, …etc.).En mesure, nous effectuons une mesure de paramètres S dite à « sept ports » en utilisant unanalyseur de réseau (HP AGILENT 8753E : 30 kHz - 3 GHz). En effet, nous mesurons à chaquefois une paire de ports pour en extraire une matrice (2x2) de paramètres S composés descoefficients de réflexion et de transmission entre ces deux ports (équation III-8). Nouseffectuons cette opération entre chaque paire de ports pour constituer à la fin de la compagnede mesure une matrice (7x7) qui définira les paramètres S de notre EST (équation III-9).Dans chaque mesure, les ports mesurés sont reliés à l’appareil de mesure tandis que tous lesautres ports non mesurés ont des charges de terminaisons de 50 Ω.128

Chapitre III⎛b⎜⎝bαβ⎞ ⎡S⎟= ⎢⎠ ⎣SααβαSSαβββ⎤ ⎛ a⎥ ⋅ ⎜⎦ ⎝aαβ⎞⎟⎠(III-8)où S αα et S ββ représentent les paramètres de réflexions et S αβ et S βα sont les paramètres detransmission entre les deux ports α et β.⎛ b1⎞ ⎡S11⎜ ⎟ ⎢⎜b2⎟= ⎢S21⎜ ... ⎟ ⎢ ...⎜ ⎟⎢⎝b7⎠ ⎣S71SS1222...............S76S17⎤ ⎛ a1⎞⎜ ⎟S⎥27⎥ ⎜a2⎟⋅... ⎥ ⎜ ... ⎟⎥ ⎜ ⎟S77 ⎦ ⎝a7⎠(III-9)Dans la simulation, et dans le but d’extraire des valeurs comparables à celles mesurées, nouseffectuons le même processus qu’en mesure. Mais contrairement à la procédure de mesure,chaque port est alimenté de manière isolée afin de pouvoir tirer les valeurs des courants et destensions qui nous intéressent dans le calcul des différents paramètres S.Nous nous intéressons ci-après à l’exemple de construction de la ligne comportant lesparamètres du port 1 et nous détaillons l’écriture du vecteur (b 1 ) :( S × a ) + ( S × a ) + ( S × a ) + ( S × a ) + ( S × a ) + ( S × a ) + ( S )b ×= (III-10)1 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17a7Dans cette dernière expression, les vecteurs a i et b i que l’on appelle communément etrespectivement les tensions complexes normalisées incidentes et réfléchies (équation III-11),se définissent en fonction des tensions et des courants du i ème port par les relations del’EQUATION (III-12) :vi+ iiai=2vi− iibi=2(III-11)Dans notre cas, l’impédance de référence choisie est réelle et égale à 50 Ω. Ce qui donne lesexpressions suivantes aux valeurs des tensions et courants normalisés :viii==Vi50 (III-12)50 ⋅ IiOù les V i et les I i représentent les tensions des nœuds correspondant aux ports et des courantsdans les différentes branches. Ces valeurs sont extraites des résultats des simulationsélectriques SPICE.Plus concrètement dans nos simulations, afin de calculer par exemple les paramètres S 1i : nousopérons comme indiqué dans l’équation suivante, avec à chaque fois pour annuler l’onde a id’un port on y place une charge équivalente à l’impédance de référence (50 Ω).129

Chapitre IIISS...S111217b1= aia1b1= aia2b1= aia7= 0= 0= 0(III-13)Ainsi de suite pour le calcul des autres vecteurs où à chaque fois, le calcul des paramètres Snous amène à simuler notre dispositif en choisissant le port d’alimentation et à mettre tous lesautres ports en adaptation (charge de 50 Ω).Au niveau de la mesure, nous fixons la puissance d’entrée à 10 dBm, ce qui équivaut à unepuissance de 10mW. Parallèlement dans nos simulations, pour un respect des mêmesconditions qu’en mesure, nous transformons, en simulation, cette alimentation en ungénérateur de tension et d’une résistance de 50Ω branchée en série.La valeur de la tension injectée est calculée par la formule suivante et est relative à lapuissance injectée :PUR2= (III-14)D’où :U=P ⋅ RL’application numérique donnera :U=−10 2 ⋅ 50 = 707 mV4. RESULTATS DES SIMULATIONSAu vu de la compagne de mesures que nous effectuons, nous avons plusieurs mesures (7 autotal) pour chaque paramètres de réflexion (S ii ), cela a l’avantage d’invalider les éventuellesmauvaises mesures. Nous avons également, et pour la même utilité, deux mesures différentesdes paramètres de transmission (S ij ) entre chaque paire de ports.Ceci en plus du fait que pour être pointilleux sur ces mesures, nous avons effectué deuxcompagnes de mesures différentes avec une variation du pas fréquentiel choisi (linéaire puislogarithmique).Nous montrons à titre d’exemple dans la FIGURE III-42, les résultats de la mesure concernant leparamètre de réflexion relatif au port numéro 1, nous mettons dans la même figure les septmesures pour lesquels nous avons calculé une moyenne qui sera utilisée pour la comparaisonavec les simulations :130

Chapitre III10.90.80.71-21-31-41-51-61-7MoYeNNeModule de S11Module S110.60.50.40.30.20.110 5 10 6 10 7 10 8 10 9fréuence (Hz)(A) échelle logarithmique1Module de S110.90.80.7Module S110.60.50.40.30.20.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10fréuence (Hz)x 10 8(B) échelle linéaire1-21-31-41-51-61-7MoYeNNeFigure III-42 – Comparaison des différentes mesures du paramètre S11Dans nos confrontations, nous restreignons quelque peu la bande de fréquence : elle s’étend,pour la limite inférieure, entre la basse fréquence permise par l’appareil de mesure (30 kHz) etnous fixons la limite supérieure à 1 GHz, bien que la bande fréquentielle en mesure s’étendjusqu’à 3 GHz. Le choix de cette limitation supérieure est motivé par plusieurs paramètres, oncite entre autres le fait que nous discrétisons le dispositif à base de cellules centimétriques.Mais aussi les conditions de mesures, en effet, nous ne pouvons garantir une bonne efficacitéde ces dernières au-delà de la limite fixée.Sur cette plage de fréquence, nous comparons tout d’abord les résultats de deux mesureseffectuées sur des échelles fréquentielles différentes, nous y voyons que bien que les alluressoient rigoureusement identiques (FIGURE III-43), des différences d’amplitude sont à signaler.131

Chapitre IIICes problématiques d’amplitudes sont liées majoritairement aux points fréquentiels choisisdans la mesure où nous connaissons la sensibilité des zones de résonances.1Module de S111Module de S330.90.950.80.90.70.85M o d u le d e S 1 10.60.50.4Para m èt re S 3 30.80.750.70.30.650.2MESURE LINMESURE LOG0.6MESURE LINMESURE LOG0.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10fréquence (Hz)x 10 80.551 2 3 4 5 6 7 8 9 10fréquence (Hz)x 10 8(A) Paramètre S11(B) Paramètre S33Figure III-43 – Exemples de comparaison des différentes mesures des paramètres S iiDans ce qui suit, nous n’allons pas exposer la comparaison de tous les paramètres S mesurés,mais nous nous intéressons qu’à quelques exemples pour montrer d’un coté les différentesdifficultés rencontrées lors des simulations, et surtout pour montrer le degré de validité denotre modèle et donc de notre outil utilisé. Ces comparaisons touchent aussi bien auxparamètres de réflexion qu’aux paramètres de transmission.Nous présentons dans la FIGURE III-44 le paramètre de réflexion à l’entrée du port 1, dans uneéchelle fréquentielle linéaire pour permettre de visualiser sur 1 GHz le comportement del’impédance vu du coté du port 1.0Module de S11 (dB)-2-4-6-8S11 (dB)-10-12-14-16-18SIMULINMESURE LIN-200 1 2 3 4 5fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure III-44 – Mesure et simulation du paramètre S 11132

Chapitre IIIDe ce premier graphique, nous pouvons considérer que l’allure du paramètre issu de la mesureest en assez bonne adéquation avec la simulation, et ceci pour une bande de fréquence jusqu’à600 MHz. En effet, en basse fréquence (FIGURE III-45), les deux courbes sont superposées et lamodélisation effectuée ainsi que les valeurs des éléments inductifs et résistifs fournies par laméthode PEEC se révèlent être judicieux.Au-delà de la limite de validité signalée ci-dessous, nous nous apercevons que lescomportements en mesure et en simulation diffèrent considérablement. Les explications quenous pouvons donner par rapport à cela est que vu du coté du port 1, nous n’avons pas assezdétaillé certaines interactions qui traduisent les phénomènes de couplages capacitifs.Nous voyons par exemple l’apparition sur l’une des courbes de certaines résonances (parfoisde faible valeur), à titre d’exemple celle qui apparait en simulation aux alentours des 100 MHzou de 260 MHz, ces résonances ne sont parfois que les mêmes résonances que l’on retrouveen mesure mais avec des fréquences différentes, mais en règle générale nous attribuons cesdifférences aux valeurs des capacités que sont parfois surestimées comme nous le citionsprécédemment.0Module de S11 (dB)-1-2-3S 11 (d B )-4-5-6-7-8-9-10SIMULINMESURE LIN10 5 10 6 10 7 10 8fréquence (Hz)Figure III-45 – Confrontation en basse fréquence du paramètre S 11L’apparition de pics de résonance indésirables en simulation est plus voyante sur les résultatsde mesure et de simulation du paramètre de réflexion au port numéro 2, que l’on montre dansla FIGURE III-46. Globalement, nous voyons bien sur cette figure, que les allures des deuxéléments seraient assez similaires en faisant abstraction des pics indésirables, leur présenced’apparition est exactement la même que sur la FIGURE III-44 et cela prouve une fois encoreque ces apparitions sont causés par une estimation imparfaite des valeurs des capacités.133

Chapitre III0Module de S22 (dB)-5-10S22 (dB)-15-20-25SIMULINMESURE LIN-300 1 2 3 4 5fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure III-46 – Mesure et simulation du paramètre S 22Nous montrons dans la courbe suivante sur le même graphe, les résultats des simulations quinous donnent les paramètres S11 et S22, cette figure conforte notre précédente justification.0Module des Paramètres S (dB)-5-10Sii (dB)-15-20Résonancesindésirables-25RésonancesréellesS11S22S44S77-300 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5fréquence (Hz)x 10 8Figure III-47 – Comparaison des deux paramètres S 11 et S 22Nous justifions aussi l’apparition de ces phénomènes aux mêmes fréquences sur certainescourbes des paramètres de réflexion par le fait que les ports pour lesquels apparaissent cesrésonances indésirables sont liés physiquement (comme pour les ports 1, 2 et 7), et du coupils sont sous la coupe des mêmes erreurs.134

Chapitre IIIIl existe sur les autres courbes également l’apparition de résonance indésirables, et ce pour lesparamètres de réflexion aussi bien qu’en transmission, et les causes de leurs apparitions nediffèrent pas de ceux des cas précédents. (S44 sur la FIGURE III-47)L’apparition de ces résonances a une influence négative importante sur le comportement desces paramètres. En effet, l’avènement de ces phénomènes provoque parfois un retardementfréquentiel des réelles résonances, ou bien une baisse dans les atténuations des réellesrésonances, ou même parfois une déformation globale de la réponse du paramètre enquestion.Nous montrons l’exemple du paramètre S45 dans la FIGURE III-48. Sur cette figure, onremarque que les allures sont globalement très proches, cependant, les différences existantessont dues aux multiples phénomènes indésirables.Nous remarquons exactement les mêmes phénomènes sur d’autres paramètres de la matriceS, nous montrons un nouvel exemple dans la FIGURE III-49.Nous avons réalisé que ces phénomènes apparaissent pour la majorité dans les paramètresdes ports qui se trouvent les plus proches des coins que constituent les plans de masse. Dansces zones là, nous pensons que les calculs que nous avons entrepris ne reflètent pasexactement les comportements réels. Nous le remarquons dans les paramètres faisant entreren jeu les ports 1, 2 ou 7 et ce aussi bien en réflexion qu’en transmission.Nous remarquons également que les comportements des paramètres résultants de nosmodèles ne sont pas trop loin du comportement réel, en faisant abstraction de ces résonances,qui se multipliaient avec la montée en fréquence.Nous exposons dans la FIGURE III-48 quelques exemples de ces courbes sur une large bandefréquentielle (la bande utilisée est celle de l’appareil de mesure) qui va jusqu’à 3 GHz. Nous ymontrons une assez bonne concordance entre les résultats simulés et ceux mesurés pourdifférents paramètres : S17, S22, S23, S34, S45, S56, S67 et S71.0Module de S45 (dB)-5-10S45 (dB)-15-20SIMULINMESURE LIN-250 1 2 3 4 5fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure III-48 – Comparaison du paramètre S 45135

Chapitre III0Module de S53 (dB)-5-10-15S53 (dB)-20-25-30-35SIMULINMESURE LIN-400 1 2 3 4 5fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure III-49 – Comparaison du paramètre S 53Bien que des différences existent entre les courbes, nous considérons que la correspondanceentre elles est assez bonne. Notre modèle présente donc, malgré ses quelques insuffisances,une bonne traduction des phénomènes réels qui régissent le comportement d’un schéma decâblage électrique en présence de plans de masse.Nous n’opérons pas de comparaisons rigoureuses sur ces figures-là, car la discrétisationeffectuée sur le dispositif n’est pas adaptée à la longueur d’onde correspondante à la plusgrande fréquence.Nous avons procédé à des améliorations et à une optimisation du calcul capacitif utilisés dansnos simulations (nous l’avons fait pour le coin regroupant les ports du MOTEUR 1), et nousavons réussi à améliorer la réponse des paramètres de transmission entre ces ports.Nous montrons l’exemple du paramètres de transmission entre le port 3 et le port 4, surl’échelle jusqu’à 1 GHz, nous constatons que la présence des résonances indésirables constituele principale inconvénient qui cause la distorsion dans les résultats de simulation par rapportaux mesures. Sur les fréquences ou sur les amplitudes nous arrivons à retrouver des résultatsdu même ordre que la mesure, cela prouve la bonne transformation du circuit de câblage enson circuit équivalent.Selon l’utilisation de ces résultats, nous pouvons à ce stade nous satisfaire de ces résultats,qui seraient perfectibles par une décomposition plus rigoureuse des contributions capacitivesdans les zones où les interactions sont plus importantes, surtout dans les zones de croisementdes différents plans de masse.136

Chapitre III0Module de S17 (dB)0Module de S22 (dB)-10-5-20-10S 1 7 (d B )-30S 2 2 (d B )-15-40-20-50SIMULINMESURE LIN-25SIMULINMESURE LIN-600 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 9-300 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 90Module de S23 (dB)0Module de S34 (dB)-10-10-20-20-30-30S 2 3 (d B )-40S 3 4 (d B )-40-50-50-60-60-70-70SIMULINMESURE LIN-80SIMULINMESURE LIN-800 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 9-900 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 90Module de S45 (dB)0Module de S56 (dB)-5-10-10-20-15S 4 5 (d B )-20-25S 5 6 (d B )-30-40-30-50-35-40SIMULINMESURE LIN-60SIMULINMESURE LIN-450 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 9-700 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 90Module de S67 (dB)0Module de S71 (dB)-10-10-20-20S 6 7 (d B )-30S 7 1 (d B )-30-40-40-50SIMULINMESURE LIN-50SIMULINMESURE LIN-600 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 9-600 0.5 1 1.5fréquence (Hz)2 2.5 3x 10 9Figure III-50 – Résultats de quelques paramètres et comparaison avec les mesures137

Chapitre III0MODULE DE S34 (dB)-5-10-15S34 5(dB)-20-25-30-35-40-45S34 SIMULATIONS34 MESURE-500 1 2 3 4 5fréquence (Hz)6 7 8 9 10x 10 8Figure III-51 – Résultats de quelques paramètres et comparaison avec les mesuresPRECISION : Les différences, rencontrées dans la plupart des courbes, peuvent avoirplusieurs causes : les plus importantes sont liées à la prise en compte des différents couplagesexistants dans le comportement réel du dispositif, où pour des raisons de complexité dudispositif, nous avons été emmené à négliger ou à faire abstraction involontairement decertains couplages qui pourraient se révéler influents dans la réponse de l’EST. Un cas similairea été cité dans la partie (II-3-C) du CHAPITRE II et nous avait révélé les conséquences que celapourrait avoir.Nous avons dû également commettre, dans nos simulations, et ce par rapport au dispositifmesuré et de manière involontaire, des irrégularités entre le schéma géométrique ensimulation et le prototype réalisé. Ceci aussi peut être une cause de certaines anomalies entreles réponses théoriques de nos dispositifs et leurs mesures. Nous citons également lesclassiques erreurs de mesures auxquelles nous ne pouvons échapper.5. QUELQUES CHIFFRESConcernant les simulations, l’avantage de la méthode PEEC est nettement exploité dans cetteapplication. Nous n’effectuons la transformation électrique du schéma géométrique décrivant ledispositif de câblage qu’une seule fois. La méthode PEEC ne tient pas compte des élémentsextérieurs et donc le schéma équivalent est valable pour toutes les situations en simulation.Avec une discrétisation à base de cellules centimétriques, nous obtenons un maillagecomprenant plus de 600 éléments, et ce en incorporant les considérables réductions piTesT surles différents plans de masse. Une représentation globale du dit dispositif aurait grandementamplifié le nombre d’éléments dans le circuit équivalent, le piTesT nous permet d’éviter detelles surcharges de composants.La transformation d’un tel dispositif en un fichier circuit est effectuée en 11’ 34’’. Au vu de lacomplexité du dispositif, ce temps consommé est largement convenable, d’autant plus quenous n’effectuons cette opération qu’une seule fois pour toute la compagne de simulation.138

Chapitre IIIL’insertion des capacités de couplage dans le fichier circuit résultant est quasi-instantanée,nous utilisons les résultats des simulations FD2D que nous plaçons rigoureusement enrespectant les nœuds électriques fixés par la transformation en circuit du fichier géométriquedescriptif.Les simulations électriques s’effectuent après la définition des différentes conditions desimulations (alimentations, charges, plage de fréquence, le nombre de points fréquentiels…etc.) et ici les temps de simulations dépendent principalement du nombre de points defréquence choisi, nous citons deux exemples plus ou moins extrêmes des tests effectués :Pour 1600 points de fréquence (analogue à la mesure) entre [30 KHz – 3 GHz], letemps de simulation SPICE est de 22mn.Pour 100 000 points de fréquence entre [30 KHz – 3 GHz], le temps de simulationSPICE est de 1h 6mn.Au vu de la complexité du dispositif, les temps de calcul cités sont acceptables, ces derniersaugmentent très vite si nous essayons de mailler de manière plus fine, avec des résultats quine seront pas forcément très différents de ce que l’on vient de présenter. Nous considérons lesrésultats obtenus dans cette application comme très encourageants et très satisfaisants.Au vu de la complexité du dispositif du modèle de câblage étudié, et par rapport à notreinterprétation des phénomènes qui régissent le comportement des différents paramètresmesurés, notamment le calcul des différentes contributions capacitives, où nous avons sansdoute omis de mettre l’accent sur certains couplage qui pourraient se révéler influent.Il existe également d’autres facteurs qui peuvent influencer le comportement lors de lamesure, ces éléments sont d’ordres pratiques, nous pouvons citer par exemple :- L’impossibilité de fidéliser le prototype réalisé à la géométrie simulé, quand on sait quele moindre millimètre de différence peut jouer un rôle déterminant sur le comportementglobal. La difficulté réside principalement dans la distance entre les différents câbles.- La non-prise en compte dans la simulation des supports utilisés dans le prototype, nousavons considéré, dans nos simulations, que les câbles sont suspendus dans le vide audessusdu plan de masse.- La considération liée à l’influence des câbles de mesures pour ce genre demanipulations, où nous savons que les câbles sont très sensibles et que la moindredistorsion de ces derniers peut être nuisible à la mesure à effectuer.- …Néanmoins, les résultats restent toujours perfectibles, et le degré de précision dépendra del’utilisation des résultats de simulations effectuées.6. SYNTHESEL’application dédiée aux mesures du champ proche, nous montre que l’outil que nous sommesen train de réaliser, ou que le processus de simulation choisi ne sera pas limité auxapplications pour lesquels il a été conçu.Ainsi, nous l’avons adapté à cette étude et avons pu obtenir des résultats satisfaisants et dansle sens des études préalablement effectuées dans ce domaine au niveau de notre laboratoire.139

Chapitre IIICeci représente une ouverture supplémentaire pour l’outil en question, ceci pourrait être unautre moyen de simulation pour des études de couplages en champs proches. Sachant qu’enparallèle, une étude complémentaire se fait, dans le cadre d’une thèse, sur le calcul de champsélectromagnétiques à partir de résultats de simulation de la méthode PEEC.Nous avons pu démontrer sur cette première application, l’efficacité de notre procédure desimulation, qui nous a permis de reproduire une procédure de mesure en champ proche. Nousavons pu confronter les hypothèses émises sur des raisons de perturbations apparues lors deces mesures.Pour sa part, l’étude du câblage automobile constituait un vrai défi pour notre outil desimulation, sachant qu’il sera destiné à traiter des cas plus ou moins similaires.Les impressions, au vu de l’application, ont été très positives car pour une majeur partie deséléments comparé, nous avons été capables, et ce dans la gamme fréquentielle visée, dereproduire avec un degré de précision relatif, les mêmes comportements observés en pratique.Nos résultats ont été appréciables et les allures des paramètres simulés ont été fidèles à leurscorrespondantes réelles et ce malgré la complexité du dispositif étudié. Nous avons ainsi validél’utilisation des moyens de réduction telle le piTesT, qui rappelons le, a réduitconsidérablement le nombre d’élément dans l’exemple précédemment étudié.Nous avons validé, par la même occasion, le choix porté sur la représentation des couplagescapacitifs et sur leur moyen de calcul. Ce dernier n’étant pas encombrant dans le temps ou lenombre de calculs.Cette application a traité un cas d’étude dérivé de l’industrie automobile, à travers cette étudenous avons confronté notre méthodologie à la réalité des applications auxquelles sera destiné,et les enseignements que l’on a pu tirer ont été globalement positifs.L’amélioration des résultats nécessitera de connaitre l’utilisation des résultats de simulationseffectuées, cela définira le degré de précision à fixer sur le modèle où un travail plus poussésur le calcul des couplages existants sera exigé.140

CONCLUSION141

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ConclusionCONCLUSIONDans cette partie, nous allons retracer un bilan des travaux réalisés dans le cadre de la thèse.Ces travaux ont été motivés par l’influence grandissante des perturbations CEM émanantes desdifférents câbles qui composent les circuits de câblage d’un véhicule automobile.Dans ces travaux, et en nous basant sur des travaux antérieurs au sein de notre laboratoire,nous mettons en place, des contributions additionnelles à la conception d’un outil de simulationorienté vers les problématiques CEM du câblage automobile. Les dispositifs auxquels estdestiné cet outil de simulation se composent de plusieurs câbles hétérogènes en présence d’unou plusieurs plans de masse.En premier lieu, il fallait parcourir les différentes méthodes numériques de calculs utilisées enélectromagnétisme pour dégager, selon nos critères, la méthode adéquate sur laquelle se basénotre outil de simulation. Le choix s’est porté sur la méthode qui assurerait une résolutionaussi bien dans le domaine fréquentielle que dans le domaine temporelle, qui donnerait lapossibilité d’extraire un circuit électrique équivalent, le tout par une simulation dont le coût entemps serait minimum. La méthode qui s’est distingué le plus était la méthode PEEC.Cette méthode est particulièrement convenable dans la modélisation des milieux aussi bienconducteurs que diélectriques qui composeraient nos dispositifs d’étude, et puisque cetteméthode n’est pas de la famille des méthodes dites volumiques, son utilisation s’exécuteraitdans un temps plus rapide. Cette méthode permet, également, la prise en compte dematériaux magnétiques ou diélectriques dans les simulations.Dans le premier chapitre, en dehors de la partie consacrée à justifier le choix porté sur laméthode PEEC. Nous avons effectué, dans le cadre d’une prise en main de cette méthode, lespremières utilisations qui se résumaient à l’étude de câbles isolés.Ces câbles sont à section circulaire, et leurs modélisations par la méthode PEEC ont étéeffectuées par plusieurs modélisations différentes à base d’éléments orthogonaux. Nous avonspu, à travers ces études, mettre le point sur certaines facultés de la méthode PEEC. Celle-cinous a permis d’étudier sur deux branchements différents, et en fonction des dimensions, lavariation de l’impédance des câbles et la distribution des courants dans les branches.Allant dans le sens des critères de choix de la méthode de simulation, et surtout dans uneoptique de minimiser le temps de calcul, nous avons entrepris de remplacer la méthode demodélisation des câbles circulaires utilisé jusque là par une autre plus simplifiée et toute aussiefficace : la méthode choisie se base sur une modélisation carrée ayant une section égale auxcâbles circulaires. En revanche, les améliorations apportées par cette méthode s’accompagnentde pertes dans les résultats et pour compenser ces lacunes, nous avons développé descoefficients mathématiques de corrections qui améliorent les résultats de simulation et lesrendent du même ordre que ceux obtenus par la modélisation de câbles circulaires.Dans un second temps, nous sommes passés à l’étude des dispositifs de câblage en présenced’un plan de masse. Dans ces exemples, nous avons constaté le manque qu’il y avait dans laméthodologie de simulation. Cette dernière avait comme premier objectif la gestion desdispositifs de câblage automobile dans une bande fréquentielle ne dépassant pas la centainede mégahertz. Notre objectif dans le présent travail est de garantir une bonne concordancedans une bande fréquentielle plus large, atteignant au moins le gigahertz.143

ConclusionDans le second chapitre, nous avons défini les attentes de l’outil de simulation à développer.Ce dernier devait donc couvrir une large bande de fréquence et permettre le traitement degrands systèmes dans un temps de simulation convenable.La montée en fréquence passait, obligatoirement, par l’intégration des phénomènes decouplages capacitifs. Il fallait opérer un choix judicieux sur le moyen à employer à cet égard.Mais l’intégration des calculs originels nous a paru très complexe à mettre en œuvre et surtoutentrainerait un nombre de calcul très important. Visant la simplicité, l’efficacité et surtout larapidité, nous avons opté pour l’insertion des contributions capacitives à travers des capacitéslocalisées qui traduisent les principaux phénomènes de couplage.Nous avons exposé dans ce chapitre les différents moyens de calculs disponibles parmilesquelles ceux utilisés par la suite. A noter au passage, que nous aurons dans un futur trèsproche une routine de calcul automatique intégré à notre procédure de simulation. Parmi lesmoyens de calculs exposés, nous avons présenté « FD2D », un outil de calcul sur lequel sesont basés les calculs relatifs aux applications du dernier chapitre.Nous devions nous préparer à affronter des systèmes de grandes dimensions qui existeraientdans les applications automobiles. Pour cela, nous avons introduit des procédures de réductionqui nous ont été utiles dans l’optimisation du temps de simulation. Nous avons, également,pris en considération dans nos modélisations les principaux phénomènes qui apparaissent dansla bande fréquentielle choisie : le phénomène de propagation des ondes, l’effet de peau etl’effet de proximité.Le troisième et dernier chapitre a été intégralement consacré à des études applicativesconcrètes. Nous avons voulu confronter notre outil de simulation à des études qui nécessitaitune connaissance aigue des phénomènes d’interactions de câblages, en présence de plans demasse, et ce pour pouvoir les modéliser d’une manière très fidèle.La première application traitait d’une problématique constatée, dans notre laboratoire, lors desmesures en champs proches. La problématique en question est relative au calibrage dessondes de mesures à travers des mesures du champ magnétique rayonné par une ligne audessus d’un plan de masse. La modélisation, de la procédure de mesure, a été réalisée selonles principes de la méthode PEEC, où nous y avons défini les principaux couplages capacitifscalculés avec le logiciel FD2D et étoffé par un calcul neuronal. Nous avons reconstitué laprocédure de mesure à travers plusieurs simulations et les résultats que l’on a obtenus ont étéen bonne adéquation avec les hypothèses émises au préalable. Nous avons pu démontrer queles couplages capacitifs agissent grandement sur la dégradation qui se produit en inversantl’orientation de la sonde. Ce qui est en accord avec les travaux entrepris dans le laboratoire.La seconde application traitait d’un schéma de câblage inspiré de l’industrie automobile, nousavons conçu ce schéma en nous inspirant de celui qui lierait deux moteurs d’essuie glace etleur alimentation. La modélisation incluait les réductions des dimensions des plans de massequi nous permet de réduire le modèle électrique du dispositif et surtout réduire les temps desimulation. Le calcul capacitif a été le plus minutieux possible pour décrire le comportementglobal du schéma de câblage. Pour les comparaisons, nous nous sommes basés sur desmesures de paramètres S. Les résultats obtenus étaient très encourageants et prouvaient labonne adaptation de notre outil à ce genre de mesures.144

ConclusionCes différents exemples nous ont permis de valider notre processus de simulation, que nousavons expérimenté à travers des exemples complexes pour mettre en évidence son utilité, savalidité ainsi que l’exactitude des résultats qu’il fourni. Les résultats obtenus sont jusqu’ici trèsencourageants mais demeurent, en même temps, encore perfectibles.La démarche choisie, pour le calcul de la contribution capacitive, s’avère donc être judicieuseet surtout promet d’être non encombrante et bientôt automatisée. Ces calculs devaient,toutefois, être effectués de manière intelligente et globale pour prendre en compte lesprincipaux couplages existants réellement. Nous avons vu qu’une petite négligence entraineraitun comportement inexact et induirait en erreur notre simulation.Dans la perspective d’amélioration du dit processus de simulation, nous avons entreprisd’intégrer donc intégralement une procédure de calcul des contributions capacitives afind’automatiser encore plus le processus et aussi dans le sens de la conception d’un outilcomplètement indépendant.Il est à noter également, que l’intégration des effets de peau et de proximité doit être prise encompte à chaque simulation. Bien que l’incorporation, de ces effets là, augmente le nombred’éléments, leur prise en compte est nécessaire pour certaines applications en hautesfréquences. Leur prise en compte, se fait à l’étape du maillage, et passe par une discrétisationen section des éléments sous test. Ceci représente une manière sûre de garantir la possibilitéde variation en fréquence pour l’impédance des EST, surtout en matière de contributionrésistive. Cependant, nous devons, en parallèle, trouver un moyen intelligent permettantl’optimisation cette prise en compte en fonction des résultats attendus.Pour compléter cet outil de simulation, il est question, dans une thèse en cours de préparation,de développer les codes permettant le calcul des champs électromagnétiques rayonnés par unschéma de câblage en présence d’un ou plusieurs plans de masse. Cette contributionreprésente une des perspectives d’élargissement des compétences de notre outil desimulation, que nous espérons va être très utile pour le traitement des problématiques decâblage rencontrées par les constructeurs automobiles et par leurs équipementiers.145

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BIBLIOGRAPHIE147

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154ANNEXES

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AnnexesI. ANNEXE ACapacités de fils horizontaux au dessus d’un plan de masse1. Calcul du champ électriqueV 1 ; Q 12aEMrE'hZone imager’h-V 1 ;-Q 1Figure A-1 - Base de calculPour tout point de l’espace tel que présenté FIGURE A-, un point M voit un champ électriquegénéré par la ligne (V 1 , Q 1 ) et son image associée.Ce champ E t total vaut :Q1.urE =2πεr0− Q1.urE'=2πεr0'⎫⎪⎬E⎪⎪⎭t= E + E'(A-1)Ce champ correspond à un potentiel :− Q1⎫V = ln( r)2πε0⎪⎬VtQ1V ' = ln( r')⎪2πε0⎪⎭= V + V ' et V ( r = r')= 0t(A-2)Cette valeur de champ nous permet d’écrire la valeur de la capacité du fil vis-à-vis du plan demasse.156

AnnexesQ = C(V11− 0)2πε0C =⎛ 2h⎞ln⎜−1⎟⎝ a ⎠1V = V ( r = a ; r'= 2h− a)− Q1V1=2t0Q1ln( a)+ ln(2h− a)2πεπε (A-3)0Poussons plus loin le calcul en nous basant sur les écritures de la FIGURE A-2.V 1 ;Q 12aEMrE'hDh’2bZone imager’h-V 1 ;-Q 1Figure A-2 - Considération de deux filsFaisons l’hypothèse que ce nouveau fil (isolé) ne perturbe pas les lignes de champ. End’autres termes, considérons qu’il est de petite taille par rapport aux autres dimensions (h, D).Le premier calcul de tension reste identique (V 1 créée par Q 1 ). Le calcul de V 2 générée par Q 1en absence de charge libre sur le second fil revient à effectuer le même calcul au point dusecond fil.VV22= V ( r = D ; r'= 4h*h'+ D²)tQ ⎛ ⎞1 4h*h'+ D²= ln⎜⎟2πε0 ⎝ D ⎠(A-4)En généralisant le calcul on peut définir la matrice K inverse de la capacitive C :157

Annexes⎡V⎢⎣V12⎤⎥ =⎦[ K ]⎡Q⎢⎣Q12⎤⎥⎦⎡ ⎛ 2h⎞⎢ ln⎜−1⎟⎝ a ⎠2πε⎢0⎛ 4h*h'+ D²⎞⎢ln⎜⎟⎢⎣ ⎝ D ⎠⎛ 4 * ' ² ⎞⎤ln⎜h h + D⎟⎥D⎛ 2h'⎞⎥ln⎜−1⎟⎥⎝ b ⎠ ⎥⎦1 −[ K ] =⎢⎝⎠⎥= [ C] 1(A-5)Nous pouvons encore généraliser cette matrice en :[ K]⎡ ⎛ 2h1⎞⎢ln⎜ −1⎟⎢ ⎝ r1⎠⎢⎢⎛ 4h+⎜2* h1D⎢ln1⎜= ⎢ ⎝D212πε⎢0⎢M⎢⎢⎢⎛ 4h* +ln⎜nh1D⎢ ⎜⎣ ⎝Dn121n1² ⎞⎟⎟⎠² ⎞⎟⎟⎠⎛ 4h⎜1* h2+ Dln⎜⎝D12⎛ 2h2⎞ln⎜ −1⎟⎝ r2⎠12² ⎞⎟⎟⎠LO⎛ 4h* +⎜1hnDln⎜⎝D1n⎛ 2hln⎜⎝ rnn⎞−1⎟⎠1n²⎞⎤⎟⎥⎟⎠⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(A-6)Avec :n : nombre de filh i : hauteur du fil numéro iD ij : distance entre les fils i et j.158

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AnnexesII.ANNEXE BCapacités de fils verticaux au dessus d’un plan de masse1. Hypothèse de travailLe calcul est plus complexe que précédemment puisque qu’il n’y a pas de symétrie nouspermettant de simplifier les calculs. Il nous faut donc créer des symétries virtuelles.Pour simplifier le calcul de la capacité d’une section d’un fil vertical au dessus d’un plan demasse nous allons considérer que celui-ci fait partie d’un fil de grande dimension.2a’E2ah 2h 1θ 12. Calcul de la capacité propreFigure B-1 - Considération de simplificationLe segment est pris comme étant issu d’un trapèze rectangle en révolution et non unrectangle. Le champ E est considéré comme de symétrie cylindrique. Le potentiel V estconsidéré constant sur un θ constant : V=f(θ).1 ∂E −∇V= − V .r ∂θ( θ ) u θ= (B-7)Au voisinage de la surface (θ= θ 1 ) : V=V 1 . Le champ électrique E vaut :σ E . uε= (B-8)θ160

AnnexesOn peut en déduire les charges de surface :σε ∂− Vr ∂θ( θ )= pour θ= θ1 (B-9)Puis la charge total :h 2π2ε ∂Q = ∫∫σdS= −∫ ∫ Vr ∂θh10∂∂θ( θ ) rdrdϕ= −2πεV ( θ )( h − h )21pour θ= θ1(B-10)Pour le calcul du potentiel, nous utilisons la relation de poisson en coordonnées sphériques :∆V=02=r1 ⎛ ∂ ⎛ ∂V⎞⎞⎜ ⎜sinθ⎟⎟sinθ⎝ ∂θ⎝ ∂θ⎠⎠(B-11)Nous arrivons à la résolution suivante :∂ ⎛ ∂V⎞⎜sinθ⎟ = 0∂θ⎝ ∂θ⎠∂Vsinθ= C1∂θ∂VC1=∂θsinθ⎛θ⎞V = C1ln tan⎜⎟ + C2⎝ 2 ⎠(B-12)C 2 =0 (plan de masse pour θ=π/2)C 1 est tel que V(θ 1 )=V 1 . :⎛θ1⎞V1= C1ln tan⎜⎟⎝ 2 ⎠V1C1=⎛ a ⎞ln⎜⎟⎝ 2h1⎠(B-13)Pour obtenir Q, nous appliquons :161

Annexes∂V∂θ( θ )θ = θC1Q = −2πεsinθ1C1=sinθ1( h − h )211(B-14)Nous obtenons donc :Q = −V1( h − )122h1πε (B-15)⎛ aln⎜⎝ 2h⎞⎟sinθ1⎠La capacité vaut alors :2πε⎛ 2hln⎜⎝ a( h − h )2 1C =(B-16)1⎞⎟sinθ1⎠Nous finalisons la capacité par le calcul suivant :2πεC =( h − h )21⎛ 2ha ln⎜⎝ ah121⎞⎟⎠+ a2(B-17)Effectuons une inversion et appliquons un développement limité de sin(θ 1 ) en moyennegéométrique de h 1 et h 2 :V = Q1sinθ≈1sinθ≈11⎛ 2hln⎜⎝ a2πεh21ah h1⎞⎟sinθ1⎠( h − h )a+ a21221≈⎡⎛ a⎢⎜1 +⎢⎣⎝ h12h2a22+ a12⎞⎛ a⎟⎜1 +⎠⎝h22=2⎞⎤⎟⎥⎠⎥⎦2 2 2( h + a )*( h + a )4 22114≈ah h1a2⎛ a⎜1−⎝ 4h221a−4h222⎞⎟⎠(B-18)Le facteur K 11 peut s’exprimer :K11⎛ h1+ h2⎞ln⎜⎟2 2a ⎝ a ⎠ ⎛( ) ⎟ ⎞= ⎜a a1−−2 2h 22−1hπε h h21 ⎝ 4h14h2⎠(B-19)162

Annexes3. Calculs des capacités mutuellesNous allons appliquer de nouveau l’hypothèse simplificatrice qui impose que les autres fils neperturbent pas les lignes de champs (idem §1). L’angle θ 2 est l’angle moyen.2a’2aθ 2h’ 12bh’ 2DFigure B-2 - Considération de simplificationVV22⎛θ2 ⎞V1ln tan⎜⎟⎝ 2 ⎠=⎛ a ⎞ln⎜⎟⎝ h1+ h2⎠=⎛θ2− Q1aln tan⎜⎝ 2=2πεh h12⎞⎟⎠ah h12⎛⎜1−⎛ h1+ hln⎜⎝ a2πε( h − h )−( ) ⎜⎟ 2 2h2− h1⎝ 4h14h2⎠a22a22⎞⎟⎠ ⎛ a⎜1−⎝ 4h1⎞221a−4h222⎞⎟Q⎠1⎛θ2 ⎞ln tan⎜⎟⎝ 2 ⎠⎛ a ⎞ln⎜⎟⎝ h1+ h2⎠(B-20)Nous devrons rester dans le cas où D est petit devant h 1 ’ et h 2 ’ :V2⎛ h2' + h1' ⎞Q1aln⎜⎟2 2⎝ D ⎠ ⎛⎞= ⎜a a1−−22πεh h12( ) ⎜⎟ 2h2− h1⎝ 4h14h2⎠(B-21)Si nous considérons la résolution en Q 2 :⎛ h2+ h1⎞Q2bln⎜⎟2 2⎝ D ⎠ ⎛ b b ⎞V1= ⎜1−−22πεh ' h '12( )⎟ 2h2' −h1' ⎝ 4h1' 4h2' ⎠(B-22)163

AnnexesNous devons effectuer une moyenne arithmétique pour accroitre la pertinence du calcul :KK1112a=2πεh h=12⎛ h1+ hln⎜⎝ a( h − h )⎡ ⎛ h2' + h1' ⎞⎢ aln⎜⎟1⎛⎢ ⎝ D ⎠ ⎜1−4πε⎢ h1h2 2 1 ⎝⎢⎣212⎞⎟⎠ ⎛⎜a1−⎝ 4ha2−a−4h⎞⎟ +⎠⎛ h2+ hbln⎜⎝ D( ) ⎜ 2 2h − h 4h4h⎟ h ' h '( h ' −h')1221a22222⎞⎟⎠1221⎞⎟⎠12⎛ b⎜1−⎝ 4h1'22b−4h'22⎤⎞⎥⎥⎟⎠⎥⎥⎦(B-23)164