Représentation d'état - La Recherche - ENAC
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Systèmes linéairesAntoine Drouin<strong>ENAC</strong>Septembre 2011Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 1 / 34
Plan du cours1 Introduction/<strong>Représentation</strong> d’état2 Résolution de la représentation d’état3 Liens avec la fonction de transfert4 Observabilité/Commandabilité/Stabilité5 Exemples d’applications : Commande/EstimationAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 2 / 34
Plan de la scéance1 Systèmes dynamiques2 Relation entrée-sortie3 Notion d’état4 <strong>Représentation</strong> d’état5 Rappels d’algèbre linéaire6 ExemplesAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 3 / 34
système dynamiquesSystèmes dynamiquesAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 4 / 34
système dynamiquesSystèmes dynamiquesDimension InfinieDimension FinieStochastiqueDéterministeAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 5 / 34
système dynamiquesSystèmes dynamiquesSystème causal :son avenir ne dépend que de phénomènes passés ou présentsNotion d’entrées/sortie :avion :entrées : position gouvernessortie : mesures instrumentsusine :entrées : position des vannessortie : concentration du produitAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 6 / 34
Relation d’entrée-sortieRelation d’entrée-sortieUn système causal, déterministe, de dimension finie peut être décrit parune relation d’entrée-sortie :f (y, ẏ..y n , u, ˙u...u n ) = 0f : R i → R jf : relation entrée-sortieu : grandeur d’entréey : grandeur de sortieAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 7 / 34
Relation d’entrée-sortieExempleExemple : Filtre RC (1 er ordre linéaire)u − RCẏ − y = 0f (y, ẏ, u) = u − RCẏ − y = 0 : relation d’entrée sortieu : tension appliquée au système, grandeur d’entréey : tension aux bornes du condensateur, grandeur de sortieAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 8 / 34
Relation d’entrée-sortieSystèmes dynamiquesExemple :Réponse à un échelon unitaire avec différentes conditions initiales.Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 9 / 34
Notion d’étatNotion d’étatPour assurer l’unicité des relations causales u− > y, ajout d’un ensemblede paramètres X (t 0 ) appelé vecteur d’état à l’instant t0État d’un systèmeQuantité d’information nécessaire à t 0 pour connaitre le comportementd’un système à tout instant t > t 0 connaissant u[t 0 t]Coupure entre le passé et le futur.Mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur.<strong>La</strong> dimension de l’état (du système) est celle du vecteur de conditionsinitiales.Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 10 / 34
Notion d’étatAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 11 / 34
Notion d’étatFonction de transition d’étatForme générale :X (t) = χ(X (t 0 ), u[t 0 t])Fonction d’observation :y(t) = ψ(X (t), u(t))Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 12 / 34
Notion d’étatFonction de transition d’étatAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 13 / 34
<strong>Représentation</strong> d’état<strong>Représentation</strong> d’étatFonction de dynamiqueẊ (t) = f (X (t), U(t))X (t 0 )Fonction d’observation :Y (t) = g(X (t), U(t))f est une fonction de R dim(X )+dim(U) → R dim(X )g est une fonction de R dim(X )+dim(U) → R dim(Y )Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 14 / 34
<strong>Représentation</strong> d’état<strong>Représentation</strong> d’état pour un système linéaireFonction de dynamiqueẊ (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)X (t 0 )Fonction d’observation :y(t) = C(t)X (t) + D(t)u(t)A est une matrice réelle ( ou complexe ) de dimensiondim(X )xdim(X )B est une matrice de dimension dim(X )xdim(U)C est une matrice de dimension dim(Y )xdim(X )D est une matrice de dimension dim(Y )xdim(U)Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 15 / 34
<strong>Représentation</strong> d’état<strong>Représentation</strong> d’état pour un système LTIFonction de dynamiqueẊ (t) = AX (t) + Bu(t)X (t 0 )Fonction d’observation :Y (t) = CX (t) + Du(t)A est une matrice constante ( ou complexe ) de dimensiondim(X )xdim(X )B est une matrice constante dim(X )xdim(U)C est une matrice constante dim(Y )xdim(X )D est une matrice constante dim(Y )xdim(U)Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 16 / 34
<strong>Représentation</strong> d’étatRemarques :Systèmes à temps continu / Systèmes à temps discret.Systèmes variant dans le temps, mais pas trop vite.Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 17 / 34
Rappels MathématiquesRappels d’algèbre (1)Matrice :Vecteur :⎛⎞a 1,1 a 1,2 a 1,3⎝a 2,1 a 2,2 a 2,3⎠ a i,j ∈ RouCa 3,1 a 3,2 a 3,3⎛ ⎞a 1⎝a 2⎠ a i ∈ RouCa 3Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 18 / 34
Rappels MathématiquesRappels d’algèbre (2)Déterminant d’une matrice :det(A) = ∑ sgn(σ)σ∈S nn∏i=1A i,σ(i)Développement récursif selon une ligne ou une colonne :Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 19 / 34
Rappels MathématiquesRappels d’algèbre (3)Polynome caractéristiqueP(λ) = det(λI − A)Valeurs propres :racines du polynôme caractéristiqueVecteurs propres :solutions de AX = λXComatrice :matrice des cofacteursRang d’une matrice :Inverse d’une matrice :Diagonalisation :Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 20 / 34
Rappels MathématiquesRappels d’algèbre (4)Les matrices représentent naturellement les applications linéairesL’application se traduit par un multiplication f (X ) = FX<strong>La</strong> composition se traduit par une multiplication g(f (x)) = GFXLes matrices inversibles représentent les bijections<strong>La</strong> matrice inverse est la représentation de l’application inverseAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 21 / 34
Rappels MathématiquesPluralité de la représentation d’état<strong>Représentation</strong> externe : unique<strong>Représentation</strong> d’état : définie à une transformation linéaire près.Soit M matrice régulièreX = M ˜XM ˙˜X = AM ˜X + BU˙˜X = M −1 AM ˜X + M −1 BUY = CM ˜X + DUÃ = M −1 AM ˜B = M −1 B ˜C = CMAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 22 / 34
Rappels Mathématiques<strong>Représentation</strong> graphiqueMultiplicateurSommateurIntegrateurAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 23 / 34
Rappels Mathématiques<strong>Représentation</strong> graphiqueAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 24 / 34
ExemplesExemple 2 : Système mécanique à un degré de libertéSeconde loi de Newton :mẍ = −Kx − f ẋ + uavec{ x(t0 )=x 0ẋ(t 0 )=ẋ 0Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 25 / 34
ExemplesExemple 2 : Système mécanique à un degré de liberté( ẋX =x)X (t 0 ) =Y = ( x ) U = ( u )( )x0x˙0( 0 1Ẋ =Y = ( 1−Km−fm) ( ) 0X + 1 Um0 ) X + ( 0 ) Umẍ = −Kx − f ẋ + u{ x(t0 )=x 0ẋ(t 0 )=ẋ 0Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 26 / 34
ExemplesExemple 3 : Système mécanique à deux degrés de libeMise en équations de la dynamique : à vous de jouer !Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 27 / 34
ExemplesExemple 3 : Système mécanique non linéaireMise en équations de la dynamique : à vous de jouer !Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 28 / 34
ExemplesExemple 3 : Système mécanique non linéaireÉquations de dynamique¨θ = − g lsin(θ){ θ(t0 )=θ 0˙θ(t 0 )= ˙θ 0Choix du vecteur d’état ?Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 29 / 34
ExemplesExemple 3 : Système mécanique non linéaire( θ˙θ)X =X (t 0 ) =Y = ( θ ) U = ( 0 )<strong>Représentation</strong> d’état ?( )θ0θ ˙0Ẋ (t) = A(X (t), U(t))X (t 0 )Y (t) = C(X (t), U(t))¨θ = − g l{ θ(t0 )=θ 0˙θ(t 0 )= ˙θ 0sin(θ)Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 30 / 34
ExemplesExemple 4 : Système mécanique non linéaire( θ˙θ)XX (t 0 ) =Y = ( θ ) U = ( 0 )( )θ0θ ˙ 0( )˙θẊ (t) = f (X , U) =− g lsin(θ)X (t 0 )Y (t) = g(X , U) = ( θ )¨θ = − g l{ θ(t0 )=θ 0˙θ(t 0 )= ˙θ 0sin(θ)Linéarisation ?Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 31 / 34
ExemplesExemple 3 : LinéarisationDévelopement en série de TaylorẊ (t) =f (X 0 , U 0 )+ ∂f∂X (X 0, U 0 )(X − X 0 )+ ∂f∂U (X 0, U 0 )(U − U 0 ) + hot( )θ˙Ẋ (t) = 0− g lsin(θ 0 )(+0 1− g l cos(θ 0) 0)(X (t) − X 0 )Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 32 / 34
ExemplesExemple 3 : Linéarisation (cont)Point d’équilibre : X e tel que f (X e , 0) = 0( 0X e1 =0)( πX e2 =0)<strong>Représentation</strong> d’état linéaire autour de X e1Ẋ (t) =( ) 0 1− g X (t)l0Antoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 33 / 34
ExemplesAntoine Drouin ( <strong>ENAC</strong> ) Systèmes linéaires Septembre 2011 34 / 34
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