feuille 5 de TD pour Maths1 (fonctions et courbes dans le plan)
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2. Confrontation avec <strong>le</strong> calcul En fait la fonction <strong>de</strong> la figure a <strong>pour</strong> expressionf(x, y) = − x33 − xy − y2 + x + 3 2(<strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs <strong>de</strong>s niveaux étant exprimées en centaines <strong>de</strong> mètres).a. On note x 0 la longitu<strong>de</strong> à laquel<strong>le</strong> a mouillé <strong>le</strong> plaisancier. Le profil <strong>de</strong> relief <strong>de</strong> la premièrequestion est <strong>le</strong> graphe d’une fonction <strong>de</strong> la variab<strong>le</strong> y. Écrire c<strong>et</strong>te fonction.b. Trouver (par <strong>le</strong> calcul) l’altitu<strong>de</strong> du point culminant <strong>de</strong> l’itinéraire.c. Trouver (par <strong>le</strong> calcul) la longitu<strong>de</strong> x 0 qui donne <strong>le</strong> pus p<strong>et</strong>it dénivelé.Exercice 21.— Calcu<strong>le</strong>r <strong>le</strong>s dérivées partiel<strong>le</strong>s secon<strong>de</strong> <strong>de</strong> chacune <strong>de</strong>s <strong>fonctions</strong> <strong>de</strong> l’exercice 18en (x, y) ≠ (0, 0).Exercice 22.-⋆- On considère toutes <strong>le</strong>s boites qui sont <strong>de</strong>s parallélépipè<strong>de</strong>s rectang<strong>le</strong>, <strong>de</strong> volume1, sans couverc<strong>le</strong>. On cherche cel<strong>le</strong>s dont la surface tota<strong>le</strong> <strong>de</strong>s parois est minima<strong>le</strong>.1. Exprimer la surface tota<strong>le</strong> S <strong>de</strong>s parois en fonction <strong>de</strong> la largeur l <strong>et</strong> <strong>de</strong> la profon<strong>de</strong>ur p ,S = f(p, l).2. Montrer que f a un unique point critique (p 0 , l 0 ), <strong>et</strong> calcu<strong>le</strong>r la va<strong>le</strong>ur <strong>de</strong> f en ce point.3. Par un DL d’ordre 2, montrer que l’on a trouvé un minimum local <strong>de</strong> la fonction f.4. On fixe l à une certaine va<strong>le</strong>ur > 0 <strong>et</strong> on considère la fonction d’une variab<strong>le</strong> g(p) = f(p, l).Etudier g <strong>et</strong> trouver une formu<strong>le</strong> <strong>pour</strong> son minimum absolu m(l) en fonction <strong>de</strong> l.5. Etudier la fonction m(l) <strong>et</strong> en déduire que f(p 0 , l 0 ) est <strong>le</strong> minimum absolu <strong>de</strong> f.Exercice 23.-⋆- Le but <strong>de</strong> c<strong>et</strong> exercice est <strong>de</strong> répondre à la question suivante : Parmi tous <strong>le</strong>striang<strong>le</strong>s <strong>de</strong> périmètre fixé, quels sont ceux qui ont une surface maxima<strong>le</strong> ?On donne la formu<strong>le</strong> suivante (formu<strong>le</strong> <strong>de</strong> Heron d’A<strong>le</strong>xandrie) : l’aire d’un triang<strong>le</strong> <strong>de</strong> côtésa, b, c est donnée parA = √ p(p − A)(p − b)(p − c)où p est <strong>le</strong> <strong>de</strong>mi-périmètre du triang<strong>le</strong>, p = 1 2(a + b + c).1. Pour simplifier, on considère <strong>le</strong>s triang<strong>le</strong>s <strong>de</strong> périmètre 2 (c-à-d p = 1). Exprimer l’aire enfonction <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux longueurs a <strong>et</strong> b.2. Dessiner <strong>le</strong> domaine <strong>de</strong> définition <strong>de</strong> la fonction. 13. Un triang<strong>le</strong> <strong>de</strong> périmètre 2 a ses côtés <strong>de</strong> longueur plus p<strong>et</strong>ite que 1 (<strong>pour</strong>quoi ?...). D’autrepart, comme la racine carrée est croissante, on peut tout aussi bien chercher <strong>le</strong> maximum <strong>de</strong> A 2 .On cherche donc maintenant <strong>le</strong> maximum, <strong>pour</strong> x <strong>et</strong> y compris entre 0 <strong>et</strong> 1, <strong>de</strong> la fonctionf(x, y) = (1 − x)(1 − y)(x + y − 1).Trouver <strong>le</strong>s points critiques <strong>de</strong> f.4. En faisant <strong>le</strong> DL 2 <strong>de</strong> f au point critique, évaluer si l’on a affaire à un minimum local, unmaximum local ou autre chose.5. On voudrait maintenant vérifier que <strong>le</strong> point critique correspond bien au maximum <strong>de</strong> la fonctionf.a. Pour y fixé (entre 0 <strong>et</strong> 1), trouver la va<strong>le</strong>ur <strong>de</strong> x <strong>pour</strong> laquel<strong>le</strong> f(x, y) est maxima<strong>le</strong>. On notem(y) la va<strong>le</strong>ur <strong>de</strong> f au point correspondant.b. Trouver la va<strong>le</strong>ur maxima<strong>le</strong> <strong>de</strong> m(y) <strong>pour</strong> y variant entre 0 <strong>et</strong> 1.c. Conclure.1 À quoi correspon<strong>de</strong>nt <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs <strong>de</strong> a <strong>et</strong> b extérieures au domaine <strong>de</strong> définition ?