Exercices d'application - Dunod

ScienceS induStrielleSpour l’ingénieurtout-en-unMP-PSI-PTJean-Dominique MosserJacques TanohPascal LeclercqUn cours conformeau programmeUne synthèse des savoirset savoir-faireDe nombreux exercicesavec corrigés détaillés

Table des matières1 Théorie des mécanismes 11.1 Paramétrer un mécanisme 21.2 Approche cinématique 91.3 Approche dynamique 151.4 Approche globale 211.5 Faut-il l’isostatisme ? 26Exercices d’application 28Exercices d’approfondissement 31Solutions des exercices 332 Description des masses en mouvement 432.1 Masse – Répartition de la masse 442.2 Quantité de vitesse et quantité d’accélération 522.3 Énergie cinétique 62Exercices d’application 68Exercices d’approfondissement 70Solutions des exercices 73© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.3 Dynamique des solides 833.1 Principe fondamental de la dynamique 843.2 Notion de puissance 903.3 Théorèmes énergétiques 933.4 Applications du PFD 99Exercices d’application 104Exercices d’approfondissement 107Solutions des exercices 112III

Table des matières4 Systèmes asservis – Stabilité des systèmes 1214.1 Systèmes commandés, asservis - Perturbations 1224.2 Stabilité des systèmes asservis 1304.3 Notion de pôles dominants 139Exercices d’application 142Exercices d’approfondissement 145Solutions des exercices 1575 Performances – Évaluation et amélioration 1695.1 Performances des systèmes asservis 1695.2 Améliorer les performances en corrigeant la commande 1825.3 Correction proportionnelle 1845.4 Corrections à action intégrale 1865.5 Corrections à action dérivée 1915.6 Correction PID 193Exercices d’application 195Exercices d’approfondissement 199Solutions des exercices 2036 Systèmes séquentiels –Représentations Grafcet multigraphes 2136.1 Évolution d’un Grafcet et actions 2146.2 Représentation Grafcet multigraphes 2246.3 Grafcet et description structurée 227Exercices d’application 238Exercices d’approfondissement 246Solutions des exercices 247IV

Théoriedes mécanismes1CHAPITREPlan1.1 Paramétrerun mécanisme 21.2 Approchecinématique 91.3 Approchedynamique 151.4 Approche globale 211.5 Faut-il l’isostatisme ? 26Exercices d’application 28Exercicesd’approfondissement 31Solutions des exercices 33IntroductionLes mécanismes sont des dispositifs constitués de solides assemblés pourtransformer des mouvements, et pour lesquels on peut mener deuxapproches complémentaires :• une approche technologique, pour l’art du choix et de l’assemblage descomposants ;• une approche mécanique, pour les outils et les méthodes de calcul àappliquer sur les modèles associés.La théorie des mécanismes est le domaine de la mécanique qui s’intéresseà l’architecture des mécanismes et relève clairement d’une approche mécanique.Elle s’appuie sur la théorie des graphes et sur les techniques de résolutiondes systèmes d’équations linéaires pour atteindre trois objectifs :• aboutir à une mise en équation ;• évaluer les possibilités de résolution ;• automatiser la recherche de l’influence de chacun des paramètres.Aujourd’hui, le génie logiciel accompagne le mécanicien et on met enconséquence l’accent plus sur la compréhension des phénomènes que surles méthodes de calcul, et on sollicite un travail d’imagination de mouvementsen parallèle aux activités menées.© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.Prérequis• Notion de solide indéformable.• Graphe de structure, graphe des liaisons.• Chaînes ouvertes et chaînes fermées.• Degré de liberté.• Liaisons usuelles.• Lois de composition des mouvements.• Techniques de résolution des systèmes d’équations linéaires.Objectifs• Paramétrer un mécanisme.• Dénombrer les inconnues et les équations disponibles.• Différencier les structures isostatiques des structures hyperstatiques.1

Chapitre 1 • Théorie des mécanismesExempleÀ partir de la liaison cylindre-plan, on doit trouver une droite sur l’un des solideset un plan sur le second.plandroitecylindre planUne demi-droite correspond à unintervalle fermé d’un côté par un pointP, infini de l’autre [P,∞[Le pas de l’hélice,souvent noté p,est undes invariants que l’on retrouve dans lescalculs !Un texte de présentation est rarementexhaustif. Un schéma cinématique estrarement complètement paramétré.L’un et l’autre sont élaborés de manièreà ce que l’ensemble des informationssoit accessible. En cas de doute, c’estl’absence d’information qui permet dechoisir la proposition la plus simple.Les quatre autres liaisons usuellesLes quatre autres liaisons usuelles méritent une attention particulière :• la liaison pivot autorise une seule rotation. Sur chacun des deux solides concernésest définie une droite :– ces deux droites restent confondues au cours du temps ;– ces deux droites ne peuvent pas glisser l’une le long de l’autre.On peut proposer comme caractéristique géométrique une demi-droite sur chacundes deux solides. Peu importe où est pris le point, mais une fois choisi, les deuxdemi-droites restent confondues au cours du temps.• la liaison glissière autorise une seule translation rectiligne orientée par un vecteur.Seule la direction est caractéristique.• la liaison hélicoïdale autorise une rotation et une translation rectiligne conjuguéespar la présence d’une hélice. On se contente dans le cadre de cet ouvrage de releverl’axe de rotation commun et la valeur du pas.• la liaison sphérique à doigt pointe sur un des solides vers un point sur une droite,et sur le second vers un point sur un plan.Exemple d’utilisationOn considère un mécanisme de levage réalisé à l’aide d’un vérin. Il est schématisé surla figure ci-dessous et composé de quatre ensembles :• un châssis 1, auquel on associe un repère (A, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ) ;• une benne 2, en liaison pivot d’axe (A, ⃗x 1 ) avec le châssis ;• un vérin pour assurer la rotation de la benne par rapport au châssis :– le piston 3 est en liaison pivot d’axe (C, ⃗x 1 ) avec le châssis ;– le corps de vérin 4 est en liaison pivot glissant d’axe (B, ⃗x 2 ) avec la benne ;– on modélise le contact entre la tige et le corps de vérin par une liaison pivot glissantd’axe (BC).z 12C314Bx 1y 1Aθ4Figure 1.1 Schéma cinématique du mécanisme.

1.1 • Paramétrer un mécanismeOn se propose d’analyser la structure décrite afin de comprendre les informations données,de faire apparaître les invariants, et enfin de compléter le paramétrage.Le graphe des liaisons comporte quatre sommets et quatre arcsPG(CB )3P ( x 1 )41PG( x 2 )2P ( x 1 )4 Corps de vérin3 Piston2 Benne1 ChâssisP Pivot d’axe (Dte )PG Pivot glissant d’axe (Dte )Monier Algèbre Monieréométrie MonierGMonier Algèbre GéoméMonier Algèbre MonierGéométrieLe point d’intersection est matérialisé surle schéma, et la perpendicularité estinduite par les directions tracées.Ce mécanisme admet six variables cinématiques, ce total étant la somme des degrés deliberté des différentes liaisons.La recherche des invariants se mène à partir de chacun des sommets :• on commence par le sommet attribué au corps de vérin 4, d’où partent deux arcs :4– la liaison pivot glissant vers 3 induit l’existencePG(d 43 ) PG(d 42 ) d’une droite d 43 ;32– la liaison pivot glissant vers 2 induit l’existenced’une autre droite d 42 ;On trouve donc sur le corps 4 deux droites d 42 et d 43 . L’absence d’informationscomplémentaires concernant ces deux droites invite à les considérer sécantes etperpendiculaires. On nomme B le point d’intersection et on associe à la pièce unebase vectorielle dont les directions ⃗x 4 et ⃗y 4 orientent les axes de rotation.Cette recherche est terminée, et on fait la synthèse de la géométrie du corps devérin 4z 4(d 43 )(d 42 )Bx 4y 4© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.• on s’intéresse maintenant au sommet du piston 3, et aux deux arcs qui le joignent :4d 34– la liaison pivot glissant vers 4 induit l’existenced’une droite d 34 ;3– la liaison pivot vers 1 induit l’existence d’unedd 31 demi-droite dd 31 ;1L’énoncé laisse envisager sur 3 ces deux droites sécantes et perpendiculaires. Onnomme en conséquence C le point d’intersection, (C,⃗x 3 ) la demi-droite et (C,⃗y 3 )la droite.z 3C(dd 31 )(d 34 )x 3y 35

Chapitre 1 • Théorie des mécanismes1.5 Faut-il l’isostatisme ?Monier Algèbre Monieréométrie MonierGMonier Algèbre GéoméMonier Algèbre MonierGéométriePour montrer la plus grande rigiditéd’une structure hyperstatique, il estnécessaire de mettre en œuvre desoutils issus de la résistance desmatériaux.On termine ce chapitre en éveillant le lecteur aux qualités respectives de l’isostatismeet de l’hyperstatisme :• pour une fonction mécanique souhaitée, une structure isostatique est plus économiquequ’une structure hyperstatique ;• une structure hyperstatique est plus rigide qu’une structure isostatique.En effet, les contraintes géométriques mises en évidence dans le cas de l’hyperstatismeinduisent soit une qualité de fabrication plus grande, soit la mise en place deréglages sur le mécanisme. On sait tout à fait réaliser et l’un, et l’autre, mais cela a uncoût. En conclusion, on peut dire que l’hyperstatisme est un choix réfléchi qu’il estnécessaire de financer quand les critères de performances ne sont pas atteints avec unestructure équivalente isostatique.Chercher à rendre une structure isostatique est une activité qui sollicite l’imaginationet que l’on illustre sur un exemple.ExempleOn reprend le mécanisme de levage proposé à la page 4, lequel présente un indicede mobilité nul. On souhaite rendre sa structure isostatique, sachant que l’on nepeut pas toucher à toutes les liaisons :• la liaison pivot entre la benne 2 et le châssis 1 doit rester robuste ;• l’actionneur reste le vérin proposé.Il est nécessaire d’ajouter des degrés de liberté au niveau des accroches du vérin.On propose ainsi une liaison sphérique entre la tige 3 et le châssis 1 à la place dela liaison pivot initiale.z 12C314Bx 1y 1Aθ26

SynthèsePG(CB )3S (C)41PG( x 2 )2P ( x 1 )P Pivot d’axe (Dte )PG Pivot glissant d’axe (Dte )S Sphérique de centre (Pt )On a ajouté deux degrés de liberté au sein de la structure, pour passer d’un indicede mobilité nul à un indice de mobilité égal à deux.{ m − h = 2m 2h 0Il y a au moins deux mouvements indépendants à imaginer ...On peut poursuivre ce travail de réflexion en utilisant les degrés de liberté de lachaîne ouverte 1 − 2 − 4 − 3 pour essayer de confondre les points C 1 et C 3 . Celasemble possible et on peut supposer la structure isostatique.SynthèseSavoirsJe sais définir les mots ou expressions :• sommets et arcs d’un graphe ;• cycle ;• paramétrer ;• variables et invariants ;• mobilité ;• indice de mobilité ;• degré de mobilité ;• degré de statisme ;• isotatisme et hyperstatisme ;• approche globale.Je connais :• les liaisons usuelles sous leurs aspects géométrique,cinématique et dynamique ;• la différence entre une approche cinématique etune approche dynamique ;• la représentation matricielle d’un système d’équations.Savoir-faire© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.Je sais :• tracer un graphe de structure sans que les arcs ne se croisent ;• dénombrer les cycles ;• paramétrer un mécanisme ;• déterminer l’indice de mobilité attaché à une structure ;• proposer des minorants pour les degrés de mobilité et de statisme.27

Chapitre 1 • Théorie des mécanismesExercices d’application1.1 Un espace à six degrés de libertéL’espace géométrique dans lequel évoluent les objets estde dimension 3. La position d’un point dans cet espace estainsi caractérisée par trois coordonnées. Un solide est unensemble infini de points et une question se pose :« Combien faut-il de paramètres scalaires indépendantspour définir la position d’un solide dans l’espace ? »Répondre à la question précédente par une approche géométrique,à partir de la définition d’un solide indéformable.1.2 Forme des systèmes d’équationsOn considère un mécanisme comportant une structuremobile et isostatique.1. Donner la forme du système d’équations obtenu par uneapproche cinématique.2. Recommencer pour une approche dynamique.1.3 Système vis-écrouOn se propose d’analyser un système de transformation demouvement utilisant l’association d’une vis et d’un écrou.Az 11y 1x 12Ce mécanisme comporte trois solides :• un support 1, auquel on associe un repère (A, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ) ;• un écrou 3, guidé en translation rectiligne par rapport ausupport par une glissière de direction ⃗x 1 ;• une vis 2, en liaison pivot d’axe (A, ⃗x 1 ) avec le supportet en liaison hélicoïdale de même axe avec l’écrou.1. Paramétrer ce mécanisme.2. Un moteur entraîne la vis par rapport au support etl’écrou est accroché à un récepteur. Déterminer la loientrée-sortie.3. On souhaite un déplacement suivant +⃗x 1 du récepteurlors de la rotation positive du moteur. Déterminer le sens àimposer à l’hélice de la liaison hélicoïdale.4. Évaluer le degré de statisme de cette structure.31.4 Un raccourci un peu trop rapide ?En parcourant un livre de mécanique, un étudiant découvreun énoncé qui commence ainsi :« Beaucoup de mécanismes s’appuient sur un triangledéformable. On se propose d’aborder cette structure à partirde l’exemple proposé ci-dessous.y 2Ay 1 x 22C3 1δαCe mécanisme est composé de trois solides :• un bâti 1 auquel on associe un repère (A, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ). Onpose −→ AB = b ⃗x 1 ;• un bras moteur 2, en liaison pivot d’axe (A, ⃗z 1 ) avec lebâti 1 :– on lui associe un repère (A, ⃗x 2 , ⃗y 2 , ⃗z 2 ) tel que ⃗z 2 =⃗z 1et la rotation possible est paramétrée par l’angle α ;– on définit le point C par −→ AC = c ⃗x 2 .• un bras récepteur 3, en liaison pivot d’axe (B, ⃗z 1 ) avec lebâti 1 :– on lui associe un repère (C, ⃗x 3 , ⃗y 3 , ⃗z 3 ) tel que ⃗z 3 =⃗z 1et la rotation possible est paramétrée par l’angle β ;– il est aussi en liaison sphère cylindre de centre C etd’axe (B, ⃗x 3 ) avec le bras 2, et on pose δ = (⃗x 2 , ⃗x 3 ) et−→ BC = x ⃗x3 .Le problème ainsi posé comporte quatre paramètresdépendant du temps : α, β, δ et x »L’objectif de cet exercice est de comprendre cette dernièreaffirmation.1. Réaliser le graphe de liaison du mécanisme et dénombrerles inconnues cinématiques. Ce dernier nombre est-ilcompatible avec la donnée de quatre paramètres géométriquesdépendant du temps ?2. Que représente le vecteur −→ BC ?3. Définir les torseurs cinématiques associés aux liaisons.4. Justifier l’angle δ posé sur le schéma cinématique entreles vecteurs ⃗x 2 et ⃗x 3 et conclure.xβBx 3x 128

Exercices d’application1.5 Pompe RV2On s’intéresse à la pompe RV2, extraite du groupe hydrauliqueV2H40 développé par la société LECOMBLE ETSCHMITT. C’est une pompe volumétrique à cylindréevariable, construite autour d’un barillet tournant à six pistonsaxiaux.On s’intéresse au statisme de cette structure.1. Calculer l’indice de mobilité de cette structure.2. Formuler un avis sur son statisme.3. Énoncer les caractéristiques géométriques propres àchacun des solides.4. Déterminer la loi entrée-sortie de la pompe..α.θPompe RV2.λ1.6 Pompe de préparationOn considère le schéma cinématique de la pompe de préparationd’un système de dialyse. La rotation de l’arbremoteur 2 est transformée en translation rectiligne alternativedu piston 3 sans pièce intermédiaire.Ce mécanisme est modélisé par un ensemble de quatresolides lorsque l’on ne tient compte que d’un seul piston :y 4Écorché de la pompe.y 1 y 2C DθAx 432x 1z 1w 121 AC y 3x 1B3αy 2y 141© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.B• le bâti 1, auquel est associé le repère (A, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ), surlequel on définit un point B caractérisé par −→ AB =−R ⃗y 1 .• le barillet 2, en liaison pivot d’axe (A, ⃗x 1 ) avec le bâti :– une base (⃗x 2 , ⃗y 2 , ⃗z 2 ) est attachée à 2, telle que ⃗x 2 =⃗x 1et on pose α = (⃗y 1 , ⃗y 2 ) ;– on définit sur ce barillet un point D, tel que−→ AD = R ⃗y2 .• un plateau 4, en liaison pivot d’axe (B, ⃗z 1 ) avec le bâti ;• un des pistons 3, en liaison pivot glissant d’axe (D, ⃗x 3 )avec le barillet 2 :– on pose un point C dont la position par rapport aubarillet est exprimée par −→ DC = λ⃗x 3 .– ce piston 3 est également lié au plateau 4 par une liaisonsphère-plan de centre C et de normale ⃗x 4 .Schéma cinématique de la pompe de préparationPhotos et références complémentaires disponiblessur www.jdotec.net.Ce mécanisme comporte trois ensembles solides :• Le bâti 1, auquel est associé le repère (A, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ). Ondéfinit dans le plan (A, ⃗y 1 , ⃗z 1 ) la droite (A, ⃗w 1 ) orientéepar l’angle θ = (⃗z 1 , ⃗w 1 ).• L’arbre moteur 2, en liaison pivot d’axe (A, ⃗z 1 ) avec lebâti. Une base (⃗x 2 , ⃗y 2 , ⃗z 2 ) est attachée à 2 tel que ⃗z 2 =⃗z 1et on pose α = (⃗x 1 , ⃗x 2 ). Enfin, on définit sur cet arbre unpoint C, situé à la distance r de l’axe de rotation, dont leprojeté orthogonal sur l’axe de rotation est noté K.• Le piston 3, en liaison pivot glissant d’axe (A, ⃗w 1 ) avecle bâti 1. Ce piston 3 est également lié à l’arbre 2par uneliaison sphère-cylindre de centre C et d’axe sécant aupoint B et perpendiculaire avec l’axe de la liaison pivotglissant.29

Chapitre 1 • Théorie des mécanismes1. Calculer l’indice de mobilité de cette structure.2. Formuler un avis sur son statisme.3. Rechercher les invariants géométriques et énoncer lescaractéristiques géométriques propres à chacun dessolides.4. Proposer l’épure d’un schéma cinématique dans le plan(A, ⃗y 1 , ⃗z 1 ) dans les deux cas suivants :• les points A et K sont confondus ;• les points A et K sont disjoints.1.7 Ponceuse portative vibranteOn considère une ponceuse portative vibrante dont le fonctionnementest modélisé par le schéma cinématique cidessous.La rotation continue à 3000 tr/mn de l’arbremoteur 2 par rapport au bâti 1 est transformée en rotationalternative du patin 4 par rapport à 1.z 1z 2Ax 1 y 1x 4z 4y44B3121. Tracer le graphe des liaisons et déterminer l’indice demobilité de la structure proposée.2. Sachant que le modèle cinématique est proposé à partird’un outillage électro-portatif qui fonctionne, que peut-ondire du degré de statisme du mécanisme ?3. Suite à un inventaire des invariants géométriques, précisersur quels solides sont définis les points A et B. Endéduire deux manières de décrire le vecteur −→ AB.4. Écrire les torseurs cinématiques associés aux différentesliaisons.5. Calculer les degrés de mobilité et de statisme.6. Déduire du travail précédent la loi entrée-sortief ( ˙θ, θ, ˙α, α) = 0.1.8 Robot TRIPTERONOn considère le robot schématisé ci-dessous. Il présenteune architecture originale pour gérer de manière indépendanteles trois translations d’un poignet 11 par rapport aubâti 1.« Les recherches théoriques permettent souvent de fairedes découvertes fascinantes. C’est le cas pour leTRIPTERON, un mécanisme parallèle à translations à3 DDL. Le prototype a d’abord vu le jour à travers les formulesmathématiques et la théorie des visseurs. Robotunique et breveté, il permet de réaliser des déplacementslinéaires dans toutes les directions. C’est en fait l’équivalentdes robots cartésiens sériels. Mais, puisqu’il est parallèle,il possède de nombreux autres avantages, notammentle positionnement des actionneurs sur la base, qui allège lapartie mobile et permet ainsi des mouvements rapides etune réduction du gauchissement. » (Extrait dehttp://robot.gmc.ulaval.ca/fr/recherche/theme104.html –Université Laval)Ce mécanisme est composé de quatre ensembles solides :• le bâti 1, auquel on associe un repère (A, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ) ;• le patin 4, en liaison pivot d’axe (A, ⃗z 1 ) avec le bâti 1.On lui associe un repère (A, ⃗x 4 , ⃗y 4 , ⃗z 1 ) et on poseθ = (⃗x 1 , ⃗x 4 ) . Sur cet arbre est définie une droite (B, ⃗z 4 )parallèle à la droite (A, ⃗z 1 ) et distante d’une valeurnotée L ;• l’arbre moteur 2, en liaison pivot d’axe (A,⃗y 1 ) avec lebâti. On lui associe un repère (A,⃗x 2 ,⃗y 1 ,⃗z 2 ) et on poseα = (⃗x 1 ,⃗x 2 ). Sur cet arbre est définie une droite (B,⃗y 2 )parallèle à la droite (A,⃗y 1 ) et excentrée d’une valeurnotée e.2564987103111zOn constate la valeur de l’excentration e petite devant lalongueur du bras L :xye ≪ L• un piston 3, en liaison pivot glissant d’axe (B,⃗y 1 ) avecl’arbre moteur et en liaison pivot glissant d’axe (B,⃗z 1 )avec le patin ;Ce robot comporte ainsi trois actionneurs linéaires attachésau bâti. On se propose d’imaginer quelques caractéristiques.30

Exercices d’approfondissement1. Tracer le graphe de structure de ce robot et associer àchaque arc une liaison, soit de type pivot, soit de typeglissière.2. Calculer l’indice de mobilité associé à la structure.3. Imaginer le mouvement du poignet 11 par rapport aubâti, lorsque l’on pilote le seul actionneur 2.4. Expliquer alors le rôle de chacun des actionneurs.5. Émettre un avis sur le statisme de ce modèle.Exercices d’approfondissement1.9 Train épicycloïdalLa figure ci-dessous propose le schéma cinématique d’untrain épicycloïdal simple sous sa forme la plus générale.Ce mécanisme comprend :• un bâti 0 ;• un planétaire 1 ;• un porte satellite 2 ;• une couronne 3 ;• un ou plusieurs satellites 4, répartis régulièrement sur leporte-satellite.2 31.10 Bielle-manivelleLes mécanismes de transformation de mouvements baséssur une architecture bielle-manivelle sont très nombreux.La figure ci-dessous propose un schéma cinématique deson principe de fonctionnement, semblable à celuiconstruit à la section 1.1.4Oy 1Aα23z 1y 2x 2x 34101x 1Bβ4Schéma cinématique d’un système bielle-manivelle.© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.1. Déterminer le nombre de degrés de liberté nécessaires auniveau du contact entre les pignons pour avoir une structureisostatique dans le cas d’un train épicycloïdal comportantun seul satellite.2. Généralement, un tel mécanisme comporte trois satellitesmontés en étoile sur le porte-satellites.Montrer que la structure est alors hyperstatique.Ce mécanisme est composé de quatre ensembles :• un bâti repéré 1, auquel on associe un repère(O, ⃗x 1 , ⃗y 1 , ⃗z 1 ) ;• une manivelle, repérée 2, en liaison pivot d’axe (O, ⃗z 1 )avec le bâti :– un repère (O, ⃗x 2 , ⃗y 2 , ⃗z 2 ) lui est associé en choisissant⃗z 2 =⃗z 1 ;– on pose l’angle α = (⃗x 1 , ⃗x 2 ) ;– on considère un point A caractérisé par −→ OA= R ⃗x 2 .• un piston, repéré 4, en liaison pivot glissant d’axe(O, ⃗x 1 ) avec le bâti :– on exprime la position d’un point B par −→ OB = λ⃗x 1 .• une bielle repérée 3, en liaison pivot d’axe (A, ⃗z 2 ) avecla manivelle, et en liaison pivot d’axe (B, ⃗z 3 ) avec le piston4 :– on pose −→ AB = L ⃗x 3 et on constate L ≫ R.31

Solutions des exercices1.1Exercicesd’applicationSoit un solide S, ensemble de points P i deux à deux équidistantsau cours du temps, et R un repère attaché à un autresolide.• Pour définir la position d’un point P 1 dans R, il faut et ilsuffit de trois paramètres scalaires, appelés coordonnées dupoint P 1 dans R ;x 1P 1 y 1R∣• Définir la position d’un deuxième point P 2 , différent de P 1 ,ajoute trois paramètres scalaires, à savoir ses trois coordonnées.x 1x 2P 1 y 1 P 2 y 2R∣R∣z 1Les deux points P 1 et P 2 restent équidistants au cours dutemps, ce qui induit une relation scalaire de dépendanceentre ces six paramètres.(x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 = d 2 12• Définir la position d’un troisième point P 3 ajoute ses troiscoordonnées et on obtient au total neuf paramètres.x 1x 2x 3P 1 y 1 P 2 y 2 P 3 y 3R∣R∣R∣z 1Ajouter ce troisième point introduit deux nouvellesrelations de dépendance lorsque ces trois points ne sont pasalignés⎧⎨ (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 = d122(x⎩ 3 − x 1 ) 2 + (y 3 − y 1 ) 2 + (z 3 − z 1 ) 2 = d132(x 3 − x 2 ) 2 + (y 3 − y 2 ) 2 + (z 3 − z 2 ) 2 = d232• Définir la position d’un quatrième point P 4 ajoute égalementses trois coordonnées, ainsi que trois relations dedépendance, donc aucun paramètre supplémentaire.En conclusion, la mise en position d’un solide S par rapportà un repère R nécessite la donnée de six paramètres scalairesindépendants.On peut mener en complément l’approche cinématique correspondantau raisonnement géométrique mené :• un solide libre de tout mouvement possède six degrés deliberté par rapport au repère de référence ;z 1z 2z 2z 3• fixer la position d’un point en annule trois et il ne subsisteque les trois rotations autour de ce point ;• fixer la position d’un deuxième point différent du premierannule deux rotations et il ne subsiste que la rotation dusolide autour de la droite joignant ces deux points ;• la dernière rotation est annulée en fixant la position d’untroisième point pris en dehors de la droite précédente.À propos des relations de dépendanceOn constate que considérer un cinquième point introduit troisnouveaux paramètres, ainsi que quatre relations de dépendance.Ce qui tend à montrer que les relations de dépendancene sont plus indépendantes !1.2Un mécanisme mobile et isostatique admet un degré de mobilitém strictement positif et un degré de statisme h nul.1. Lors de l’approche cinématique, on constate alors plusd’inconnues que d’équations, et le rang du système d’équationsest égal au nombre d’équations.E c lignesI c colonnesr cmI c=2. Concernant l’approche dynamique, on constate plusd’équations que d’inconnues et le rang est égal au nombred’inconnues.E s lignesI s colonnemr sI s=Secondmembre1.3• Ce mécanisme comporte une chaîne fermée de trois solides.1P ( x 1 )G(x 1 )2H ( x 1 )3PGH0..0Pivot d’axe (Dte)Glissière suivant (Vec)Hélicoïdale d’axe (Dte)33

ScienceS induStrielleSpour l’ingénieurtout-en-unMP-PSI-PTCe tout-en-un de sciences industrielles pour l’ingénieur a étéspécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiantsde classes préparatoires en deuxième année MP, PSI et PT.Il comprend :Un cours concis et conforme au programme.• Toutes les notions des filières MP et PSI, présentées de façonsynthétique.• Pour la filière PT, l’ouvrage aborde l’analyse, la commande et lecontrôle des servomécaniques.• Des remarques pédagogiques pour mieux comprendre le cours etidentifier les difficultés.• Une synthèse des savoirs et savoir-faire à la fin de chaque chapitre.JEAN-DOMINIQUEMOSSERest professeur agrégé enclasses préparatoires aulycée Kléber (Strasbourg).JACQUES TANOHest professeur agrégé enclasses préparatoires aulycée Kléber (Strasbourg).PASCAL LECLERCQest professeur agrégé enclasses préparatoires aulycée Kléber (Strasbourg).De nombreux exercices, accessibles, à difficulté progressive• Des exercices d’application directe pour réviser le cours, maîtriser lesméthodes et mécanismes de base.• Des exercices d’approfondissement pour aller plus loin.Tous les corrigés détaillés• Les exercices d’application et d’approfondissement sont tousintégralement corrigés.6667893ISBN 978-2-10-053419-7www.dunod.com