Troisième cours (13/02/06) PDF - Electrodynamique des systèmes ...

Autre configuration ionique ( 9 Be + ):refroidissement Raman2P 1/22P 3/2F = 1F = 22S 1/2ChampmagnétiqueBL 3 R 1R 21,12,1L 1 L 22,2R 1 !BLes états qubit sont 2 états Zeeman hyperfins1,1 et 2,2 du niveau fondamental (séparationL 3L 1313 nm1.25 GHz), préparés par pompage optiquedans un champ B. Les lasers quasi résonnantsL 1 ,L 2 et L 3 sur les transitions optiques vers lesétats excités P 1/2 et P 3/2 servent au pompageoptique, au pré-cooling Doppler et à ladétection de l’ion. Les deux lasers R 1 et R 2réalisent une excitation Raman pourrefroidissement sur bande latérale.

Principe du refroidissement par bandelatérale Raman! R! 2couplage effectif : ! R= ! 1! 2" Rfréquence "vue" par l 'ion :# L= # 2$ # 1! 12,2porteuse :! 2" ! 1= ! hf1,1 ! hf1 ère bande rouge :! 2" ! 1= ! hf" ! v1 ère bande bleue :! 2" ! 1= ! hf+ ! vL’ensemble des deux lasers Raman équivaut à un laser unique defréquence ω 2 -ω 1 excitant la transition |1,1> →|2,2> du qubit. Lamise à résonance sur la première bande rouge (ω 2 -ω 1 =ω hf -ω v )réalise la transition |2,2 ; n>→|1,1 ; n-1> et supprime un phonon.On réalise ensuite à l’aide des lasers L un cycle Raman spontanéqui recycle l’atome dans |2,2;n-1> et on recommence laprocédure.

Procédure expérimentaleL 1 L 21,1L 3L 1L 2L 3L 12,12,2L 3 R 1R 23. Pulse Raman1. Doppler cooling2. Pompage dans 2,2Les étapes derefroidissement 3 et 4sont répétéesplusieurs foisR 1R 22,2;n !1,1;n " 1 L 31,1;n ! 1 "L 12,2,n ! 14. Raman spon tané! 2" ! 1= ! hf" ! vR 1 2,2;n ! 1,1;n'(n' = n,n " 1,n + 1)R 25. Sonde Raman! 2" ! 1= ! hf+ #R 1 1,1;n !2,2;nR 26. Pulse ! Raman" 2# " 1= " hfL 27. Détection de 2,2cycle de fluorescence

Résultats expérimentauxC.Monroe, D.Meekhof, B.King, S.Jefferts, W.Itano, D.Wineland et P.Gould,PRL, 75, 4011 (1995)2,2;n ! 1,1;n " 1 2,2;n ! 1,1;n + 1Spectre des premières bande latérale rouge et bleue après Doppler cooling(points noirs) et side band cooling (points blancs). La disparition de la banderouge (et l’augmentation corollaire de la bande bleue) indique un nombremoyen résiduel de phonons r ∼ 0,014. Noter que la fréquence de vibrationde l’ion (11.2 Mhz) est beaucoup plus grande que dans le cas de Ca + (~1MHz). Le piège Be + de Boulder est plus confinant que le piège Ca +d’Innsbruck. Nous en verrons des conséquences plus loin.

Sélection d’un ion dans l’état fondamentalde vibration par acquisition d’information(méthode «stochastique»)Les méthodes de refroidissement décrites jusqu’à présentcorrespondent à un échange d’énergie entre l’ion et la lumière. Ilexiste un moyen très différent de modifier l’état de l’ion, basé nonpas sur une interaction directe qui dissipe l’énergie dumouvement, mais sur une acquisition progressive d’informationsur l’état de la vibration. Nous avons vu dans les leçonsprécédentes qu’en observant un atome qui ne rayonne pas(mesure « négative») on constate que sa fonction d’onde changecontinûment et évolue vers l’état fondamental. De la même façonl’observation d’un ion soumis à une séquence appropriéed’impulsions laser qui ne donnent lieu à aucune fluorescenceaugmente la probabilité que l’ion soit dans son état fondamentalde vibration. L’idée de cette méthode a été proposée parJ.Eschner, B.Appasamy et P.Toschek, PRL, 74, 2435 (1995).

Modification induite par la mesure de laprobabilité du nombre de phononsD3w0|n=0>w|1>2w|2>|3>SOn suppose que l’irradiationS-D s’effectue «en raie large».La probabilité de transition parunité de temps n w estproportionnelle au nombre dephonons dans l’état initial(carré de l’élément de matriced’annihilation de phonon).L’ion est à t=0 dans D avec une distribution Π 0 (n) du nombre de phonons. Oneffectue une première séquence « excitation bande bleue » suivie de ladétection de S et on n’observe pas de fluorescence. Quelle est la nouvelleprobabilité d’avoir n phonons après cette observation négative qui indique quel’ion est resté dans D? Nous appelons cette probabilité P (n | D) (probabilitéd’avoir n phonons conditionnée au fait d’avoir trouvé l’ion dans D). Laprobabilité conditionnelle récirpoque (probabilité que l’ion reste en Dconditionnée à la présence de n phonons) est simplement P (D | n) = 1 - n w τoù τ est la durée de la séquence d’irradiation S-D. Les probabilités réciproquesP (n | D) et P (D | n) sont simplement reliées par la loi de Bayes.

Acquisition progressive d’information sur lenombre de phonons (loi de Bayes)Notons P(a , b) la probabilité jointe pour que deux résultats a et bsoient obtenus et P(a | b) la probabilité pour que a soit mesuréconditionné au résultat b. Un simple argument de probabilitéclassique conduit aux égalités suivantes, appliquées directementau problème qui nous intéresse ici:P(D,n) = P(D | n)! 0(n) = P( n | D)P(D)n 0= nombre moyenP(D) = " P(D,n) = " P(D | n)! 0(n)initial de phononsn# P(n | D) ="nnP(D | n)! 0(n) =P(D | n)! 0(n)1$ nw%1 $ w n 0% ! 0(n) (3 $ 1)La probabilité Π 0 (n) est multipliée par une fonction linéairedécroissante de n (avec un dénominateur qui assure lanormalisation): le nombre de phonons diminue!

Distribution de phonons inférée après qcycles sans fluorescence! q(n) =q"1$k =0( 1" nw# ) q( 1" w n k# )! 0(n) % & n,0(3 " 2)n k: nombre moyen dephonons aprèsla séquence kLes nombres de phonons différents de zéro sont progressivement décimés etrapidement on trouve l’ion dans l’état fondamental de vibration. Attention, il nes’agit pas d’un processus d’extraction d’énergie du système, mais d’acquisitiond’information liée à la mesure: plus longtemps on attend sans observer defluorescence, plus sûr on est que l’ion est dans l’état fondamental de vibration.On sélectionne en fait par la mesure un état existant dans l’opérateur densitéinitial. La probabilité de réussir cette observation (et donc de filtrer l’état quinous intéresse) est Π 0 (0). Nous avons rencontré des processus de mesureanalogues dans les cours antérieurs.Démonstration faite sur un ion Ba + (B.Appasamy, Y.Stalgies and P.Toschek,PRL 80, 2805 (1998)). Analogie avec le problème du démon de Maxwell.

Autres méthodes de refroidissement testéessur des ions piégés1. Refroidissement par transparence électromagnétique induite (EIT): l’ionest refroidi par deux lasers, dont l’un est intense, sur une transition Ramancouplant un état fondamental à un état métastable. Les phonons sont absorbéspar excitation de la 1ère bande latérale rouge et les fréquences des lasers sontréglées pour que l’un des processus qui tend à chauffer l’ion (absorptionrésiduelle sur la porteuse) soit totalement supprimé par effet d’interférence(transparence induite ou EIT). Méthode proposée par G.Morigi, J.Eschner etC.Keitel, PRL, 85, 4458 (2000) et démontrée par C.Roos, D.Leibfried, A.Mundt,F.Schmidt-Kaler, J.Eschner et R.Blatt, PRL, 85, 5547 (2000)2. Méthodes inspirées par le refroidissement laser des atomes neutres:refroidissement Sisyphe, cooling par «états noirs» (s’appliquent à dessystèmes multi-niveaux). Pour une revue complète et références voir J.Eschneret al, J.Opt.Soc.Am.B, 20, 1003 (2003). Quelques démonstrations de cesméthodes exotiques ont été faites sur des ions, mais la procédure généralepour refroidir les ions en information quantique reste le « side-band cooling »précédé du «Doppler cooling».

3B.Manipulation des qubits et du mode devibrationHamiltonien d’interaction avec un laser. Traitement quantique.Développement en puissance du paramètre de Lamb-Dicke η.Interaction avec la porteuse et opérations à un qubit. Couplagesur les premières bandes latérales et analogie avec CQED.Oscillation de Rabi du qubit. Opérations d’intrication entre étatsqubit et mode de vibration. Copie du qubit sur le mode. Intricationde deux qubits induite par couplage transitoire à la vibration.Application à la génération et à l’étude d’états de Bell.Violationdes inégalités de Bell avec deux ions. Intrication entre étatsinternes et états de vibration par la porteuse aux temps longs.

Le couplage ion laser: traitement quantiqueOn ne considère d’abord qu’un seul ion. Sile laser irradie un ion d’une chaîne, letraitement est analogue (voir plus loin)En ne considérant qu’un mode de vibration, le terme d’interaction ion-lasers’écrit (voir cours précédents):H laser(t) = ! !" L2Fréquence de Rabiproportionnelle àl’amplitude laser et àl’élément de matricede la transition e-g(réel par choix dephase)# +e ik cos$ L ZOpérateurde transitionélectronique:σ + =|e>

Le paramètre de Lamb-Dicke (rappel)Le terme dépendant de Z se développe sur les opérateurs d’annihilation et decréation de quanta de vibration a et a † grâce au théorème de Glauber (cours2001-2002):e ik cos! L Z = e i" cos! L (a+a † ) = e #("2 cos 2 ! )/2 Le i" cos! L a † e i" cos! L a(3 # 4)On introduit le paramètre Lamb-Dicke, en général petit devant 1:! =!k 22M" = # E Re cul de l 'ion%$ %E quantum vibration&('(1/2" 2) *Z état n=0+(3 , 5)L’élément de matrice d’excitation sur la bande d’ordre q est en η q . Il faut doncdes grandes puissances de laser pour exciter ces bandes. L’émissionspontanée se fait en général sans émission/absorption de phonons (Δn=0 ; voirleçon 2). Analogie avec l’effet Mössbauer.Dans le cas où on irradie un ion d’une chaîne (mode de vibration CM), lacoordonnée z i de l’ion a une oscillation identique à Z, mais la fluctuation depoint zéro est réduite par le facteur √N (masse oscillante NM). Le facteur deLamb-Dicke devient η/√N. A ce changement près, le couplage d’un ion d’unechaîne ou d’un ion isolé à la vibration sont identiques.

Généralisation aux transitions Raman! L" ! 1! 240 Ca + 9 Be +# R! 1! L" ! 2# ! 1! R! 2! L! L!k ! "k""!! "!#k 22M$ v=lasers Ramanparallèles02!k 2! "!k!k 2!k11!=#k2 " # k 1! L2M! vlasers Ramanopposés

Développement (au 1 er ordre) de l’interactionen puissance du paramètre de Lamb-Dickeeik cos! L Z = 1 + ikZ cos! L+… = 1 + i" cos! L(a + a † ) +…(3 # 6)!H laser(t) = ! "" L2 # + e!i$ e i(% eg !% L )t! i "" L& cos' L2( a# +e i[(% eg !% v !% L )t !$ ] + a † # +e i[(% eg +% v !% L )t !$ ]) + hc (3 ! 7)D’où les trois termes résonnants sur la porteuse et les deuxpremières bandes latérales:!H porteuse Laser(t) ! " "# L2( $ +e "i% e i(& eg "& L )t+ $ "e i% e "i(& eg "& L )t)1 bande !H rouge Laser(t) ! "i "# L$ cos% L2( a& +e "i' e i(( eg "( v "( L )t" a † & "e i' e "i(( eg "( v "( L )t)1 bande !H bleue Laser(t) ! "i "# L$ cos% L2( a † & +e "i' e i(( eg +( v "( L )t" a& "e i' e "i(( eg +( v "( L )t)(3 ! 8,9,10)

Transitions sur la porteuse (bande centrale):portes à un qubit n’affectant pas la vibration! L= ! ege,n ! "# g,nUne impulsion porteuse ne change pas lee,1e,0! Lg,0ω vg,1nombre de phonons. A la limite η petit, lesphonons sont simplement « spectateurs » etl’interaction avec le laser permet de manipulerle qubit irradié sans toucher la vibration (porteà un qubit). Voir plus loin le cas où Ω L η 2 t ∼1.eg%%%%%%&1 2 e + ei# gpulse ! L t =" /2 ,#$ L =$ egpulse ! L t =" /2 ,#$ L =$ eg( ) ;( ) (3 ' 11)%%%%%%&1 2 'e'i# e + gImpulsion π/2 créesuperpositions de |0> et|1> à poids égauxeImpulsion π échange les deux niveaux du qubit:Pulse 2 π=%%%%%%&g ; g %%%%%%&' e (3 ' 12) - Ipulse ! L t =" ,# =0$ L =$ egpulse ! L t =" ,# =0$ L =$ eg

La 1 ère bande latérale rouge: analogie avecl’électrodynamique quantique en cavitée,n ! "# g,n + 1! L= ! eg" ! ve,1e,0! L" cos# Lω egg,1ω vg,0Oscillation de Rabi sur la bandelatérale: transition électroniqueassociée à l’échange d’un phononH = !i! " L# cos$ L2'( % +e !i& a ! % !e i& a † ) * (3 ! 13)Couplage de |e,n> et |g,n+1> alors que |g,0> reste non couplé (étatfondamental). Analogie complète avec le Hamiltonien del’Electrodynamique en cavité (phonons remplacés par les photonsde la cavité). Transition utilisée pour le «side-band» cooling etpour intriquer le qubit à la vibration (voir plus loin).

La 1 ère bande latérale bleue (anti-RWA)e,n + 1 ! "# g,n ! L= ! eg+ ! ve,1e,0! L" cos# Lg,0ω vg,1Oscillation de Rabi créant un phonon enmême temps que l’ion est excité: processusgénérant deux excitations à la fois, quin’existe pas en CQED (terme antirésonnant).Ici ce terme existe parce quel’énergie nécessaire est fournie par lechamp laserH = !i! " L# cos$ L2'( % +e !i& a † ! % !e i& a) * (3 ! 14)Bande bleue utilisée pour générer des états de Fock et pourintriquer le qubit au mode de vibration (voir plus loin).Pulse π/2 sur bande rouge ou bleue intrique qubit et vibrationPulse π sur bande rouge ou bleue copie état qubit sur vibration

Développement à tous les ordres en η’=ηcosθ LLe terme dépendant du centre de masse se développe suivant:e !("2 cos 2 # )/2 L%e i" cos# L a † e i" cos# L a = e !" '2 /2 '& f 0(a † a) +(',("')avec f q(a † a) = $ 2l(!1) l a †l a ll!(l + q)!l =0)(i"') q [ f q(a † a) a q + a †q f q(a † '$a)] * (3 ! 15)q>0+'Terme de « saturation » diagonal en n,tenant compte de la valeur finie de η(réduit l’interaction effective lorsquel’excursion de la vibration devient grande)En injectant ce développement dans (3-3) et en passant en représentationd’interaction par rapport au hamiltonien de l’ion isolé, on obtient:H ! Laser(t) = e i #$! eg" z /2+!a † a%& t H Laser(t)e 'i #$! eg" z /2+!a † a= ' "( L /2 e 'i* "2 e')'2 +{ f 0(a † a)e i(! eg '! L )t+ (i)') q f q(a † a) a q e i(! eg 'q! '! L )t+q>0+ (i)') q a †q f q(a † a) e i(! eg +q! '! L )t} +q>0hc (8 (3'! 7) 16)+%& tTermes résonnants pour:! L= ! eg(" porteuse")! L= ! eg" q!("bande latérale rouge à q quanta")! L= ! eg+ q!("bande latérale bleue à q quanta")

Spectre à la limite classique: la modulation defréquence retrouvée.Amplitude de transition à ω L =ω eg -qω z :A q n (!') = ! 'q e "! '2 /2 n " q f q(a † a) a q n = e "! '2 /2A la limite classique, n est centré autour de n:D’où l’approximation:Soit:n ! n avec !' n = ka 0cos" L#n # $ !' # 0#2l +q!'("1) l l!(l + q)! n " q a†l a l +qn ! q a †l a l +q n " n l +q/2 (l,q ! n)2l +q($' n )# A n q($') " %(!1) l l!(l + q)!2l +q(kaA q! ("1) l 0cos# L)$ = J q(ka 0cos# L)l!(l + q)!l(3 ! 17)a 0: amplitudevibration classique(3 ! 18)On retrouve le résultat classique (modulation de la fréquence vue par l’ion enmouvement dans le champ laser). Voir leçon 2.n

Oscillation de Rabi d’un ion soumis à uneexcitation résonnante sur 1 ère bande latéraleEn analogie avec CQED, on prépare un état initial d’1 ion (bit e,g):#n!(0) = ! vib(0) " g ; ! vib(0) = c n(0) npuis on soumet l’ion pendant un temps variable t à une excitationrésonnante sur la 1 ère bande latérale (rouge ou bleue). On détecteensuite l’état du qubit par la méthode de fluorescence. Onmoyenne pour chaque t sur un grand nombre de réalisations et onconstruit P g (t), signal présentant une oscillation de Rabi aveccomposantes de Fourier. Pour la 1ère bande bleue on a:P g(t) =#! c 2 " 1ncos 2 ntn $%2&'( avec " 1 n= " L)' n + 1 f 1(a † a) a † n+= " L)' n + 1 1 * )'2 .- (n + 1) +…, 20/Saturation Lamb-Terme « CQED » Dicke

Oscillation de Rabi d’un état de Fock (Be + )D.Meekhof, C.Monroe, B.King, W.Itano et D.Wineland, PRL, 76, 1796 (1996).Préparation de l’état de Fock: exemple de l’état |n=2>:e,1e,0g,1g,0e,1e,0g,2g,2g,0g,0"""""#e,1pulse Raman !1ère bande bleue"""""#g,2pulse Raman !1ère bande rougePour un état de Fock, l’oscillation de Rabiest monochromatique, à la fréquence:|g,0>→|e,1>$! L"' n + 1 & 1 # "'2% 2'(n + 1) +… )(Fréquence de Rabi mesurée en fonction de n (fit de η).

Oscillation de Rabi d’un état de Fock (Ca + )C.Roos, T.Zeiger, H.Rohde, Hnägerl, J.Eschner, D.Leibfried, F.Schmidt-Kaleret R.Blatt. PRL, 83, 4713 (1999).Oscillation de Rabi sur la 1ère bande bleue (ion Ca + ): (a)état intial |S,0> et (b) état initial |S,1>. Noter que les fréquencesde Rabi sont dans un rapport √2.La cohérence du qubit estpréservée sur un temps de l’ordre de la milliseconde.

Oscillation de Rabi d’un état de vibrationthermique: signature de température de l’ionD.Meekhof et al PRL, 76, 1796 (1996).Signal de Rabi pour un ionthermalisé à unetempérature finie TL’analyse de Fourier du signal donne laprobabilité des différents nombres dephonons, d’où T. La figure ci-contremontre comment ce signal de Rabithermique peut être utilisé pour faire lediagnostic d’un processus de coolingEIT: les courbes de Rabi sont mesuréesaprès un temps court et un temps longd’application du processus de cooling.C.Roos, D.Liebfried, A.Mundt,F.Schmidt-Kaler, J.Eschner etR.Blatt, PRL 85, 5547 (2000)

Intrication entre qubit et état de vibration puisentre deux qubits par 1 ère bande latérale:e,0pulse ! /2$ $$$" eg #" v%1 2( e,0 + g,1 ) (3 # 19)e,0g,1g,0Intrication maximale de l’état duqubit et de l’état de vibrationIntrication de deux ions par intrication intermédiaire avec mode devibration collectif. Pulses Raman sur bande latérale (ici rouge):1 2e 1,(g 2);0"""""#1 2 e 1,g 2;0 + g 1, g 2;1pulse Raman !ion 2pulse Raman ! /2ion 1"""""#1 2 e 1, g 2+ g 1,e 2( )( ) $ 0 (3 % 20)Le mode de vibration revient à l’état initial et se désintrique.Analogue à l’intrication de deux atomes en CQED.

Rappels sur états et inégalités de Bell! ± = 1 2( 0,0 ± 1,1 ) ; " ± = 1 2( 0,1 ± 1,0 ) (3 # 21)Etats maximalement intriqués de deux qubits: corrélations non-classiques entreles pseudo-spins (voir cours 2001-2002).Il suffit d’en préparer un, les autres s’en déduisant par opérations locales:! z A " ± = ! z B " ± = " ! ; ! z A # ± = $! z B # ± = # !±! x A " ± = ! x B " ± = # ± ; ± ! x A # ± = ! x B # ± = " ± (3 $ 22)Mesurons la même composante σ θ = σ z cosθ + σ x sinθ sur les deux particules.On déduit simplement des relations précédentes l’identité:( )! A "! B "# + = cos 2 " ! A z! B z+ sin 2 " ! A x! B x+ sin" cos" ! A z! B x+ ! A B$%x! z&' # + = # +La mesure sur |φ + > donne toujours le résultat +1: les deux particules sont,quel que soit θ, toujours trouvées avec leur pseudo-spin pointant dans lamême direction. Peut-on comprendre ce résultat «classiquement»?

Le raisonnement Bell-EPR (version CHSH)Pour connaître l’état de son «spin» dans la direction θ, A peut se contenter dedemander à B, à une distance arbitraire, de faire une mesure sur le spin Bdans la même direction et de lui communiquer son résultat. Elle sait alors quele spin A doit pointer dans la même direction. Puisque A peut obtenir sonrésultat sans toucher son système (sans le perturber?), il est «logique»d’admettre que la valeur de son spin (ε a =±1) est pré-déterminée avant lamesure (comme la valeur de la même composante du spin B).a’aProcédure de Bell: A mesure aléatoirement son bit dansl’une des directions a ou a’ et B dans l’une des directions b oub’. Ils notent leurs valeurs (±1) et les comparent.Si les quantités «existent» avant mesure, on peut pour chaque paire (i)construire la quantité:S i= (! A a" ! A a ') ! B b+ ! A A( a+ ! a ' )! B b '= ! A a! B b" ! A a '! B b+ ! A a! B b '+ ! A a '! B b '= ±2 (relation évidente)Les mesures des 2 composantes de chaque spin étant incompatibles, A et Bne peuvent sur 1 paire déterminer que l’un des 4 termes. En sommant un grandnombre de mesures, ils accèdent néanmoins à la moyenne S Bell des S i , dont lavaleur absolue est d’après cet argument bornée par 2:S Bell= ! A a! B b" ! A a '! Bb+ ! A Ba! b '+ ! A Ba '! b '# 2 (3 " 21)b’b

La réponse de la mécanique quantiquePour certains choix des directions de mesure, la physique quantique donne desrésultats violant l’inégalité de Bell précédente. Choisissons par exemple laconfiguration ci contre (angles entre directions adjacentes égaux à π/4).a'b'abUn calcul quantique élémentaire donne:! a A ! bB= ! A Ba! b '! A Ba '! b= ! A Ba '! b '#= cos 3" $%4#= cos " &$%4 '( = 22&'( = ) 22* S Bell= 2 2 > 2Cette violation de l’inégalité de Bell prouve que la physique quantique estincompatible avec l’existence de variables cachées locales (les ε). Il estimpossible de raisonner sur des quantités non mesurées (« une mesure nonfaite n’a pas de résultat » ). Les expériences sur des paires de photonscorrélées (Clauser et al, Aspect et al et autres réalisées depuis) ont toutesdonné raison à la physique quantique. Les ions piégés donnent maintenant lapossibilité d’étendre ces tests à des particules intriquées massives.

Etats de Bell de deux ions: expérienced’Innsbruck (analogie avec préparation d’états de Bell en CQED)L’intrication de deux ions dans l’état de Bell |Ψ + > =(1/√2)(|S,D>+|D,S>) estréalisée comme suit (après initialisation de la paire d’ions dans l’état |S,S,0>):Pulse π/2 sur 1 ère bande latérale bleue intrique l’ion 1 avec lavibration (mode accordéon):1S 1,(S 2);0 ! 1 2 ( S 1,(S 2);0 + D 1,(S 2);1Pulse π porteuse échange les deux états de l’ion 2 sansaffecter l’ion 1 et le mode de vibration:2 ( (S 1 ),S 2 ;(0) + (D 1 ),S 2 ;(1) ! 1 2 ( (S 1 ), D 2 ;(0) + (D 1 ), D 2 ;(1)Pulse π sur 1 ère bande latérale bleue recopie l’état du modede vibration sur l’ion 2:12 ( (S 1 ), D 2 ;0 + (D 1 ), D 2 ;1 ! 1 2 ( (S 1 ), D 2 ;0 + (D 1 ),S 2 ;0Le mode se retrouve désintriqué dans l’état 0. Variantes simples pour préparerles autres états de Bell.

Mesure du signal de Bellpulsepulse! L= ! egR(0) ou R(! / 2)a'! L= ! egR(±! / 4) b' baLaser demesure(S-P)! aou ! a 'A BFluo?a a' b b'oui oui ! " a" b '= 1oui non ! " a" b= #1oui oui ! " a '" b= 1non oui ! " a '" b '= #1! bou ! b '! a! b= 1 N#" a" b...Préparation état de BellS Bell= ! a A ! b BViolation de l’inégalité de Bell:" ! a 'A ! b B+ ! A Ba! b '+ ! a 'A B! b '= 2.52(6) > 2C.Roos, G.Lancaster, M.Riebe, H.Haffner, W.Hansel, S.Gulde, C.Becher,J.Eischner, F.Schmidt-Kaler et R.Blatt, PRL 92, 220402 (2004)

Tomographie des quatre états de Bell! + = 1 2( 0,1 + 1,0 ) ! + = 1 2( 0,0 + 1,1 )! " = 1 2( 0,1 " 1,0 )! " = 1 2( 0,0 " 1,1 )La mesure nécessite, avant de réaliser les cycles de fluorescence, d’appliquer9 combinaisons de paires de pulses sur la porteuse de chaque ion de façon àmesurer toutes les corrélations . Voir leçon 1.

Remarque: intrication possible entre le qubitet l’état de vibration par transition porteusee,1e,0g,1g,0" c nn ! e # c cos $ 0 t"nn -n&'n 2+,%()* e,n + sin % $ n&'20 t()* g,n! 0 n= ! Ln f ( 0a † a) n = ! L$% 1" #' 2 n +… & '.0/Choix de paramètres:c 0= c 1= 1 / 2 , c n>1= 0 ; ! Lt = " 2 + 4k" ; #'2 =12 0 + 114k + 1 / 2( ) ! e " 1 (2 0 + 1 ) ! e + 1 (2 0 # 1 ) ! gOn peut avoir intrication maximale entre l’état du qubit et l’état de vibration.Mécanisme différent de celui des bandes latérales. Il n’y a pas création dephonons, mais déphasage de Rabi dépendant de n à cause du terme desaturation de la fréquence de Rabi en η 2 . L’effet est important pour Ω L η 2 t ~1.Quand la porteuse est utilisée pour faire une porte à un bit, on évite cet effet enprenant un pulse assez court pour qu’il ne se manifeste pas.

Conclusion de la troisième leçonNous avons mis en place l’essentiel des outils de l’informationquantique avec des ions piégés. Nous avons décrit commentinitialiser les états de vibration (par Doppler et side-band cooling)ainsi que les états internes des ions-qubit (par pompage optique).Nous disposons d’opérateurs à un bit (rotations réalisées parimpulsions sur porteuse). Nous savons comment intriquer 2 ionsavec un mode collectif de vibration comme intermédiaire. Lestransitions sur bande latérale servent à intriquer un des ions qubità la vibration (impulsion π/2) puis à effectuer la copie de ce modesur l’autre ion (impulsion π). L’oscillation de Rabi qui sert àeffectuer ces opérations est aussi utile pour mesurer l’état devibration. Par son analyse de Fourier, on en déduit la distributiondes phonons. Nous verrons la semaine prochaine qu’on peutaussi exploiter le signal de Rabi pour déterminer entièrement l’étatdu mode de vibration. Il nous manque pour cela une autretechnique importante, la manipulation des états cohérents devibration dont l’étude va se révéler riche d’effets physiques.