Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Dérivée d’une fonctionnelleL’énergie potentielle est une fonction de fonction (x ∈ Ω → u ∈ V) → F(u) ∈ R. C’est unefonctionnelle.Définition La dérivé directionnelle de F dans la direction δu ∈ V est donnée par :1lim (F(u + ξ δu) − F(u))ξ→0 ξSi cette dérivée existe pour tout δu alors on peut définir la différentielle de F :1F ,u(u)[δu] = lim (F(u + ξ δu) − F(u))ξ→0 ξ ∀δu∈ VC’est une application linéaire en δu, éventuellement non linéaire en u.D’un point de vue formel on écrira F ,u(u)[δu] = 0 ∀ δu à la place de ∂F∂u isens car u est une fonction.= 0 ∀i qui n’a pas deMMS 2012, Dérivée d’une fonctionnelle Bifurcation des systèmes conservatifs 2/24
Exemple de dérivée premièreIl est possible d’appliquer le théorème de l’énergie potentielle avec l’hypothèse cinématique deNavier-Bernoulli.On choisit :u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (1)u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 , u 3 = V (x 1 ), V ,1 + θ = 0 (2)⎛( ) ε.. = ⎝ U ⎞,1 − V ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (3)0 0 0W (ε ∼) = E 2 ε2 11∫ ∫F(U, V ) = W (ε ∼) dS dx 1 (4)C S− F 0 U(0) − F L U(L) − P 0 V (0) − P L V (L) − M 0 θ(0) − M L θ(L) (5)∫− (p V + t U) dx 1 (6)CMMS 2012, Dérivée d’une fonctionnelle Bifurcation des systèmes conservatifs 3/24
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Exemple de dérivée premièreIl est possible d’appliquer le théorème de l’énergie potentielle avec l’hypothèse cinématique deNavier-Bernoulli.On choisit :u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (1)u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 , u 3 = V (x 1 ), V ,1 + θ = 0 (2)⎛( ) ε.. = ⎝ U ⎞,1 − V ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (3)0 0 0W (ε ∼) = E 2 ε2 11∫ ∫F(U, V ) = W (ε ∼) dS dx 1 (4)C S− F 0 U(0) − F L U(L) − P 0 V (0) − P L V (L) − M 0 θ(0) − M L θ(L) (5)∫− (p V + t U) dx 1 (6)CMMS 2012, Dérivée d’une fonctionnelle <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 3/24
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