Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreLa stationnarité du quotient donne :Donc :∫ LE S U ψ,1 δU ,1 + E I V ψ,11 δV ,11 − λ V ψ,1 δV ,1 dx 1 = 0 ∀δU δV (72)00 =E S U ψ,1 (L) δU(L) + E I V ψ,11 (L) δV ,1 (L) − E I V ψ,11 (0) δV ,1 (0) (73)∫ L− E S U ψ,11 δU dx 1 (74)0∫ L+ (E I V ψ,1111 + λ V ψ,11 ) δV dx 1 ∀δU δV (75)0Ce qui donne le problème aux limites suivant (Hypothèses : sections constantes et matériauhomogène) :U ψ,11 = 0, U ψ (0) = 0, U ψ,1 (L) = 0E I V ψ,1111 + λ V ψ,11 = 0, V ψ,11 (0) = 0, V ψ,11 (L) = 0, V φ (0) = 0, V φ (L) = 0La solution pour la partie longitudinale du mode de bifurcation : U ψ (x 1 ) = a x 1 + b, a = 0, b = 0Pour le problème transverse on pose z = V ψ,11 .MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 23/24
Analyse de bifurcation, flambage d’une poutre√λH1 : Si λ > 0 alors z = A cos(V ψ,11 = z, V φ (0) = 0, V φ (L) = 0E I z ,11 + λ z = 0, z(0) = 0, z(L) = 0√x E I 1 ) + B sin(√ √ −λH2 : Si λ < 0 alors z = A ′ xe E I 1+ B ′ e − −λxE I 1.H3 : Si λ = 0 alors z = A” x 1 + B”.λE I x 1 ).En tenant compte des conditions aux limites z(0) = 0 et z(L) = 0, on obtient :√λkH1 : Si λ > 0 alors A = 0, L = (k − 1) π, B E I k quelconque√ √ −λH2 : Si λ < 0 alors A ′ L − −λL(e E I − e E I ) = 0, impossibleH3 : Si λ = 0 alors A” = 0, B” = 0, le champ est identiquement nul, ce n’est pas un mode debifurcation.La plus petite valeur propre correspond à λ c (k = 2 pour H1) :λ c = π 2 E IL 2U ψ = 0 V ψ = ˜B sin(π x 1L )˜B ∈ RMMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 24/24
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Analyse de bifurcation, flambage d’une poutre√λH1 : Si λ > 0 alors z = A cos(V ψ,11 = z, V φ (0) = 0, V φ (L) = 0E I z ,11 + λ z = 0, z(0) = 0, z(L) = 0√x E I 1 ) + B sin(√ √ −λH2 : Si λ < 0 alors z = A ′ xe E I 1+ B ′ e − −λxE I 1.H3 : Si λ = 0 alors z = A” x 1 + B”.λE I x 1 ).En tenant compte <strong>des</strong> conditions aux limites z(0) = 0 et z(L) = 0, on obtient :√λkH1 : Si λ > 0 alors A = 0, L = (k − 1) π, B E I k quelconque√ √ −λH2 : Si λ < 0 alors A ′ L − −λL(e E I − e E I ) = 0, impossibleH3 : Si λ = 0 alors A” = 0, B” = 0, le champ est identiquement nul, ce n’est pas un mode debifurcation.La plus petite valeur propre correspond à λ c (k = 2 pour H1) :λ c = π 2 E IL 2U ψ = 0 V ψ = ˜B sin(π x 1L )˜B ∈ RMMS 2012, Analyse de bifurcation <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 24/24
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