Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreL’analyse du flambage commence par l’analyse de bifurcation de l’équilibre d’un systèmemécanique sollicité en compression. Elle est complétée par une étude de stabilité qui fera l’objetdu prochain cours.MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 19/24
Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreSoit une poutre droite de section S et de longueur L, soumise à une force de compression λ > 0en x 1 = L, en appui simple en x 1 = 0 et x 1 = L (rotation autorisée).On a : W ext = −λ U(L), U(0) = 0, V (0) = 0, V (L) = 0.On obtient donc :∫F(u) = ( 1C 02 E S (U ,1 + 1 2 V ,1 2 )2 + 1 2 E I V ,11 2 ) dx 1 + λ U(L) (61)L’équation d’équilibre est donnée par :∫ L(E S (U ,1 + 102 V ,1 2 ) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) + E I δV ,11 V ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV δV ,1 (62)Avec par définition des efforts intérieurs :∫N = σ 11 dS = E S (U ,1 + 1S2 V ,1 2 ),On obtient :∫M = x 3 σ 11 dS = −E I V ,11S∫ L(N (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) − M δV ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV (63)0MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 20/24
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Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreSoit une poutre droite de section S et de longueur L, soumise à une force de compression λ > 0en x 1 = L, en appui simple en x 1 = 0 et x 1 = L (rotation autorisée).On a : W ext = −λ U(L), U(0) = 0, V (0) = 0, V (L) = 0.On obtient donc :∫F(u) = ( 1C 02 E S (U ,1 + 1 2 V ,1 2 )2 + 1 2 E I V ,11 2 ) dx 1 + λ U(L) (61)L’équation d’équilibre est donnée par :∫ L(E S (U ,1 + 102 V ,1 2 ) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) + E I δV ,11 V ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV δV ,1 (62)Avec par définition <strong>des</strong> efforts intérieurs :∫N = σ 11 dS = E S (U ,1 + 1S2 V ,1 2 ),On obtient :∫M = x 3 σ 11 dS = −E I V ,11S∫ L(N (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) − M δV ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV (63)0MMS 2012, Analyse de bifurcation <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 20/24
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