Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Analyse de bifurcation d’une structure élastiqueReprenons les expressions suivantes (Hypothèse W ext est linéaire en u) :∫1F(u, λ) =Ω 02 E(u) : C : E(u) dΩ − W ∼ ≈ ∼ ext (u, λ)E ∼(u) = ∼ε(u) + 1 2 q(u, u) , q(u 1 , u 2 ) = q(u 2 , u 1 ) (bilinéaire et symétrique)∼ ∼ ∼L’équation d’équilibre s’écrit :∫Ω 0E ∼: C≈: (ε ∼(δu) + q∼(u, δu)) dΩ − W ext (δu, λ) = 0 ∀ δu ∈ V (56)La seconde variation de l’énergie est :∫F ,uu(u, λ)[δu, φ] = (ε ∼(φ) + q(u, φ)) : C : (εΩ ∼ ≈ ∼(δu) + q(u, δu)) + E∼ ∼: C : q(φ, δu) dΩ (57)≈ ∼0Le long d’une courbe fondamentale d’équilibre (u o (λ), λ) le champ de déformation est unefonction de λ notée E ∼o(λ). On cherche λ c et ψ tel que u c = u o (λ c) et∫Ω 0(ε ∼(ψ) + q∼(u c , ψ)) : C≈: (ε ∼(δu) + q∼(u c , δu)) + E ∼o(λ c) : C≈: q∼(ψ, δu) dΩ = 0 ∀ δu ∈ V (58)MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 17/24
Analyse de bifurcation d’une structure élastiqueHypothèse de faible pré-déformation et de chargement proportionnel : W ext est linéaire en λ,E ∼o(λ) = λ E ∼o(1), les termes en q∼(u c , ·) sont négligeables, Ω = Ω 0 .On obtient alors :On cherche la condition de bifurcation d’une courbe fondamentale d’équilibre (u o (λ), λ) dechamp de déformation paramétré λ E ∼o(1), en cherchant λ c et ψ tel que∫ε (ψ) : C : ε(δu) + ∼ ≈ ∼ λc Eo(1) : C : q (ψ, δu) dΩ = 0 ∀ δu ∈ V (59)∼ ≈Ω∼C’est un problème aux valeurs propres. La valeur critique est donnée par :λ c = min φ−∫Ω ε0 ∼(φ) : C : ε≈ ∼(φ) dΩ∫Ω E0 ∼o(1) : C : q(φ, φ) dΩ≈ ∼Le minimum est réalisé en φ = ψ. La stationnarité du quotient donne l’équation de bifurcation (59).(60)MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 18/24
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Analyse de bifurcation d’une structure élastiqueReprenons les expressions suivantes (Hypothèse W ext est linéaire en u) :∫1F(u, λ) =Ω 02 E(u) : C : E(u) dΩ − W ∼ ≈ ∼ ext (u, λ)E ∼(u) = ∼ε(u) + 1 2 q(u, u) , q(u 1 , u 2 ) = q(u 2 , u 1 ) (bilinéaire et symétrique)∼ ∼ ∼L’équation d’équilibre s’écrit :∫Ω 0E ∼: C≈: (ε ∼(δu) + q∼(u, δu)) dΩ − W ext (δu, λ) = 0 ∀ δu ∈ V (56)La seconde variation de l’énergie est :∫F ,uu(u, λ)[δu, φ] = (ε ∼(φ) + q(u, φ)) : C : (εΩ ∼ ≈ ∼(δu) + q(u, δu)) + E∼ ∼: C : q(φ, δu) dΩ (57)≈ ∼0Le long d’une courbe fondamentale d’équilibre (u o (λ), λ) le champ de déformation est unefonction de λ notée E ∼o(λ). On cherche λ c et ψ tel que u c = u o (λ c) et∫Ω 0(ε ∼(ψ) + q∼(u c , ψ)) : C≈: (ε ∼(δu) + q∼(u c , δu)) + E ∼o(λ c) : C≈: q∼(ψ, δu) dΩ = 0 ∀ δu ∈ V (58)MMS 2012, Analyse de bifurcation <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 17/24
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