Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Analyse de bifurcation, pour la théorie des poutres de Navier-Bernoulli** *FIGURE: Description du champ de déplacement.u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (50)u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 , u 3 = V (x 1 ), V ,1 + θ = 0 (51)⎛( ) ε.. = ⎝ U ⎞,1 − V ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (52)0 0 0⎛(U( ) ,1 − V ,1 x 3 ) 2 + V 2 ⎞,1 0 U ,1 V ,1q.. = ⎝ 0 0 0 ⎠ (53)U ,1 V ,1 0 V,12MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 15/24
Analyse de bifurcation, pour la théorie des poutres de Navier-BernoulliOn suppose que les déformations longitudinales sont faibles (U ,1 ) et que l’effet du pincement de lapoutre (q 33 ) est négligeable. Le terme en x3 2 de q est supposé négligeable (poutre mince). On∼obtient la forme classique suivante pour les termes non linéaires de E ∼:⎛( )V 2 ⎞,1 0 0q.. = ⎝ 0 0 0⎠ (54)0 0 0Après intégration dans les sections droites S on obtient :∫F(u) = ( 1C 02 E S (U ,1 + 1 2 V ,1 2 )2 + 1 2 E I V ,11 2 ) dx 1 − W ext (u, λ) (55)Cette énergie potentielle n’est pas quadratique en V , F ,VV (u)[δu, δu] est une fonction de V .MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 16/24
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Analyse de bifurcation, pour la théorie <strong>des</strong> poutres de Navier-Bernoulli** *FIGURE: Description du champ de déplacement.u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (50)u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 , u 3 = V (x 1 ), V ,1 + θ = 0 (51)⎛( ) ε.. = ⎝ U ⎞,1 − V ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (52)0 0 0⎛(U( ) ,1 − V ,1 x 3 ) 2 + V 2 ⎞,1 0 U ,1 V ,1q.. = ⎝ 0 0 0 ⎠ (53)U ,1 V ,1 0 V,12MMS 2012, Analyse de bifurcation <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 15/24
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