Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...

Analyse de bifurcation en mécaniqueSi l’énergie potentielle F est une fonctionnelle strictement convexe alors il n’y a qu’une seulecourbe d’équilibre. Il n’y a donc pas de bifurcation statique.Pour que l’analyse de bifurcation des problèmes élastiques ait un sens, il faut tenir compte determes non linéaires dans les équations d’équilibre, comme de grandes rotations (de grandsdéplacements), ou plus généralement des transformations finies. La prise en compte des grandesrotations peut être obtenue en écrivant les conditions d’équilibre sur une configuration déformée,comme pour le problème d’Euler (voir exercice 12.10 p. 165 du polycopié).Dans la suite du cours nous considérons que la densité d’énergie élastique est quadratique enfonction du tenseur de Green-Lagrange E ∼(déformations faibles, grandes rotations) :E ∼= 1 2 (F ∼T F ∼− I ∼) (44)E ij (u) = ε ij (u) + 1 2 q ij (u, u) (45)ε ij (u) = 1 2 (u i,j + u j,i ) (46)q ij (u, u) = u k,i u k,j (47)W (E ∼) = 1 2 E : C : E (48)∼ ≈ ∼∫F(u, λ) = W ( E ∼(u) ) dΩ − W ext (u, λ) (49)Ω 0où Ω 0 est la configuration à l’état naturel et W ext est linéaire en u.MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 14/24