Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Développement asymptotiqueAnnulation des termes d’ordre 2. Seuls les termes d’ordre inférieur ou égal à 2 de F interviennent.L’ordre 1 en (u − u o ) de F y contribuent avec l’ordre 2 en τ de (u − u o )...0 =(...) τ (30)+ 1 2(F,uu(uo , λ o)[δu, u 2 ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 2)τ2(31)+ 1 2 ( F,uuu(u o , λo)[δu, u 1 , u 1 ] (32)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u 1 ] λ 1 (33)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] λ 2 1 ) τ 2 (34)+ o(τ 2 ) ∀δu ∈ V ∀ τ (35)On obtient le problème suivant. Trouver (u 2 , λ 2 ) tel que :−F ,uu(u o , λ o)[δu, u 2 ] = F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 2 (36)+ F ,uuu(u o , λ o)[δu, u 1 , u 1 ] (37)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u 1 ] λ 1 (38)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] λ 2 1 (39)MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 11/24
Problème en vitesse dans le cas d’une courbe fondamentaleλ1λ οφ(u ο( λ − λ ο) , λ )Courbe fondamentaleVRappel :F ,u(u o , λ o)[δu] = 0De façon classique, on choisit le paramétrage suivant :∀δu ∈ Vu λ = u o (λ − λ o) τ = λ − λ o ˙λ = 1 φ = u ,λOn obtient alors :Problème en vitesse Déterminer les directions tangentielles susceptibles de donner lieu à descourbes d’équilibre en chaque point de (u o , λ o), en recherchant les solutions φ de l’équation envitesse suivante :F ,uu(u o , λ o)[δu, φ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] = 0 ∀δu ∈ V (40)MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 12/24
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Développement asymptotiqueAnnulation <strong>des</strong> termes d’ordre 2. Seuls les termes d’ordre inférieur ou égal à 2 de F interviennent.L’ordre 1 en (u − u o ) de F y contribuent avec l’ordre 2 en τ de (u − u o )...0 =(...) τ (30)+ 1 2(F,uu(uo , λ o)[δu, u 2 ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 2)τ2(31)+ 1 2 ( F,uuu(u o , λo)[δu, u 1 , u 1 ] (32)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u 1 ] λ 1 (33)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] λ 2 1 ) τ 2 (34)+ o(τ 2 ) ∀δu ∈ V ∀ τ (35)On obtient le problème suivant. Trouver (u 2 , λ 2 ) tel que :−F ,uu(u o , λ o)[δu, u 2 ] = F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 2 (36)+ F ,uuu(u o , λ o)[δu, u 1 , u 1 ] (37)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u 1 ] λ 1 (38)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] λ 2 1 (39)MMS 2012, Problème en vitesse <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 11/24
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