Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...
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Développement asymptotique∞∑ τ iu − u o = u ii! , λ − λo = ∑ ∞ τ iλ ii!i=1i=1Pour obtenir une description locale des courbes d’équilibre il faut tenir compte du développementasymptotique des conditions d’équilibre :F ,u(u, λ)[δu] =F ,u(u o , λ o)[δu] (20)On obtient un polynôme en τ, P(τ) avec :(19)+F ,uu(u o , λ o)[δu, u − u o ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] (λ − λ o) (21)+ 1 2 ( F,uuu(u o , λo)[δu, u − u o , u − u o ] (22)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u − u o ] (λ − λ o) (23)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] (λ − λ o) 2 ) (24)+ ... = 0 ∀δu ∈ V ∀ τ (25)P(τ) = 0∀τA l’ordre 1, le coefficient factreur de τ donne une équation reliant u 1 et λ 1 . A l’ordre 2, lecoefficient facteur de τ 2 donne une équation reliant u 1 , λ 1 , u 2 et λ 2 . A l’ordre 3, ...MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 9/24
Développement asymptotiqueExemple d’identification de l’équation correspondant à l’ordre 1. Seuls les termes d’ordre inférieurou égal à 1 de F interviennent. Le terme d’ordre 0 est nul par définition de u o . On a donc à l’ordre1 :0 =0 (26)+ ( F ,uu(u o , λ o)[δu, u 1 ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 1)τ (27)+ o(τ) ∀δu ∈ V ∀ τ (28)On obtient le problème suivant. Trouver (u 1 , λ 1 ) tel que :−F ,uu(u o , λ o)[δu, u 1 ] = F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 1 ∀δu ∈ V (29)On retrouve le problème en vitesse.MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 10/24
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Développement asymptotiqueExemple d’identification de l’équation correspondant à l’ordre 1. Seuls les termes d’ordre inférieurou égal à 1 de F interviennent. Le terme d’ordre 0 est nul par définition de u o . On a donc à l’ordre1 :0 =0 (26)+ ( F ,uu(u o , λ o)[δu, u 1 ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 1)τ (27)+ o(τ) ∀δu ∈ V ∀ τ (28)On obtient le problème suivant. Trouver (u 1 , λ 1 ) tel que :−F ,uu(u o , λ o)[δu, u 1 ] = F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 1 ∀δu ∈ V (29)On retrouve le problème en vitesse.MMS 2012, Problème en vitesse <strong>Bifurcation</strong> <strong>des</strong> systèmes <strong>conservatifs</strong> 10/24
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