Bifurcation statique des systèmes conservatifs - Mécanique ...

BIFURCATION STATIQUE DES SYSTÈMES CONSERVATIFSDavid RyckelynckCentre des Matériaux, Mines ParisTechDavid.Ryckelynck@mines-paristech.frBibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire, Quoc-Son Nguyen,Etudes en mécanique des matériaux et des structures, Hermes, 200019 mars 2012

Dérivée d’une fonctionnelleL’énergie potentielle est une fonction de fonction (x ∈ Ω → u ∈ V) → F(u) ∈ R. C’est unefonctionnelle.Définition La dérivé directionnelle de F dans la direction δu ∈ V est donnée par :1lim (F(u + ξ δu) − F(u))ξ→0 ξSi cette dérivée existe pour tout δu alors on peut définir la différentielle de F :1F ,u(u)[δu] = lim (F(u + ξ δu) − F(u))ξ→0 ξ ∀δu∈ VC’est une application linéaire en δu, éventuellement non linéaire en u.D’un point de vue formel on écrira F ,u(u)[δu] = 0 ∀ δu à la place de ∂F∂u isens car u est une fonction.= 0 ∀i qui n’a pas deMMS 2012, Dérivée d’une fonctionnelle Bifurcation des systèmes conservatifs 2/24

Exemple de dérivée premièreIl est possible d’appliquer le théorème de l’énergie potentielle avec l’hypothèse cinématique deNavier-Bernoulli.On choisit :u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (1)u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 , u 3 = V (x 1 ), V ,1 + θ = 0 (2)⎛( ) ε.. = ⎝ U ⎞,1 − V ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (3)0 0 0W (ε ∼) = E 2 ε2 11∫ ∫F(U, V ) = W (ε ∼) dS dx 1 (4)C S− F 0 U(0) − F L U(L) − P 0 V (0) − P L V (L) − M 0 θ(0) − M L θ(L) (5)∫− (p V + t U) dx 1 (6)CMMS 2012, Dérivée d’une fonctionnelle Bifurcation des systèmes conservatifs 3/24

Exemple de dérivée premièreLe calcul de la dérivée première se fait de la façon suivante :∫ ∫F ,u(U, V )[(δU = 0, δV )] = W ′ (ε ∼) : ∼ε,V [δV ] dS dx 1 (7)C S− P 0 δV (0) − P L δV (L) − M 0 δθ(0) − M L δθ(L) (8)∫− p δV dx 1 (9)Cavec :donc :∫C∫⎛( ε,V [(δU, δV )] ) = ⎝ δU ⎞,1 − δV ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (10)0 0 0S∫W ′ (ε ∼) : ∼ε,V [δV ] dS dx 1 = E I V ,11 δV ,11 dx 1 (11)COn obtient alors :∫F ,u(U, V )[(0, δV )] = E I V ,11 δV ,11 dx 1 (12)C− P 0 δV (0) − P L δV (L) − M 0 δθ(0) − M L δθ(L) (13)∫− p δV dx 1 (14)CMMS 2012, Dérivée d’une fonctionnelle Bifurcation des systèmes conservatifs 4/24

Courbe d’équilibreUn système conservatif est défini par son énergie potentielle F(u). En mécanique, il s’agit deproblèmes d’élasticité.En théorie de bifurcation statique, on étudie les courbes d’équilibre d’un système dépendant d’unparamètre de contrôle λ (Par exemple P L (λ) = λ P L1 ).L’énergie potentielle est alors une fonction de λ :A l’équilibre l’énergie potentielle est stationnaire dans V :F(u, λ) (15)F ,u(u λ , λ)[δu] = 0 ∀δu ∈ V (16)Les notions d’équilibre régulier ou singulier, de point de bifurcation ou de point limite sontintroduites dans ce cours, pour des énergies potentielles qui ne sont pas nécessairementquadratiques en u.MMS 2012, Courbe d’équilibre Bifurcation des systèmes conservatifs 5/24

Courbe d’équilibreUn système conservatif est défini par son énergie potentielle F(u). En mécanique, il s’agit deproblèmes d’élasticité.En théorie de bifurcation statique, on étudie les courbes d’équilibre d’un système dépendant d’unparamètre de contrôle λ (Par exemple P L (λ) = λ P L1 ).L’énergie potentielle est alors une fonction de λ :A l’équilibre l’énergie potentielle est stationnaire dans V :F(u, λ) (15)F ,u(u λ , λ)[δu] = 0 ∀δu ∈ V (16)Les notions d’équilibre régulier ou singulier, de point de bifurcation ou de point limite sontintroduites dans ce cours, pour des énergies potentielles qui ne sont pas nécessairementquadratiques en u.Pour décrire les courbes d’équilibre, on adopte une représentation classique :u = u λ (τ),λ = λ(τ)où τ est un paramètre quelconque. Les fonctions u λ (τ) et λ(τ) sont supposées être dérivables età dérivée continue (tangente continue).MMS 2012, Courbe d’équilibre Bifurcation des systèmes conservatifs 5/24

Courbe fondamentaleCas général :u = u λ (τ),λ = λ(τ)λλτ(u ( λ) , λ ) οCourbe fondamentaleV( u ο , λ ο)Vautre type de courbe d'équilibreSouvent, on connait une courbe fondamentale C o telle que :u λ = u o (λ)On souhaite étudier les points de bifurcation de la courbe fondamentale ou d’une courbe connue(u o , λ o).MMS 2012, Courbe d’équilibre Bifurcation des systèmes conservatifs 6/24

Point de bifurcation et point limiteλλ(u' , λ' ) λ(u' , λ' ) λ(u , λ ) λBifurcation angulaireV(u , λ ) λBifurcation tangenteVDéfinition Un point d’équilibre est un point de bifurcation statique s’il est le point d’intersection d’aumoins deux courbes d’équilibre.L’analyse de bifurcation d’une courbe d’équilibre donnée consiste à détecter les pointsd’intersection de cette courbe avec d’autres courbes d’équilibre.Définition Un point d’équilibre est un point limite si :Il s’agit d’un point à tangente ”horizontale” tel que δλ = 0 dans le voisinage de ce point.Ce n’est pas un point de bifurcation.MMS 2012, Point de bifurcation et point limite Bifurcation des systèmes conservatifs 7/24

Problème en vitessePropriété : F ,u(u o , λ o)[δu] = 0∀δu ∈ VProblème fondamental Déterminer la ou les courbes d’équilibre passant par un point d’équilibredonné par la courbe (u o , λ o).Le problème suivant est plus accessible.Problème en vitesse Déterminer les directions tangentielles susceptibles de donner lieu à descourbes d’équilibre en chaque point de (u o , λ o), en recherchant les solutions ( ˙u, ˙λ) ≠ (0, 0) del’équation en vitesse suivante :F ,uu(u o , λ o)[δu, ˙u] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] ˙λ = 0 ∀δu ∈ V (17)Cette équation est linéaire en ˙u et en ˙λ. Une solution de ce problème ne donne pasnécessairement lieu à une bifurcation effective. Cette équation donne une condition de bifurcation.Développement asymptotique Pour la détermination locale des courbes d’équilibre passant par(u o , λ o), on introduit un développement asymptotique en fonction du paramètre τ tel que le pointétudié (u o , λ o) soit l’origine de la courbe en τ = 0 :∞∑ τ iu − u o = u ii! , λ − λo = ∑ ∞ τ iλ ii!i=1i=1(18)MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 8/24

Développement asymptotique∞∑ τ iu − u o = u ii! , λ − λo = ∑ ∞ τ iλ ii!i=1i=1Pour obtenir une description locale des courbes d’équilibre il faut tenir compte du développementasymptotique des conditions d’équilibre :F ,u(u, λ)[δu] =F ,u(u o , λ o)[δu] (20)On obtient un polynôme en τ, P(τ) avec :(19)+F ,uu(u o , λ o)[δu, u − u o ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] (λ − λ o) (21)+ 1 2 ( F,uuu(u o , λo)[δu, u − u o , u − u o ] (22)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u − u o ] (λ − λ o) (23)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] (λ − λ o) 2 ) (24)+ ... = 0 ∀δu ∈ V ∀ τ (25)P(τ) = 0∀τA l’ordre 1, le coefficient factreur de τ donne une équation reliant u 1 et λ 1 . A l’ordre 2, lecoefficient facteur de τ 2 donne une équation reliant u 1 , λ 1 , u 2 et λ 2 . A l’ordre 3, ...MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 9/24

Développement asymptotiqueExemple d’identification de l’équation correspondant à l’ordre 1. Seuls les termes d’ordre inférieurou égal à 1 de F interviennent. Le terme d’ordre 0 est nul par définition de u o . On a donc à l’ordre1 :0 =0 (26)+ ( F ,uu(u o , λ o)[δu, u 1 ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 1)τ (27)+ o(τ) ∀δu ∈ V ∀ τ (28)On obtient le problème suivant. Trouver (u 1 , λ 1 ) tel que :−F ,uu(u o , λ o)[δu, u 1 ] = F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 1 ∀δu ∈ V (29)On retrouve le problème en vitesse.MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 10/24

Développement asymptotiqueAnnulation des termes d’ordre 2. Seuls les termes d’ordre inférieur ou égal à 2 de F interviennent.L’ordre 1 en (u − u o ) de F y contribuent avec l’ordre 2 en τ de (u − u o )...0 =(...) τ (30)+ 1 2(F,uu(uo , λ o)[δu, u 2 ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 2)τ2(31)+ 1 2 ( F,uuu(u o , λo)[δu, u 1 , u 1 ] (32)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u 1 ] λ 1 (33)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] λ 2 1 ) τ 2 (34)+ o(τ 2 ) ∀δu ∈ V ∀ τ (35)On obtient le problème suivant. Trouver (u 2 , λ 2 ) tel que :−F ,uu(u o , λ o)[δu, u 2 ] = F ,uλ (u o , λ o)[δu] λ 2 (36)+ F ,uuu(u o , λ o)[δu, u 1 , u 1 ] (37)+ 2 F ,uuλ (u o , λ o)[δu, u 1 ] λ 1 (38)+ F ,uλλ (u o , λ o)[δu] λ 2 1 (39)MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 11/24

Problème en vitesse dans le cas d’une courbe fondamentaleλ1λ οφ(u ο( λ − λ ο) , λ )Courbe fondamentaleVRappel :F ,u(u o , λ o)[δu] = 0De façon classique, on choisit le paramétrage suivant :∀δu ∈ Vu λ = u o (λ − λ o) τ = λ − λ o ˙λ = 1 φ = u ,λOn obtient alors :Problème en vitesse Déterminer les directions tangentielles susceptibles de donner lieu à descourbes d’équilibre en chaque point de (u o , λ o), en recherchant les solutions φ de l’équation envitesse suivante :F ,uu(u o , λ o)[δu, φ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] = 0 ∀δu ∈ V (40)MMS 2012, Problème en vitesse Bifurcation des systèmes conservatifs 12/24

Analyse de bifurcation d’une courbe fondamentaleF ,uu(u o , λ o)[δu, φ] + F ,uλ (u o , λ o)[δu] = 0 ∀δu ∈ V (41)Problème de seconde variation de l’énergie.Soit le problème linéaire suivant, extrait du problème en vitesse : Trouver ψ tel que,F ,uu(u o , λ o)[δu, ψ] = 0 ∀δu ∈ V (42)L’équation ci-dessus est appelée équation de bifurcation. Si la solution de ce problème est unique,alors ψ = 0, le point d’équilibre est un point régulier. La tangente (φ, 1) est unique. Il n’y a pas debifurcation.Sinon, le problème n’est pas inversible. C’est un problème aux valeurs propres généralisé. Oncherche alors le mode de bifurcation ψ ≠ 0 et le paramètre de charge critique λ c tel que :F ,uu(u o (λ c), λ c)[δu, ψ] = 0 ∀δu ∈ V (43)Condition de bifurcation : Pour qu’il y ait bifurcation, il faut qu’il existe au moins un mode debifurcation ψ ≠ 0 vérifiant l’équation (43).L’étude de la réponse post-critique nécessite d’analyser le problème asymptotique.MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 13/24

Analyse de bifurcation en mécaniqueSi l’énergie potentielle F est une fonctionnelle strictement convexe alors il n’y a qu’une seulecourbe d’équilibre. Il n’y a donc pas de bifurcation statique.Pour que l’analyse de bifurcation des problèmes élastiques ait un sens, il faut tenir compte determes non linéaires dans les équations d’équilibre, comme de grandes rotations (de grandsdéplacements), ou plus généralement des transformations finies. La prise en compte des grandesrotations peut être obtenue en écrivant les conditions d’équilibre sur une configuration déformée,comme pour le problème d’Euler (voir exercice 12.10 p. 165 du polycopié).Dans la suite du cours nous considérons que la densité d’énergie élastique est quadratique enfonction du tenseur de Green-Lagrange E ∼(déformations faibles, grandes rotations) :E ∼= 1 2 (F ∼T F ∼− I ∼) (44)E ij (u) = ε ij (u) + 1 2 q ij (u, u) (45)ε ij (u) = 1 2 (u i,j + u j,i ) (46)q ij (u, u) = u k,i u k,j (47)W (E ∼) = 1 2 E : C : E (48)∼ ≈ ∼∫F(u, λ) = W ( E ∼(u) ) dΩ − W ext (u, λ) (49)Ω 0où Ω 0 est la configuration à l’état naturel et W ext est linéaire en u.MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 14/24

Analyse de bifurcation, pour la théorie des poutres de Navier-Bernoulli** *FIGURE: Description du champ de déplacement.u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (50)u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 , u 3 = V (x 1 ), V ,1 + θ = 0 (51)⎛( ) ε.. = ⎝ U ⎞,1 − V ,11 x 3 0 00 0 0⎠ (52)0 0 0⎛(U( ) ,1 − V ,1 x 3 ) 2 + V 2 ⎞,1 0 U ,1 V ,1q.. = ⎝ 0 0 0 ⎠ (53)U ,1 V ,1 0 V,12MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 15/24

Analyse de bifurcation, pour la théorie des poutres de Navier-BernoulliOn suppose que les déformations longitudinales sont faibles (U ,1 ) et que l’effet du pincement de lapoutre (q 33 ) est négligeable. Le terme en x3 2 de q est supposé négligeable (poutre mince). On∼obtient la forme classique suivante pour les termes non linéaires de E ∼:⎛( )V 2 ⎞,1 0 0q.. = ⎝ 0 0 0⎠ (54)0 0 0Après intégration dans les sections droites S on obtient :∫F(u) = ( 1C 02 E S (U ,1 + 1 2 V ,1 2 )2 + 1 2 E I V ,11 2 ) dx 1 − W ext (u, λ) (55)Cette énergie potentielle n’est pas quadratique en V , F ,VV (u)[δu, δu] est une fonction de V .MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 16/24

Analyse de bifurcation d’une structure élastiqueReprenons les expressions suivantes (Hypothèse W ext est linéaire en u) :∫1F(u, λ) =Ω 02 E(u) : C : E(u) dΩ − W ∼ ≈ ∼ ext (u, λ)E ∼(u) = ∼ε(u) + 1 2 q(u, u) , q(u 1 , u 2 ) = q(u 2 , u 1 ) (bilinéaire et symétrique)∼ ∼ ∼L’équation d’équilibre s’écrit :∫Ω 0E ∼: C≈: (ε ∼(δu) + q∼(u, δu)) dΩ − W ext (δu, λ) = 0 ∀ δu ∈ V (56)La seconde variation de l’énergie est :∫F ,uu(u, λ)[δu, φ] = (ε ∼(φ) + q(u, φ)) : C : (εΩ ∼ ≈ ∼(δu) + q(u, δu)) + E∼ ∼: C : q(φ, δu) dΩ (57)≈ ∼0Le long d’une courbe fondamentale d’équilibre (u o (λ), λ) le champ de déformation est unefonction de λ notée E ∼o(λ). On cherche λ c et ψ tel que u c = u o (λ c) et∫Ω 0(ε ∼(ψ) + q∼(u c , ψ)) : C≈: (ε ∼(δu) + q∼(u c , δu)) + E ∼o(λ c) : C≈: q∼(ψ, δu) dΩ = 0 ∀ δu ∈ V (58)MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 17/24

Analyse de bifurcation d’une structure élastiqueHypothèse de faible pré-déformation et de chargement proportionnel : W ext est linéaire en λ,E ∼o(λ) = λ E ∼o(1), les termes en q∼(u c , ·) sont négligeables, Ω = Ω 0 .On obtient alors :On cherche la condition de bifurcation d’une courbe fondamentale d’équilibre (u o (λ), λ) dechamp de déformation paramétré λ E ∼o(1), en cherchant λ c et ψ tel que∫ε (ψ) : C : ε(δu) + ∼ ≈ ∼ λc Eo(1) : C : q (ψ, δu) dΩ = 0 ∀ δu ∈ V (59)∼ ≈Ω∼C’est un problème aux valeurs propres. La valeur critique est donnée par :λ c = min φ−∫Ω ε0 ∼(φ) : C : ε≈ ∼(φ) dΩ∫Ω E0 ∼o(1) : C : q(φ, φ) dΩ≈ ∼Le minimum est réalisé en φ = ψ. La stationnarité du quotient donne l’équation de bifurcation (59).(60)MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 18/24

Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreL’analyse du flambage commence par l’analyse de bifurcation de l’équilibre d’un systèmemécanique sollicité en compression. Elle est complétée par une étude de stabilité qui fera l’objetdu prochain cours.MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 19/24

Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreSoit une poutre droite de section S et de longueur L, soumise à une force de compression λ > 0en x 1 = L, en appui simple en x 1 = 0 et x 1 = L (rotation autorisée).On a : W ext = −λ U(L), U(0) = 0, V (0) = 0, V (L) = 0.On obtient donc :∫F(u) = ( 1C 02 E S (U ,1 + 1 2 V ,1 2 )2 + 1 2 E I V ,11 2 ) dx 1 + λ U(L) (61)L’équation d’équilibre est donnée par :∫ L(E S (U ,1 + 102 V ,1 2 ) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) + E I δV ,11 V ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV δV ,1 (62)Avec par définition des efforts intérieurs :∫N = σ 11 dS = E S (U ,1 + 1S2 V ,1 2 ),On obtient :∫M = x 3 σ 11 dS = −E I V ,11S∫ L(N (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) − M δV ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV (63)0MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 20/24

Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreAprès une première intégration par partie on obtient :0 = (λ + N(L)) δU(L) − M(L)δV ,1 (L) + M(0)δV ,1 (0) (64)∫ L∫ L− N ,1 δU dx 1 − (N V ,11 + N ,1 V ,1 ) δV − M ,1 δV ,1 dx 1 ∀δU δV (65)00Après une deuxième intégration par partie on obtient :0 = (λ + N(L)) δU(L) − M(L)δV ,1 (L) + M(0)δV ,1 (0) (66)∫ L∫ L− N ,1 δU dx 1 − (N V ,11 + N ,1 V ,1 ) δV + M ,11 δV dx 1 ∀δU δV (67)00On pose Q = N V ,1 + M ,1 .0 = (λ + N(L)) δU(L) − M(L)δV ,1 (L) + M(0)δV ,1 (0) (68)∫ L∫ L− N ,1 δU dx 1 − Q ,1 δV dx 1 ∀δU δV (69)00MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 21/24

Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreOn obtient donc les équations d’équilibre suivantes :N ,1 = 0, Q ,1 = 0, N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0Solution triviale : état de compression U o = − λE S x 1, V o = 0 avec :⎛( ) Eo..(λ) = ⎝ − λ ⎞0 0E S0 0 0⎠ (70)0 0 0L’équation de bifurcation donne le problème aux valeurs propres suivant :∫ L0λ c = minE S U2 φ,1 + E I V φ,11 2 dx 1∫ φ L0 V φ,1 2 dx , avec U φ (0) = V φ (0) = V φ (L) = 0 (71)1MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 22/24

Analyse de bifurcation, flambage d’une poutreLa stationnarité du quotient donne :Donc :∫ LE S U ψ,1 δU ,1 + E I V ψ,11 δV ,11 − λ V ψ,1 δV ,1 dx 1 = 0 ∀δU δV (72)00 =E S U ψ,1 (L) δU(L) + E I V ψ,11 (L) δV ,1 (L) − E I V ψ,11 (0) δV ,1 (0) (73)∫ L− E S U ψ,11 δU dx 1 (74)0∫ L+ (E I V ψ,1111 + λ V ψ,11 ) δV dx 1 ∀δU δV (75)0Ce qui donne le problème aux limites suivant (Hypothèses : sections constantes et matériauhomogène) :U ψ,11 = 0, U ψ (0) = 0, U ψ,1 (L) = 0E I V ψ,1111 + λ V ψ,11 = 0, V ψ,11 (0) = 0, V ψ,11 (L) = 0, V φ (0) = 0, V φ (L) = 0La solution pour la partie longitudinale du mode de bifurcation : U ψ (x 1 ) = a x 1 + b, a = 0, b = 0Pour le problème transverse on pose z = V ψ,11 .MMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 23/24

Analyse de bifurcation, flambage d’une poutre√λH1 : Si λ > 0 alors z = A cos(V ψ,11 = z, V φ (0) = 0, V φ (L) = 0E I z ,11 + λ z = 0, z(0) = 0, z(L) = 0√x E I 1 ) + B sin(√ √ −λH2 : Si λ < 0 alors z = A ′ xe E I 1+ B ′ e − −λxE I 1.H3 : Si λ = 0 alors z = A” x 1 + B”.λE I x 1 ).En tenant compte des conditions aux limites z(0) = 0 et z(L) = 0, on obtient :√λkH1 : Si λ > 0 alors A = 0, L = (k − 1) π, B E I k quelconque√ √ −λH2 : Si λ < 0 alors A ′ L − −λL(e E I − e E I ) = 0, impossibleH3 : Si λ = 0 alors A” = 0, B” = 0, le champ est identiquement nul, ce n’est pas un mode debifurcation.La plus petite valeur propre correspond à λ c (k = 2 pour H1) :λ c = π 2 E IL 2U ψ = 0 V ψ = ˜B sin(π x 1L )˜B ∈ RMMS 2012, Analyse de bifurcation Bifurcation des systèmes conservatifs 24/24