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3.5. Minimisation de la variance 71avec}}R k = E{χ(b)χ(b) H = E{R(b)ω k ω H k R(b) { } { }p k = E χ(b) = E R(b) ω k = R ω k ,(3.51a)(3.51b)où R est la MCST moyenne (moyennée sur les différents blocs b).On insiste sur le fait que R k et p k dépendent de χ k (b), qui est considéré constantdans le développement ci-dessus. En conséquence, même si on peut écrire p k explicitementcomme R ω k , on suppose que sa dérivée par rapport à ω k est nulle dansl’obtention de (3.50).Finalement, en utilisant la méthode de Newton, on obtientω k+1 = ω k − H k g k[]= ω k − 1 ( ) −1 ( )R k + βI 2 R k + βI ω k − p k2= 1 (−1RR k + βI)ωk .2(3.52)L’équation (3.52) montre que ω est solution d’une décomposition en élémentspropres généralisée des matrices R k + βI et R. De plus, l’équation en soi, à partle facteur 1 , correspond à une itération de la méthode de la puissance itérée [23].2Cependant, le facteur 1 peut être omis car ω 2 k+1 doit en définitive être normalisé defaçon à respecter la puissance d’émission.Pour mieux comprendre la signification de la mise à jour de ω k par l’équation (3.52),considérons deux cas extrêmes, à savoir β = 0 et β = ∞. Avec β = ∞, la mise à jourde ω k devientω k+1 ∝ R ω k . (3.53)On voit alors que, d’une part, la solution ne dépend plus de χ(b) et, d’autre part,l’équation d’adaptation (3.53) conduit au plus grand vecteur propre de R. C’estexactement la solution de maximum de RSB présentée à la section 2.5.2.D’autre part, pour β = 0, l’équation d’adaptation de ω k est la suivanteω k+1 ∝ R −1k R ω k . (3.54)Cette fois-ci, il faut itérer entre ω et χ(b) pour trouver la solution optimale. Celaconduit à la solution de minimum de variance. Néanmoins, comme mentionné auparavant,la solution qui conduit au minimum de TEB est obtenue pour un β intermédiaire,de façon à minimiser la variance et maximiser le RSB au niveau dumobile. Le tableau 3.1 montre l’algorithme CPA. La condition d’arrêt est que lavariation du critère soit inférieure au seuil ǫ CPA .