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3.5. Minimisation de la variance 65De façon à obtenir une écriture matricielle de l’équation (3.29), on rappelle d’abord[] T.que la couche l du précodeur s’écrit comme w(l) = w 1 (l) w 2 (l) · · · w M (l)Ensuite, on empile les convolutions h m (b, n) ⋆ ˘s l (b, n) dans un vecteur pour arriver ày(b, n) =L∑l=1]w(l)[h(b, H n) ⋆ ˘s l (b, n) + ν(b, n) . (3.30)Par ailleurs, la convolution h(b, n) ⋆ ˘s l (b, n) s’exprime comme⎡⎤⎡⎤ ˘s l (b, n)| | |⎢h(b, n) ⋆ ˘s l (b, n) = ⎣h(b, 0) h(b, 1) · · · h(b, D − 1)⎥˘s l (b, n − 1)⎦⎢⎥ , (3.31)| | | ⎣ . ⎦} {{ } ˘s l (b, n − D + 1)H(b)} {{ }˘s l (b,n)où H(b) est le canal spatio-temporel du bloc b et ˘s l (b, n) est le vecteur signal ducapteur virtuel l. Une fois que l’on a défini ces quantités, on peut réécrire (3.30)commeL∑y(b, n) = w(l) H H(b)˘s l (b, n) + ν(b, n) . (3.32)l=1Pour compléter l’écriture matricielle, il suffit d’écrire la somme sur l comme unproduit scalaire entre le vecteur formé par l’empilement des couches w(l) et celuiformé par l’empilement des vecteurs H(b)˘s l (b, n). De cette façon on obtientoù le vecteur de précodage ω s’écrit commeω =y(b, n) = ω H˜s(b, n) + ν(b, n) , (3.33)[w(0) T w(1) T · · · w(L) T ] T(3.34)et où ˜s(b, n) est le vecteur des signaux virtuels filtrés par le canal.En ce qui concerne le vecteur des signaux virtuels filtrés par le canal ˜s(b, n), selonla technique de DT utilisée, deux possibilités se présentent :1. Delay Transmit Diversity (DTD) : Pour cette technique, on peut établirla relation suivante entre les signaux virtuels ˘s l (b, n) et le signal s(b, n)˘s l (b, n) = s(b, n − l + 1) ∀l = 1, 2, . . ., L . (3.35)Par conséquent, on peut écrire le vecteur ˜s(b, n) comme la convolution entre le