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64 Chapitre 3. Techniques mono-utilisateurun canal de Rayleigh décorrélé et équilibré avec un nombre variable de capteurs L.La figure 3.9 montre la variance de la puissance reçue par le mobile en fonction dunombre de capteurs à la SB. On rappelle que la puissance d’émission est fixe. Onvoit, pour 1 capteur, que la variance de 1 correspond à la variance d’une variable deRayleigh de puissance unité. Déjà pour 2 capteurs, on voit l’amélioration sensible,avec une variance de 0,5. On remarque aussi que la diminution de la variance devientde plus en plus faible avec l’addition de capteurs supplémentaires.3.5.1 Modèle de signalDans le but d’obtenir une formulation plus générale du problème traité, on étendle modèle de signal présenté dans la section 3.2 au cas d’un canal sélectif en fréquence.Posons h m (b, n) comme la réponse impulsionnelle du canal entre le capteur m et lemobile pour le bloc b. De façon analogue au cas des canaux plats, on suppose quecette réponse reste constante pendant toute la durée d’un bloc. Ainsi, le signal reçupar le mobile y(b, n) s’écrit commey(b, n) =M∑h m (b, n) ⋆ x m (b, n) + ν(b, n) , (3.26)m=1où ⋆ dénote le produit de convolution.On suppose par la suite que la durée des réponses impulsionnelles h m (b, n) estde D échantillons. On peut donc réécrire (3.26) en exprimant de façon explicite leproduit de convolution entre les signaux capteurs et le canal. On aboutit donc ày(b, n) =M∑D−1∑h m (b, i)x m (b, n − i) + ν(b, n) . (3.27)m=1 i=0Le signal capteur x m (b, n) est donné, d’après la figure 3.1, parx m (b, n) =L∑wm ∗ (l)˘s l(b, n) , (3.28)l=1Ainsi, en substituant x m (b, n − i) dans l’équation (3.27) et en inversant l’ordre dessommes, on obtienty(b, n) =L∑ M∑D−1wm ∗ (l) ∑h m (b, i)˘s l (b, n − i) + ν(b, n) . (3.29)l=1 m=1 i=0À ce point, on note que la somme sur i dans (3.29) correspond à la convolution dusignal émis (après diversité de transmission) avec le canal. Cela montre la similitudedu modèle en voie montante et en voie descendante, due à la linéarité du précodeuret du canal.
3.5. Minimisation de la variance 65De façon à obtenir une écriture matricielle de l’équation (3.29), on rappelle d’abord[] T.que la couche l du précodeur s’écrit comme w(l) = w 1 (l) w 2 (l) · · · w M (l)Ensuite, on empile les convolutions h m (b, n) ⋆ ˘s l (b, n) dans un vecteur pour arriver ày(b, n) =L∑l=1]w(l)[h(b, H n) ⋆ ˘s l (b, n) + ν(b, n) . (3.30)Par ailleurs, la convolution h(b, n) ⋆ ˘s l (b, n) s’exprime comme⎡⎤⎡⎤ ˘s l (b, n)| | |⎢h(b, n) ⋆ ˘s l (b, n) = ⎣h(b, 0) h(b, 1) · · · h(b, D − 1)⎥˘s l (b, n − 1)⎦⎢⎥ , (3.31)| | | ⎣ . ⎦} {{ } ˘s l (b, n − D + 1)H(b)} {{ }˘s l (b,n)où H(b) est le canal spatio-temporel du bloc b et ˘s l (b, n) est le vecteur signal ducapteur virtuel l. Une fois que l’on a défini ces quantités, on peut réécrire (3.30)commeL∑y(b, n) = w(l) H H(b)˘s l (b, n) + ν(b, n) . (3.32)l=1Pour compléter l’écriture matricielle, il suffit d’écrire la somme sur l comme unproduit scalaire entre le vecteur formé par l’empilement des couches w(l) et celuiformé par l’empilement des vecteurs H(b)˘s l (b, n). De cette façon on obtientoù le vecteur de précodage ω s’écrit commeω =y(b, n) = ω H˜s(b, n) + ν(b, n) , (3.33)[w(0) T w(1) T · · · w(L) T ] T(3.34)et où ˜s(b, n) est le vecteur des signaux virtuels filtrés par le canal.En ce qui concerne le vecteur des signaux virtuels filtrés par le canal ˜s(b, n), selonla technique de DT utilisée, deux possibilités se présentent :1. Delay Transmit Diversity (DTD) : Pour cette technique, on peut établirla relation suivante entre les signaux virtuels ˘s l (b, n) et le signal s(b, n)˘s l (b, n) = s(b, n − l + 1) ∀l = 1, 2, . . ., L . (3.35)Par conséquent, on peut écrire le vecteur ˜s(b, n) comme la convolution entre le
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64 Chapitre 3. Techniques mono-utilisateurun canal de Rayleigh décorrélé et équilibré avec un nombre variable de capteurs L.La figure 3.9 montre la variance de la puissance reçue par le mobile en fonction dunombre de capteurs à la SB. On rappelle que la puissance d’émission est fixe. Onvoit, pour 1 capteur, que la variance de 1 correspond à la variance d’une variable deRayleigh de puissance unité. Déjà pour 2 capteurs, on voit l’amélioration sensible,avec une variance de 0,5. On remarque aussi que la diminution de la variance devientde plus en plus faible avec l’addition de capteurs supplémentaires.3.5.1 Modèle de signalDans le but d’obtenir une formulation plus générale du problème traité, on étendle modèle de signal présenté dans la section 3.2 au cas d’un canal sélectif en fréquence.Posons h m (b, n) comme la réponse impulsionnelle du canal entre le capteur m et lemobile pour le bloc b. De façon analogue au cas des canaux plats, on suppose quecette réponse reste constante pendant toute la durée d’un bloc. Ainsi, le signal reçupar le mobile y(b, n) s’écrit commey(b, n) =M∑h m (b, n) ⋆ x m (b, n) + ν(b, n) , (3.26)m=1où ⋆ dénote le produit de convolution.On suppose par la suite que la durée des réponses impulsionnelles h m (b, n) estde D échantillons. On peut donc réécrire (3.26) en exprimant de façon explicite leproduit de convolution entre les signaux capteurs et le canal. On aboutit donc ày(b, n) =M∑D−1∑h m (b, i)x m (b, n − i) + ν(b, n) . (3.27)m=1 i=0Le signal capteur x m (b, n) est donné, d’après la figure 3.1, parx m (b, n) =L∑wm ∗ (l)˘s l(b, n) , (3.28)l=1Ainsi, en substituant x m (b, n − i) dans l’équation (3.27) et en inversant l’ordre dessommes, on obtienty(b, n) =L∑ M∑D−1wm ∗ (l) ∑h m (b, i)˘s l (b, n − i) + ν(b, n) . (3.29)l=1 m=1 i=0À ce point, on note que la somme sur i dans (3.29) correspond à la convolution dusignal émis (après diversité de transmission) avec le canal. Cela montre la similitudedu modèle en voie montante et en voie descendante, due à la linéarité du précodeuret du canal.
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