TH`ESE - Library of Ph.D. Theses | EURASIP

3.3. Diversité de transmission et TEB 55où N est le nombre de bits par symbole, d 2 min est la distance minimale entre 2 pointsde la constellation normalisée à puissance unité, N e est le nombre moyen de voisins àdistance minimale pour la modulation utilisée, r est le rang de la matrice ˘R et λ i( ˘R)est la i-ème valeur propre de ˘R [la matrice ˘R est définie par l’équation (3.7)].Notons que cette borne est valable pour une répartition égale de la puissanced’émission entre les capteurs [34]. De plus, on considère les canaux virtuels par lebiais de la matrice de covariance ˘R pour convenance de notation, mais les résultatssont généraux et s’appliquent à n’importe quel canal. L’influence du précodeur Wsera pris en compte dans la section 3.4, où on présentera l’allocation optimale depuissance pour minimiser le TEB.Posons d’abord g ˘R= ∏ ri=1 λ−1 iP e ≤ N eN( d2min8( ˘R) . On peut donc réécrire (3.20) comme−r ( −rP TXPTX(gσν2 ˘Rr)= ς (g )−1σν2 ˘Rr), (3.21))−1( )où ς = Ne d 2 −rminN 8 est une constante qui dépend seulement de la modulation choisieet du rang du canal.On voit alors que la pente asymptotique du TEB (à RSB élevé et en échelle log)est donnée par −r, c’est pourquoi r est aussi appelé ordre de diversité du canal.D’autre part, la diversité de transmission apporte aussi un gain de codage (que l’onpeut aussi appeler gain d’antenne) de (g ˘R) −1 r. Cette borne nous permet de comparerles performances asymptotiques de deux canaux ˘h 1 (b) et ˘h 2 (b) en termes d’ordre dediversité et de gain de codage obtenus en fonction de chaque canal.Considérons deux canaux de même transmittance de MCS ˘R 1 et ˘R 2 . La conditionde même transmittance se traduit comme tr ( ) ( ) ˘R1 = tr ˘R2 . Remarquons que la traced’une matrice est égale à la somme des valeurs propres de cette matrice. Ainsi, on ar∑ ( ) r∑ ( )λ i ˘R1 = λ i ˘R2 et on peut comparer ses deux canaux en termes de puissancei=1i=1d’émission requise pour atteindre le même TEB.En écrivant l’équation (3.21) pour ˘R 1 et P (1)TX , pour ˘R 2 et P (2)TXet en égalant sesexpressions, on obtient( )1gP (1)TX = P (2)r ˘R1TX. (3.22)g ˘R 2Pour le canal 2, mettons-nous dans le cas où les hypothèses classiques de diversitéde transmission sont respectées, c’est-à-dire que les capteurs sont décorrélés etéquilibrés. Alors, la MCS a rang r = L et les valeurs propres valentλ 1( ˘R2)= λ2( ˘R2)= · · · = λL( ˘R2)= 1 , (3.23)où, sans perte de généralité, on a normalisé les valeurs propres à 1 pour simplifier ledéveloppement mathématique dans ce qui suit.