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2.7. Techniques de FV multi-utilisateurs 39On remarque que le vecteur propre de (2.54) est aussi vecteur propre de (2.23),par contre la valeur propre λ uT n’est pas la même que λ u . Cependant, on peut trouverun relation entre les deux valeurs propres. Pour cela, on écrit l’inverse du quotient deRayleigh pour la décomposition (2.23), donné paroù R Tuw H u R T uw uw H u R uw u= 1ζ u λ u∀u , (2.56)∑= U α i R i + σ 2 I M . D’autre part, l’inverse du quotient de Rayleigh de lai=1i≠udécomposition (2.54) s’écrit commew H u (R T u+ α u R u )w uw H u R u w u= 1λ uT∀u . (2.57)Une analyse des expressions (2.56) et (2.57) montre queEt on peut résoudre l’équation précédente pour trouver1= 1 + α u ∀u . (2.58)λ uT ζ u λ uλ u =λ uTζ u(1 − α u λ uT) ∀u . (2.59)Une approximation pour la valeur propre maximale λ uT et le vecteur propre correspondantw u peut être obtenue par quelques itérations de la méthode de la puissanceitérée, donnée parv = R −1T R uw uλ uT = √ v H vw u = 1λ uTv .(2.60)La deuxième modification correspond à la résolution du système linéaire en α,après la mise à jour des w u . On propose alors de remplacer la résolution de ce systèmelinéaire par une simple mise à jour des puissances en voie montante de la façonsuivanteα u = cλ u. (2.61)L’idée derrière cette mise à jour est que, pour chaque utilisateur u, à l’itérationk on ne change que sa propre puissance α u pour respecter les contraintes, en tenantcompte des puissances α i des autres utilisateurs à l’itération précédente (k − 1). Deplus, la valeur de la constante de proportionnalité c peut être calculée à chaqueitération de manière que la puissance maximale d’émission soit respectée. Pour cela,