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38 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionoù l’inverse Λ −1 existe car Λ est une matrice diagonale.En égalant les équations (2.49) et (2.50) et en posant α + = α − + ∆α, on peutécrireD + α − + D + ∆α − M + α − − M + ∆α = Λ −1 D + α − − M + α − . (2.51)Maintenant, on résout l’équation (2.51) pour obtenir ∆α, donné par∆α = − ( D + − M +) −1 (IU − Λ −1) D} {{ }} {{ }} + {{ α −}IIIIII. (2.52)Ainsi, pour que la puissance totale d’émission soit réduite par rapport à l’itérationprécédente, il suffit que tous les éléments du vecteur ∆α soient non-positifs et qu’aumoins un soit négatif. Cette condition peut être vérifiée par l’analyse des termes I, IIet III de l’équation (2.52). D’abord, comme tous les éléments de la matrice D + et duvecteur α − sont positifs, alors le vecteur donné par le terme III a, lui aussi, tous leséléments positifs. Ensuite, la matrice donnée par le terme II possède tous les élémentspositifs car λ u,max < c − = 1, ∀u. Finalement, la matrice donnée par le terme I possèdeaussi tous les éléments non-négatifs, comme démontré dans le théorème 2.7.1. On enconclut donc queU∑ U∑ U∑ U∑p + i = α + i < α − i = p − i . (2.53)i=1i=1Alors, la deuxième condition pour qu’il y ait convergence est aussi satisfaite parl’algorithme DBPC.i=1i=12.7.7 Version rapide - algorithme F-DBPCDans le but de réduire le coût de calcul de l’algorithme DBPC, on propose deuxmodifications, l’une concernant la décomposition en éléments propres généralisée(étape 2 de l’algorithme) et l’autre concernant la mise à jour des puissances en voiemontante (étape 5 de l’algorithme).On propose d’abord de remplacer la décomposition en éléments propres généraliséepar quelques itérations de la méthode de la puissance itérée [23]. Pour cela, on exprimela décomposition généralisée (2.23) d’une façon équivalente commeR −1T R uw u − λ uT w u = 0 ∀u , (2.54)où λ uT est la valeur propre, la matrice R T est donnée parR T =U∑α i R i + σ 2 I M (2.55)i=1et l’existence de son inverse est assurée par le terme correspondant au bruit.