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2.7. Techniques de FV multi-utilisateurs 37Par contre, si les cibles avaient déjà été atteintes (c − = 1), la condition suffisantepour qu’il y ait convergence est que la puissance totale d’émission diminue après la∑mise à jour de α à l’étape 2. Cette condition s’écrit comme U ∑α i + < U αi − .Intéressons-nous d’abord au cas où les cibles n’avaient pas encore été atteintes.Dans ce cas, la nouvelle constante { de proportionnalité c + est choisie légèrementinférieure à c max . En posant β = min λ u,max}, on peut réécrire (2.42) commeu)D + α − − βM + α − = σ 2 Λ1 U +(Λ − βI U M + α − . (2.44)(Vu que tous les éléments diagonaux de Λ sont positifs, la matrice diagonale Λ −)βI U possède juste un élément diagonal nul et tous les autres sont positifs. D’autrepart, tous les éléments de la matrice M + et du vecteur α − sont non-négatifs. De cefait, le terme à droite de l’égalité (2.44) est un vecteur formé d’éléments positifs eton peut écrire l’inégalité suivanteD + α − − βM + α − > 0 U . (2.45)En multipliant l’équation (2.45) à gauche par α −T , on aboutit ài=1i=1α −T D + α −α −T M + α − > β . (2.46)Le quotient de Rayleigh donné par l’équation (2.46) est maximisé par le vecteurpropre v max , correspondant ) à la valeur propre maximale c max de la décompositiongénéralisée de(D + ,M + . On peut alors écrirev T maxD + v maxv T max M+ v max= c max > β . (2.47)En rappelant l’équation (2.41), on a β > c − . Par conséquent, on conclut quec + = c max > β > c − . (2.48)Alors, la condition pour qu’il y ait convergence dans le premier cas (c − < 1) estsatisfaite.En ce qui concerne le deuxième cas, où les cibles avaient déjà été atteintes, c − =c + = 1 et les nouvelles puissances α + sont obtenues via l’équation (2.43), qui sesimplifie àD + α + − M + α + = σ 2 1 U . (2.49)Dans le but de démontrer que la puissance totale d’émission diminue à la fin de étape2, considère la multiplication de (2.42) à gauche par Λ −1Λ −1 D + α − − M + α − = σ 2 1 U (2.50)