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36 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissioncibles n’ont pas été respectées et, alors, c − < 1 ou parce que la puissance totaled’émission n’est pas encore minimale. Dans ce qui ce suit, on démontrera que chaqueétape de l’algorithme amène l’une de ces quantités vers la valeur optimale.Étape 1 : mise à jour des filtres Une fois que les puissances en voie montanteont été mises à jour après le calcul des filtres wu − , ces derniers ne sont plus vecteurpropre de l’équation (2.23). Ainsi, dans la première étape de l’itération suivante, lesfiltres sont mis à jour en utilisant le vecteur α − . Après le calcul des nouveaux filtresw u + , on peut alors écrire αu −w+ H R uu ζ uw u+⎛ ⎞ = λ u,max > c − ∀i , (2.41)w u+ H∑⎝ U α − i R i + σ 2 ⎠w u+i=1i≠uoù λ u,max est la valeur propre maximale correspondant au vecteur propre w u + . Deplus, toutes les valeurs propres λ u,max sont supérieurs à c − , car les vecteurs propresw u + correspondant aux valeurs propres maximales maximisent le quotient de Rayleighdonné par l’équation (2.41).Par conséquent, comme λ u,max > c − , l’étape de mise à jour des filtres permetd’obtenir un gain par rapport à l’itération précédente. Ce gain sera exploité par ladeuxième étape de l’algorithme pour augmenter la valeur de la constante de proportionnalitéou pour minimiser la puissance totale d’émission lorsque c − = 1.Étape 2 : mise à jour des puissances Après la mise à jour des filtres à l’étapeprécédente, l’égalité (2.41) peut être exprimée sous forme matricielle commeD + α − − ΛM + α − = σ 2 Λ1 U , (2.42)où Λ est une matrice diagonale formée par les valeurs propres maximales λ u,max etles matrices D + et M + sont calculées selon les équations (2.30) et (2.31) en utilisantles filtres w + u .Dans cette étape, les puissances en voie montante et la constante de proportionnalitéseront mises à jour de manière à vérifier les contraintes données par le systèmelinéaire (2.32). Ces nouvelles puissances α + et la nouvelle constante c + sont tellesqueD + α + − c + M + α + = c + σ 2 1 U . (2.43)Analysons maintenant le rapport entre c + et c − et entre α + et α − , dans le but dedémontrer la convergence de l’algorithme. Selon la valeur de c − , on considère deuxcas de figure.Dans le premier cas, les cibles n’avaient pas encore été atteintes (c − < 1) etalors la condition suffisante pour qu’il y ait convergence est que la constante deproportionnalité après étape 2 soit supérieure à c − , i.e., c + > c − .