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34 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionvoie descendante en utilisant le contrôle de puissance présenté dans la section 2.7.4.De cette façon, on obtient les filtres de transmission et les puissances d’émissionoptimaux au sens du critère énoncé dans la section 2.7.2.L’idée centrale derrière la solution itérative décrite dans cette section est l’itérationdes équations (2.23) et (2.33), en utilisant dans l’une les quantités obtenues dansl’autre. Le tableau 2.1 montre cette solution, appelé Downlink Beamforming andPower Control (DBPC), ce qui met en évidence la nature conjointe de l’obtentiondes puissances et des filtres.Le mode de fonctionnement de l’algorithme DBPC est similaire à celui proposédans [39]. Néanmoins, le calcul des puissances en voie montante se fait de façon exacteici et de façon approximée dans [39].L’algorithme DBPC ne permet pas d’incorporer la contrainte de puissance maximale.Si cette contrainte n’est pas vérifiée, il faut diminuer la valeur de c par petitpas, en augmentant la valeur de ε, et refaire tourner l’algorithme. Cette procéduredoit être répétée jusqu’à ce que la contrainte de puissance maximale soit vérifiée. Uneautre solution consiste à déconnecter les utilisateurs un par un et recommencer l’algorithmeitératif jusqu’à ce que la puissance d’émission maximale soit respectée. Lesdeux solutions pour tenir compte de la contrainte de puissance d’émission maximalesont cependant très coûteuses puisqu’elles demandent la détermination des filtres etdes puissances optimaux à chaque tentative.2.7.6.1 Coût de calculLa figure 2.4 montre l’évolution de la puissance émise en fonction du nombred’itérations pour un cas typique. On considère que l’algorithme a convergé lorsquela puissance totale d’émission atteint 99% de la puissance émise en régime (montrépar la ligne pointillé). La ligne hachée montre l’itération pour laquelle l’algorithme aconvergé. On voit donc que l’algorithme DBPC converge assez rapidement en nombred’itérations. Par contre, chaque itération présente un coût de calcul élevé à causedu calcul des U décompositions en éléments propres généralisée et la résolution dusystème linéaire en α à chaque itération.Chaque décomposition en éléments propres généralisée présente un coût de calculde 2U 2 + O(U 3 ) et la résolution du système linéaire a un coût de calcul proportionnel∑à M 3 . Il y a encore le calcul de la matrice U α i (k)R i + σν 2I M, dont le coût de calculest (U +2)O(M 2 ), le calcul des matrices D et M, dont la complexité vaut U 2 O(M 2 ),et le calcul de c max , dont la complexité vaut O(U 3 ).i=1i≠uFinalement, le coût de calcul par itération est donné par UO(M 3 ) + (U 2 + U +2)O(M 2 ) + 2O(U 3 ) + 2U 2 . On remarque que ce coût de calcul est proportionnel aunombre d’utilisateurs U au cube, de manière que l’algorithme sera plus lent lorsquele nombre d’utilisateurs augmente. Or, comme on veut augmenter la capacité dusystème, cela entraînera une augmentation du temps de calcul, ce qui est indésirable