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32 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionSupposons que la valeur propre maximale de la matrice cD −1 M T est inférieure)à−11. On peut alors écrire l’expansion en série de Taylor de la matrice(I M −cD −1 M Tcomme :( ) −1∞∑ ( ) kI M − cD −1 M T = IM + cD −1 M T . (2.38))Par conséquent, l’inverse de la matrice(I M − cD −1 M T existe. Par ailleurs, tousles éléments de la matrice M et la constante de proportionnalité c sont non-négatifsaussi. De ce fait, la sommation à l’équation (2.38) a comme résultat une matrice dont( ) −1tous les éléments sont non-négatifs. Ainsi, la matrice I M − cD −1 M T est unematrice composée d’éléments non-négatifs.En résumé, si(la valeur propre)maximale de la matrice cD −1 M T est inférieure à 1,−1alors la matrice I M − cD −1 M T est inversible et tous les éléments de son inversesont non-négatifs. Or, pour que la valeur propre maximale de la matrice cD −1 M Tsoit inférieure à 1, il suffit que c soit inférieur à la valeur propre maximale de lamatrice D −1 M T . On dénote par ψ max la valeur propre maximale de D −1 M T . Defaçon équivalente, ψ max est aussi ( valeur)propre maximale de la décomposition enéléments propres généralisée de M T ,D .(−1Le même raisonnement appliqué à la matrice D−cM)nous dit que c doit êtreinférieur à l’inverse de(la valeur ) propre maximale de la décomposition en élémentspropres généralisée dela décomposition dek=1M,D , dont les valeurs propres sont les mêmes que celles de).(M T ,DLe théorème 2.7.1 fournit une condition sur c qui assure l’existence des inverses(D − cM T ) −1et(D − cM) −1et assure encore que tous les éléments de ces inversessont non-négatifs. Cette dernière condition est suffisante pour garantir que tousles éléments des vecteurs α et p sont non-négatifs, voir équations (2.33) et (2.35).En conséquence, le théorème 2.7.1 assure l’existence d’une solution faisable pour leproblème conjoint de contrôle de puissance et formation de voie en émission, à partla contrainte de puissance maximale. Cette contrainte ne peut pas être facilementincorporée au développement ici présenté et sera ignorée pour l’instant. On reviendrasur elle plus tard.2.7.6 Solution itérative - algorithme DBPCComme souligné précédemment, la détermination des filtres de transmission w unécessite la connaissance des puissances en voie montante α u et vice-versa. On proposedonc une procédure itérative capable d’obtenir à la fois les puissances en voiemontante et les filtres de transmission. Ensuite, il suffit de calculer les puissances en