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2.7. Techniques de FV multi-utilisateurs 31Voie descendante De façon analogue à la voie montante, l’équation de contrôlede puissance en voie descendante est obtenu par le système linéaire formé par lescontraintes (2.20). Ce système linéaire peut être exprimé sous forme matricielle paret la solution pour les puissances en voie descendante estDp − cM T p = cσ 2 ν 1 U (2.34)p = cσ 2 ν(D − cM T ) −11U, (2.35)où on suppose que la matrice) (D − cM T est inversible.On remarque la similarité entre les équations (2.33) et (2.35), la seule différenceétant la transposition de la matrice M. Alors, on peut écrire la correspondance suivanteentre les puissance en voie montante et en voie descendantep =) −1 ( )(D − cM T D − cM α . (2.36)2.7.5 Existence d’une solutionL’existence d’une solution pour le problème énoncé ) par l’équation ( (2.18) est ) liéeà l’inversibilité à la fois de la matrice(D − cM T et de la matrice D − cM . Deplus, pour qu’une solution soit valable, il est nécessaire qu’aussi bien les puissancesen voie montante α u que les puissances en voie descendante p u soient toutes nonnégatives.On verra par la suite que les deux conditions sont liées à la déterminationde la constante de proportionnalité c.Théorème 2.7.1. Pour c < c max , avec c max = 1ψ maxet ψ max la valeur propre maximalede la décomposition en éléments propres généralisée de M T ,D , les matrices( )) ( )(D −cM T et D −cM sont inversibles et tous les éléments de leurs inverses sontnon-négatifs.Démonstration. Considérons d’abord la matriceêtre réécrite comme(D − cM T ) −1.Cette matrice peutD −1 (I M − cD −1 M T ) −1. (2.37)Étant donné que la matrice D est diagonale son inverse existe toujours. De plus,tous les éléments de D −1 sont non-négatifs, ) voir l’équation (2.30). Il reste à démontrerque la matrice(I M −cD −1 M T est inversible et que tous les éléments de son inversesont non-négatifs.