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30 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionα u . Ce résultat est crucial pour démontrer la dualité existant entre le problème originelen voie descendante et le problème transformé en voie montante. Il montre querésoudre le problème transformé en voie montante conduit à la résolution du problèmeen voie descendante.À partir de cette dualité, on peut retourner au choix du vecteur propre commefiltre d’émission optimal, voir équation (2.23). Comme la valeur propre associée vautλ u = cα u, on doit choisir le vecteur propre correspondant à la plus grande valeur∑propre de façon à minimiser la valeur α u . Ce choix minimise la somme U α u , ce quiassure la minimisation de la puissance d’émission, d’après l’équivalence démontréepar (2.29).u=12.7.4 Contrôle de puissanceOn a déjà vu comment déterminer les filtres optimaux et que les filtres optimauxpour le problème en voie descendante sont les mêmes que pour le problème transforméen voie montante. Reste à déterminer les puissances d’émission optimales aussi bienen voie montante qu’en voie descendante. Les puissances en voie montante et celles envoie descendante doivent être telles que les contraintes sur les RSIB en voie montanteet en voie descendante, respectivement, soient respectées.Voie montante Intéressons-nous d’abord aux puissances en voie montante (lesmultiplicateurs de Lagrange) α u . Si l’on considère l’équation (2.24) pour tous lesutilisateurs, on aboutit à un système linéaire en α u . Pour écrire ce système linéairesous [ forme matricielle, on ] pose d’abord le vecteur de puissances en voie montanteα = α 1 α 2 · · · α u , puis la matrice diagonale D, dont les éléments sont donnéspard u,u = wuH R uw u ∀u (2.30)ζ uet, enfin, la matrice M, dont l’élément à la ligne u et colonne i vautm u,i ={wHu R i w u u ≠ i0 u = i∀u . (2.31)Ainsi, le contrôle de puissance en voie montante est gouverné par le systèmelinéaire suivantDα − cMα = cσ 2 ν 1 U (2.32)et la solution pour les puissances en voie montante est(−11Uα = cσν2 D − cM), (2.33)( )où, pour l’instant, on suppose que la matrice D − cM est inversible. On reviendrasur cette supposition plus tard.