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2.7. Techniques de FV multi-utilisateurs 29On observe tout de suite une analogie entre l’équation (2.24) et le RSIB envoie montante, où les multiplicateurs de Lagrange α u jouent le rôle des puissancesd’émission de chaque mobile en voie montante et les filtres w u seraient des filtres enréception. D’autre part, l’équation (2.24) exprime les contraintes (2.18) comme descontraintes en voie montante.Une analyse plus profonde de l’analogie entre voie descendante et voie montantepeut être faite en égalant les contraintes en voie descendante (2.18) et en voie montante(2.24)w H uα u wu ⎛HR ⎞uw u∑⎝ U α i R i⎠w u + σν2i=1i≠u=p u wu HR uw uU∑p i wi HR uw i + σν2i=1i≠u∀u . (2.25)Après quelques manipulations mathématiques on peut réécrire (2.25) comme∑ U∑ Uα u p i wi H R u w i + α u σν 2 = p u α i wu H R i w u + p u σν 2 ∀u . (2.26)i=1i≠uMaintenant, on somme les termes correspondants à tous les utilisateurs u dechaque côté pour obteniri=1i≠uU∑ ∑ Uα u p i wi H R u w i + σν2u=1i=1i≠uU∑α u =u=1U∑ ∑ Up u α i wu H R i w u + σν2u=1i=1i≠uU∑p u . (2.27)u=1∑Et puis, on ajoute le terme U α i p i wi H R i w i des deux côtés de l’égalité et on en arriveài=1U∑ U∑U∑α u p i wi H R u w i + σν2 α u =u=1 i=1u=1U∑ U∑U∑p u α i wu H R i w u + σν2 p u . (2.28)u=1 i=1u=1Finalement, en remarquant que les sommes doubles sont identiques et peuventêtre simplifiées de part et d´autre de l´équation, ainsi que le terme σ 2 ν, on obtientU∑α u =u=1U∑p u . (2.29)u=1On en arrive donc à une égalité entre la puissance totale d’émission en voie descendanteet la puissance totale émise par les mobiles en voie montante. Par conséquent,minimiser la puissance d’émission en voie descendante équivaut à minimiser la puissancetotale en voie montante, donnée par la somme des multiplicateurs de Lagrange