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28 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionla dérivée de J RSIB-multi par rapport aux filtres w u , donnés par⎛∂J RSIB-multiR u ⎜U∑= 2p u w u − 2χ u p u w u + 2cp u ⎝∂w uζ uEn égalant les dérivées (2.21) à zéro, on obtient⎛R u ⎜U∑w u − χ u w u + c ⎝ζ ui=1i≠ui=1i≠uχ i R i⎞⎟⎠w u ∀u . (2.21)χ i R i⎞⎟⎠w u = 0 ∀u . (2.22)De manière à mettre en évidence la signification physique des multiplicateurs deLagrange, on pose α u = cσν 2χ u. L’équation précédente peut alors être réécrite comme⎛⎞R uw u − c ⎜U∑⎝ α i R i + σν 2 ζ u α I ⎟M⎠w u = 0 ∀u , (2.23)ui=1i≠uoù α u sont les nouveaux multiplicateurs de Lagrange.L’équation (2.23) montre que la direction des filtres w u optimaux est donnée parune décomposition en éléments propres généralisée. Autrement dit, le filtre spatialoptimal ⎛ wuopt est vecteur ⎞propre de la décomposition en éléments propres généralisée∑de ⎝ Ruζ u, U α i R i + σνI 2 M⎠, avec λ u = cα uétant la valeur propre correspondante. Lai=1i≠unorme de w u est donnée par la contrainte ∥ ∥ wu∥ ∥ = 1. Une autre question qui se pose estle choix du vecteur propre, étant donné qu’on a M vecteurs propres possibles à notredisposition. On verra par la suite qu’il faut choisir le vecteur propre correspondant àla valeur propre maximale.La détermination de chaque filtre wuopt est alors découplée des autres filtres spatiaux.Néanmoins, l’équation (2.23) pour l’utilisateur u dépend des multiplicateursde Lagrange α i de tous les autres utilisateurs. Alors, on a à faire à un système de Udécompositions en éléments propres généralisées couplées par les valeurs α i . Dans lasuite, on proposera une procédure itérative pour trouver la solution de ce système.2.7.3 Dualité voie montante et voie descendanteOn propose de multiplier l’équation (2.23) à gauche par wu H . On peut alors écrirew H uα u wu ⎛HR ⎞uw u∑⎝ U α i R i⎠w u + σν2i=1i≠u= c ζ u ∀u . (2.24)