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2.7. Techniques de FV multi-utilisateurs 27UÈEn rappelant l’équation (2.17), le critère à optimiser se pose donc commeU∑min p uu=1ps.c. uwu HRuwu= c ζ u ∀up i wi HRuw i+σν2i=1, (2.18)i≠u∥∥ wu = 1 ∀uU∑p u ≤ P maxu=1où P max est la puissance maximale d’émission et c est une constante de proportionnalitéqui varie entre 0 et 1. Normalement, si les cibles peuvent être respectées avecla puissance maximale donnée, c = 1. Par contre, si les cibles ne peuvent pas êtrerespectées, c prend des valeurs inférieures à 1 de façon que la puissance maximale soitrespectée avec une dégradation proportionnelle des RSIB de différents utilisateurs.Avant d’écrire la fonction coût associée au critère énoncé précédemment, on peutréécrire les contraintes sur le RSIB comme⎛⎞p u wuH R u ⎜U∑w u − c ⎝ p i wi H R u w i + σ 2 ⎟ν⎠ = 0 ∀u . (2.19)ζ ui=1i≠uEn introduisant les multiplicateurs de Lagrange χ u associés aux contraintes donnéespar l’équation (2.19), on peut écrire la fonction coût suivanteJ RSIB-multi =U∑p u wu H w u −u=1⎡⎛⎞⎤U∑⎢χ u ⎣p u wuH R u ⎜U∑w u − c ⎝ p i wi H ζ R uw i + σν2 ⎟⎥⎠⎦ , (2.20)uu=1i=1i≠uoù le terme w H u w u a été introduit pour faciliter la suite du développement. Ce termene change pas la fonction coût car il vaut 1, d’après l’une des contraintes. Par soucide simplicité, on n’a pas tenu compte explicitement de la contrainte de norme de w uni de la contrainte de puissance maximale. Ces deux contraintes seront considéréespar la suite, n’étant pas indispensable d’en tenir compte pour l’instant.Remarquons que la fonction coût (2.20) est une fonction quadratique par rapportaux filtres spatiaux w u . Alors, pour des puissances p u et des multiplicateurs de Lagrangeχ u donnés, les filtres w u qui minimisent J RSIB-multi sont obtenus en annulant