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26 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionDe façon analogue à l’équation (2.6), on peut écrire la puissance utile reçue parl’utilisateur u commeP u (b) = p u w H u R u (b)w u , (2.15)où R u (b) est la matrice de covariance spatiale (MCS) instantanée du canal descendantde l’utilisateur u, donnée par R u (b) = h u (b)h u (b) H . D’autre part, la pollution généréeà cause de l’émission de l’utilisateur i au niveau de l’utilisateur u est donnée parI i→u (b) = p i w H i R u (b)w i . (2.16)Finalement, le rapport signal à interférence plus bruit (RSIB) vu par l’utilisateuru vautRSIB u = γ u ={ }E P u (b)⎧ ⎫⎨ U∑⎬E I i→u (b)⎩ ⎭ + σ2 νi=1i≠u=p u wu HR uw uU∑p i wi HR uw i + σν2i=1i≠u, (2.17){ }où les espérances portent sur les blocs b et R u = E R u (b) est la MCS (moyenne) ducanal descendant de l’utilisateur u e σν 2 est la puissance de bruit entachant l’antennedu mobile, considérée la même pour tous les utilisateurs.2.7.2 Contraintes sur le RSIBLe problème de la formation de voie multi-utilisateurs en émission se pose donccomme la minimisation de la puissance émise sous la contrainte que les RSIB u soientégaux à des cibles ζ u données. Ce problème a été traité de façon découplée du contrôlede puissance dans [55, 25], où d’abord les filtres spatiaux sont obtenus et ensuite lecontrôle de puissance est appliqué pour parvenir aux puissances d’émission de façonque les cibles soient respectées. D’autre part, des solutions pour le problème conjointont été proposées en [39, 13, 40, 9].De façon indépendante, j’ai aussi proposé un algorithme itératif pour trouver lasolution du problème conjoint de la formation de voie en émission et le contrôle depuissance dans mon mémoire de master [53], où on a aussi proposé une version rapidede l’algorithme (voir aussi l’article [54], pour une version en anglais). Par la suite, onprésente le problème conjoint et l’algorithme rapide proposé en [53] et [54]. En plus,on étend ces travaux par une démonstration de la convergence de l’algorithme rapide.