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18 Chapitre 2. Antenne multi-capteurs en émissionoù R(b) est la matrice de covariance spatiale (MCS) instantanée du canal descendant,donnée par R(b) = h(b)h(b) H . On l’appelle instantanée parce qu’elle ne tient compteque du canal spatial au bloc b. On remarque que, pour chaque bloc b, le canal h(b)peut être dans une condition différente, c’est-à-dire qu’il peut présenter une conditionde fading profond ou une condition très favorable à la transmission. Par conséquent,la puissance de signal utile reçue par le mobile peut aussi varier d’un bloc à l’autre.Le RSB vu par le mobile au bloc b est donc donné parRSB(b) = γ(b) = P TXw H R(b)wσ 2 ν, (2.7)où σ 2 ν est la puissance du bruit ν(b, n), supposé stationnaire. Cela est une caractéristiquedu cas mono-utilisateur. Dans ce cas, le bruit est composé seulement par lebruit thermique, ce qui n’est plus valable dans le cas multi-utilisateurs quand le bruitest constitué aussi de l’interférence multi-utilisateurs. Le cas multi-utilisateurs estprésenté dans la section 2.7.1.1.2.5.2 Maximisation du RSBConsidérons le RSB instantané donné par l’équation (2.7). On peut donc énoncerle critère de maximisation du RSB (moyen) à puissance fixée comme{ }{ } w H E R(b) wmax RSB = γ = E γ(b) = P TX σv2 , (2.8)∥s.c. ∥ w = 1où P TX est la puissance d’émission et l’espérance porte sur les différents blocs bpuisque le canal varie d’un bloc à l’autre, ce qui fait varier le RSB d’un bloc à l’autre.Par la suite, on appellera la matrice de covariance spatiale (moyenne) R, donnée par{ }R = E R(b) . (2.9)En introduisant le multiplicateur de Lagrange λ, on obtient la fonction coût suivanteà maximiserw H Rw( )J RSB-mono = P TX − λ w H w − 1 . (2.10)σv2Pour trouver l’optimum de (2.10), on annule d’abord sa dérivé par rapport auvecteur w∂J RSB-mono∂w= P TXσ 2 vRw − λw = 0 . (2.11)L’équation (2.11) montre que le filtre optimal w opt est vecteur propre de P TXR etσv2la valeur propre correspondante vaut λ. Néanmoins, il faut encore savoir quel vecteur