TH`ESE - Library of Ph.D. Theses | EURASIP

4.4. Algorithme MU-cBER 113De façon analogue au cas mono-utilisateur, on peut réécrire l’équation d’adaptation(4.35) commeω j (k + 1) = ω j (k) + µ ∆ ωj (k) , (4.36)avec∆ ωj (k) =((∥R INT−1Rjj (k))(k) ω j (k)−1Rj − ω j (k) . (4.37)j (k))(k) ω j (k)∥R INTOn observe que ces deux premières étapes de l’algorithme sont couplées par lesquantités λ j (k) et ω j (k). De plus, il faut prendre des valeurs faibles pour µ de façon àgarantir la convergence de l’algorithme. On propose donc de prendre µ =0,1 et d’itérerplusieurs fois entre les deux premières étapes de l’algorithme pour faire converger àla fois λ j (k) et ω j (k). Ainsi, à puissances d’émission p j (k) fixées, la mise à jour desprécodeurs ω j (k) change un peu les RSIB γ j (k) qui, à leur tour, changent un peules λ j (k). Ce petit changement des λ j (k) conduit aussi a un petit changement desmatrices R j (k) et R INTj (k) et, par conséquent, à de nouveaux ω j (k) qui sont prochesde ceux du départ.Les deux premières étapes de l’algorithme peuvent être vues comme un algorithmequ’à partir d’un jeu de puissances d’émission p j (k) est capable de trouver lesprécodeurs ω j (k + 1) et les multiplicateurs de Lagrange λ j (k + 1) « optimaux » dansle sens d’annuler la dérivée du critère par rapport à ω j et à p j . La seule dérivée quipourrait être non-nulle serait celle par rapport à λ j . Les contraintes ne seraient doncpas respectées. Alors, on aurait trouvé une solution, donnée par ω j (k + 1) et p j (k),qui serait optimale pour des cibles particulières, mais pas celles recherchées.La troisième étape de l’algorithme correspond donc à la mise à jour des puissancesd’émission pour respecter les contraintes. Comme il a déjà été mentionné, on proposedeux approximations pour effectuer cette mise à jour, à savoir ne considérer que l’influencede la puissance d’émission qui intervient au numérateur dans l’expression (4.4)et linéariser la fonction Q pour trouver la valeur approximée de la puissance pourrespecter la contrainte. Ainsi, on en arrive à l’équation suivante pour la mise à jourdes puissances d’émission(g j pj (k) )p j (k + 1) = p j (k) + α {, (4.38)Ef ( γ j (b) ) x j (b)}∣ ∣∣∣∣pj=p j (k)où α est le pas d’adaptation et on utilise les nouveaux { précodeurs ω}k (k +1) pour calculerla contrainte g j(pj (k) ) et la dérivée ∂g j∂p j= − Ef ( γ j (b) ) x j (b). Le pas d’adaptationα a été introduit pour éviter la divergence de l’algorithme, vu que la méthodede Newton peut ne pas converger selon l’initialisation choisie [24].La mise à jour des puissances d’émission constitue la troisième et dernière étapede l’algorithme MU-cBER. Après cette étape, on a mis à jour les précodeurs et les