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4.4. Algorithme MU-cBER 1114.4 Algorithme MU-cBEROn propose ici un algorithme itératif pour trouver la solution optimale du critèreexprimé par l’équation (4.7). On détaillera davantage les trois étapes décrites auparavant,montrant comment ces trois étapes s’intègrent pour former l’algorithmeMU-cBER (Multi-User constrained BER).D’abord, mettons-nous à l’itération k et posons ω j (k) et p j (k) comme les précodeurset les puissances d’émission au début de l’itération k. On reviendra sur l’initialisationde ces quantités plus tard. À partir de ω j(k) et p j (k), on est capable de calculerles multiplicateurs de Lagrange λ j (k) par la résolution du système linéaire (4.26), dontles matrices A(k) et b(k) dépendent seulement des ω j (k) et p j (k). Cela correspondà la première étape de l’algorithme.Ensuite, une fois que l’on a un jeu de λ j (k) obtenu à l’étape précédente, on peutmettre à jour les précodeurs en utilisant l’équation (4.21). Cette équation montre quele précodeur ω j (k+1) est le vecteur propre maximal d’une décomposition en élémentspropres généralisée des matrices R j (k) et R INTj (k). Cependant, on remarque queces matrices ont été calculées en utilisant les précodeurs ω j (k) obtenus à l’itérationd’avant. Ainsi, à terme, les matrices R j (k) et R INTj (k), obtenues avec le précodeurω j (k) auront ce même vecteur ω j (k) comme vecteur propre maximal et l’algorithmeaura convergé, c’est-à-dire que ω j (k + 1) sera égal à ω j (k) 1 .Par contre, pendant la convergence, on n’a pas intérêt à trop changer les précodeurspuisque cela pourrait entraîner la divergence de l’algorithme. Par conséquent,on propose de ne pas calculer le vecteur propre maximal de la décomposition (4.21),mais seulement d’adapter le précodeurs ω j dans le sens de ce vecteur propre. Cela sefait en effectuant une itération de la méthode de la puissance itérée [23], donnée par(−1Rjω j (k + 1) = R INTj (k))(k) ω j (k) , (4.33)suivi par la normalisation de ω j (k + 1)ω j (k + 1) = ω j(k + 1)∥ ωj (k + 1) ∥ . (4.34)Il est important de souligner que les matrices R j (k) et R INTj (k) sont obtenues avecle précodeur de l’itération d’avant ω j (k).Pour les mêmes raisons que pour l’algorithme mBER-TD-DB dans le contextemono-utilisateur, on introduit le coefficient d’adaptation µ de façon à ne pas adaptertrop le précodeur et garantir la convergence de l’algorithme. On en arrive ainsi àl’équation d’adaptation suivante(−1RjR INTj (k))(k) ω j (k)ω j (k + 1) = (1 − µ)ω j (k) + µ(−1Rj . (4.35)∥ R INTj (k))(k) ω j (k)∥1 On rappelle que les précodeurs ω j sont normalisés, i.e., ∥ ∥ ωj∥ ∥ = 1.