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4.3. Critère multi-utilisateurs avec contraintes de TEB 109où λ =[λ 1 λ 2 · · · λ U] Tetb[j] = ω H j ω j = 1 (4.27)⎧{E f ( γ ⎪⎨ j (b) ) x j (b)A[j, k] = ( )}⎪⎩E{− f γ k (b)D kγ(b) k (b)ω H j R k (b)ω j}j = kj ≠ k, (4.28)où b[j] correspond au j-ème élément du vecteur b et A[j, k] correspond à l’élémentde la ligne j et colonne k de la matrice A.Encore une fois, on remarque que, pour calculer λ, il faut connaître tous lesprécodeurs ω j ’s et vice-versa, ce qui demande une procédure itérative. Avant dedécrire cette procédure, il faut encore déterminer les puissances d’émission p j . Pourcela, on devrait dériver la fonction coût J cBER par rapport à λ j et annuler ces dérivées.Ce faisant, on respecterait exactement les contraintes de TEB exprimées dans (4.7).Ainsi, pour un jeu de λ j donné, on pourrait calculer les précodeurs optimaux ω j etles puissances d’émission p j seraient obtenues de façon à respecter les contraintes.Obtention des puissances d’émission Obtenir les puissances d’émission à partirdes contraintes n’est pas une tâche facile. D’abord parce que les équations seraientcouplées par les puissances, vu qu’une puissance d’émission donnée intervient dansl’expression du TEB de tous les utilisateurs. Ensuite, le TEB est donné par l’espéranced’une fonction non-linéaire du RSIB (la fonction Q) et, comme mentionné, l’expressiondu RSIB contient toutes les puissances d’émission. Ainsi, on propose deux approximationspour surmonter ces difficultés : ne considérer que l’influence de la puissanced’émission qui intervient au numérateur dans l’expression (4.4) et linéariser lafonction Q pour trouver la valeur approximée de cette puissance pour respecter lacontrainte.On pose g j (p j ) comme la contrainte de TEB concernant l’utilisateur j{(√ ) }g j (p j ) = E Q N sj γ j (b) − c j , (4.29)où l’on ne considère que l’influence de la variation de la puissance d’émission relativeà l’utilisateur j pour calculer son TEB. Par ailleurs, on note que g j (p j ) = 0 lorsquela contrainte est respectée.La deuxième approximation concerne la linéarisation de la fonction Q. Pour cela,on considère que la puissance d’émission possède une valeur initiale p − j . Ensuite, onlinéarise la fonction Q dans ce point, ce qui vient à supposer que g j (p j ) est une droitepassant par le point ( ∣p − j , g j(p − j )) et dont la pente vaut ∂g j(p j ) ∣∣pj∂p j, comme illustré=p − j